广东省汕头市龙湖区八年级上学期期末考试数学试卷-A4

这是一份广东省汕头市龙湖区八年级上学期期末考试数学试卷-A4，共15页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．14，4，9D．7，2，4
3．（3分）计算：3xy2•（﹣2x3y）＝（ ）
A．6x4y3B．﹣6x3y2C．﹣6x4y3D．﹣12x3y2
4．（3分）下列式子的变形正确的是（ ）
A．B．＝a+b
C．D．＝﹣2n
5．（3分）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
6．（3分）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cbb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
A．∠BEAB．∠DEBC．∠ECAD．∠ADO
7．（3分）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝30°，∠C＝45°，则∠AFB的大小为（ ）
A．75°B．80°C．100°D．110°
8．（3分）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
9．（3分）如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（ ）
A．7B．8C．D．9
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上
11．（3分）因式分解：m2﹣4＝ ．
12．（3分）如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶，图②是其示意图，该千斤顶的基本形状是一个四边形中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小，从而改变千斤顶的高度，这是利用了四边形的 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝8，AC＝6，DE＝4，则△ABC的面积为 ．
14．（3分）图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）解方程： +＝1．
17．（7分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．
求证：AC＝DF．
18．（7分）如图，在直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）△ABC的面积为 ．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）已知．
（1）化简A；
（2）当x＝3时，求A的值．
20．（9分）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）观察图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决问题：若m+n＝10，m﹣n＝6，求mn的值．
21．（9分）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝ 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；
问题探究：
（2）如图，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AD的长度为 ；
问题解决：
（3）如图，四边形ABED是一片绿色花园，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°（0°＜∠BCE＜90°）．△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由．
23．（14分）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），在平面平面直角坐标系中是否存在一点B，使得△ABC为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年广东省汕头市龙湖区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、2+3＞4，能构成三角形，故此选项符合题意；
C、4+9＝13＜14，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、2+4＝6＜7，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．【解答】解：3xy2•（﹣2x3y）＝﹣6x4y3，
故选：C．
4．【解答】解：A、≠，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、＝＝，原变形正确，故此选项符合题意；
D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，
∴＝，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
6．【解答】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，
∴∠DEB＝∠O，
故选：B．
7．【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝45°，
∴∠FDB＝∠A+∠C＝35°+45°＝80°，
∵∠B＝30°，
∴∠AFB＝∠B+∠FDB＝30°+80°＝110°，
故选：D．
8．【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
9．【解答】解：作点A关于l的对称点A'，
连接A'B，
则A'B为最短道路．
故选：D．
10．【解答】解：由题意可知：BC＝AB＝AC＝6，
∵BD是∠ABC的平分线，CE＝CD，
∴，
∴BE＝BC+CE＝9．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上
11．【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
12．【解答】解：根据题意得，这是利用了四边形的不稳定性，故答案为：不稳定性．
13．【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵AB＝8，AC＝6，
∴S△ABC＝S△ADB+S△ADC＝＝×4×8+×4×AC＝28，
故答案为：28．
14．【解答】解：阴影部分的面积为am+m（b﹣m）＝am+bm﹣m2．
故答案为：am+bm﹣m2．
15．【解答】解：∵AD＝AB，∠A＝32°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝32°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，
故答案为：42°．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．【解答】解：方程变形得：﹣＝1，
去分母得：1﹣x＝x﹣3，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
17．【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF．
18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣2×31×31×2＝9﹣3﹣1.5﹣1＝3.5．
故答案为：3.5．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．【解答】解：（1）
＝•
＝，
（2）当x＝3时，
A＝＝＝1．
20．【解答】解（1）图2的阴影部分的正方形的边长a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）图2整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，中间阴影小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，空白4个长方形的面积和为4ab，
所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）∵m+n＝10，m﹣n＝6，
∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
即100＝36+4mn，
∴mn＝16．
21．【解答】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，
根据题意得＝，
解得x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴x+40＝160+40＝200．
答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元；
（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，
依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600，
解得：y≥10，
∵y为正整数，
∴y的最小值为10．
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．【解答】解：（1）如图1，连接BP，
∵△ABP与△CBP在AP、CP边上的高相等，
∴当AP＝CP＝AC＝×7＝，△ABP与△CBP面积相等，
∵BC＝9，AB＝10，
∴BC≠AB，
∵AP＝CP，BP＝BP，BC≠AB，
∴△ABP与△CBP不全等，
∴此时△ABP与△CBP是偏等积三角形，
故答案为：．
（2）如图2，∵△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与△ACD在BD、CD边上的高相等，
∴BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD，
在△ECD和△ABD中，
，
∴△ECD≌△ABD（AAS），
∴ED＝AD，EC＝AB＝2，
∵AC﹣EC＜AE＜AC+EC，且AC＝6，AE＝2AD，
∴6﹣2＜2AD＜6+2，
∴2＜AD＜4，
∵线段AD的长度为正整数，
∴AD＝3，
故答案为：3．
（3）△ACD与△BCE是偏等积三角形，
理由：如图3，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝180°，
∵0°＜∠BCE＜90°，
∴∠ACD＞90°，
∴∠ACD≠∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD与△BCE不全等，
作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交DC的延长线于点G，则∠G＝∠BFC＝90°，
∵∠ECG＝180°﹣∠DCE＝90°，
∴∠ACG＝∠BCF＝90°﹣∠BCG，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（AAS），
∴AG＝BF，
∴CD•AG＝CE•BF，
∴△ACD与△BCE面积相等，
∴△ACD与△BCE是偏等积三角形．
23．【解答】（1）证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：如图2，∵AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
又∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD＝2.5cm，CD＝BE，
∵DE＝1.7cm，
∴CD＝CE﹣DE＝0.8cm，
∴BE＝0.8cm；
（3）解：在平面平面直角坐标系中存在点B，使得△ABC为等腰直角三角形，理由如下：
分三种情况：
①当∠BAC＝90°时，AC＝AB，如图3，过点A作EF∥y轴，过点C作CE⊥EF于E，过点B作BF⊥EF于F，
同（1）得：△CEA≌△AFB（AAS），
∴CE＝AF，AE＝BF，
∵A（﹣1，0），C（1，3），
∴CE＝AF＝1+1＝2，AE＝BF＝3，
∴B（2，﹣2）；
②当∠ACB＝90°时，AC＝BC，如图4，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF于E，过点B作BF⊥EF于F，
同（1）得：△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵A（﹣1，0），C（1，3），
∴CE＝BF＝1+1＝2，AE＝CF＝3，
∴B（4，1）；
③当∠ABC＝90°时，AB＝BC，如图5，过点B作EF∥y轴，交x轴于F，过点C作CE⊥EF于E，
同（1）得：△CEB≌△BFA（AAS），
∴CE＝BF，BE＝AF，
设AF＝a，则BE＝AF＝a，
∵A（﹣1，0），C（1，3），
∴BF＝3﹣a，CE＝a+2，
∴3﹣a＝a+2，
解得：a＝，
∴B（﹣1.5，2.5）；
综上，使△ABC为等腰直角三角形，点B的坐标为（2，﹣2）或（4，1）或（﹣1.5，2.5）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C
C
B
D
A
D
D