初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）平行线的判定优秀学案

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▉题型1 平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
1．如图，下列条件中：①∠1＝∠C，②∠2＝∠C，③∠BAC+∠C＝180°，④∠ABE+∠2＝180°．能判断AB∥CD的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4
C．∠DCE＝∠DD．∠B+∠BAD＝180°
3．如图，下列四个选项中，不能判定AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠ADC+∠DCB＝180°
C．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠3＝∠4
4．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠5B．∠1＝∠3
C．∠5＝∠4D．∠1+∠5＝180°
5．如图，能判断EF∥AB的条件是（ ）
A．∠EFC＝∠BB．∠ADE＝∠BC．∠ADE＝∠EFCD．∠DEF＝∠EFC
6．下列图形中，由∠1＝∠2能判定AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠BADB．∠2＝∠4
C．∠3＝∠5D．∠D+∠4+∠5＝180°
8．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接AB．下列条件中，能得到a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3
C．∠1+∠4＝180°D．∠1+∠3＝180°
9．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 时，CD与AB平行．
10．如图，点A在直线DE上，则∠BAC的度数为 时，DE∥BC．
11．如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ °时，木条a与b平行．
12．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC （ ），
∵∠ABC＝∠ADC （ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3 （ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴ ∥ （ ）．
13．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．试说明：AB∥EF．
14．如图，直线AB、CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，已知∠1+∠2＝90°，且∠1：∠3＝1：8．（注：∠1＝∠AOE，∠2＝∠OFE，∠3＝∠AOC）
（1）求∠AOF的度数；
（2）求证：AB∥EF．
▉题型2 平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
15．如图，已知AB∥CD，∠BEH＝∠CFG，EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，FK⊥FJ，则下列说法正确的是（ ）
①EH∥GF；②∠CFK＝∠H；③FJ平分∠GFD；④∠AEI+∠GFK＝90°．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
16．如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B和D，BE和DF分别平分∠ABN和∠CDN．下列结论：①AB∥CD；②∠1＝∠2；③CD⊥EF；④∠E+∠F＝180°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．③④
17．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
18．如图，已知AB∥CD，E，F是直线AB上方两点，连接AE，CE，AF，CF，已知AF平分∠BAE，且∠ECF=13∠ECD．若∠E＝15°，∠ECD＝75°，求∠F的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
19．如图，点E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连接FH交AD于点G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连接CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，且GM平分∠FGC．下列结论错误的是（ ）
A．AD∥BC
B．GK平分∠AGC
C．∠DGH＝37°
D．∠MGK的度数为定值且定值为16°
20．如图是一盏可调节台灯的示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，过点B作BF∥MN，则BF与CD的位置关系是 ，∠DCE＝ ．
21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，且∠3＝105°，求∠ACB的度数．
22．完成下面的证明：
如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AB∥EF，
∴∠APE＝ （ ）．
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ＝ （ ）．
即∠2+∠3＝90°．
∴∠APE+∠3＝90°．
∵∠1+∠APE＝90°，
∴∠1＝ ．
∴EF ∥CD（ ）．
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD（ ）．
23．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°．求∠AGD的度数．
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系；
（4）问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+5°，∠D＝95°，则可以求出∠B﹣∠CGF的度数．
题型1 平行线的判定
题型2 平行线的判定与性质