广东省深圳市罗湖区八年级上学期期末数学试卷-A4

这是一份广东省深圳市罗湖区八年级上学期期末数学试卷-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1B．C．D．3.14
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1B．
C．4的算术平方根是2D．9的立方根是3
3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
4．（3分）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些代数式，若图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，则x﹣y的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．（3分）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）
A．同角（或等角）的补角相等
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．同旁内角相等，两直线平行
D．如果∠1＝∠2，那么∠1和∠2是对顶角
6．（3分）已知一次函数y＝kx+1，y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cmB．24cmC．26cmD．28cm
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小： ﹣4．（填“＞”，“＜”或“＝”）
10．（3分）已知是二元一次方程ax+4y＝8的一个解，则a的值为 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A＝50°，∠C＝70°，则∠ADE的度数是 ．
12．（3分）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝30°，∠2＝55°，则∠ABP的度数是 ．
13．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝2，点M，N在AC边上，将△BCN沿着BN折叠，使点C的对应点C'恰好落在AC边上，将△ABM沿着BM折叠，使点A的对应点A′恰好落在BC'的延长线上，则线段AM的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，其中14题8分，15题6分，16题7分，17题8分，18题10分，19题10分，20题12分，共61分）
14．（8分）计算：
（1）；
（2）．
15．（6分）解方程组．
16．（7分）2024年，我国成功发射火星探测器，开始了对火星的探测任务，这是中国在航天领域取得的重大突破．为弘扬航天科学精神，普及航天科学知识，某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“航天科普知识竞赛”，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩（单位：分）：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题；
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请计算八年级抽取的20名学生竞赛成绩的合格率；
（3）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数．
17．（8分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），当x＝3时y＝﹣1，当x＝1时y＝1．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）请按列表、描点、连线的步骤完成本小题，先补充完整函数值表，然后再在平面直角坐标系中描点，连线作一次函数的图象．
（3）该一次函数图象与x轴，y轴的交点分别是A，B，坐标原点为O，试猜想y轴上是否存在点D，使得S△DAB＝2S△OAB若存在，请直接写出满足条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（10分）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A，B两种型号的帐篷．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），其中B种帐篷数量不少于16顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
19．（10分）【项目式学习】阅读并完成以下任务：
如图①，若A，E两点在直线l同侧，分别过点A，E作AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD上一动点，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝3，BD＝15，设CD＝x．
【任务一】
（1）用含x的代数式表示BC为： ；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出最小值；
【任务二】
由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
（3）求代数式的最小值．
20．（12分）【综合探究】
（1）如图①，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，
【解决问题】
①则点A坐标为 ；点B坐标为 ；
②C，D是正比例函数y＝kx图象上的两个动点，连接AD，BC，若BC⊥CD，BC＝3，则AD的最小值是 ；
（2）如图②，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【迁移拓展】
（3）如图③，直线y＝﹣2x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l：y＝﹣2与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线AB上的动点，点C的坐标为（3，0），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
2024-2025学年广东省深圳市罗湖区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上）
1．（3分）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1B．C．D．3.14
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：﹣1，＝2是整数，3.14是有限小数，它们不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：B．
【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1B．
C．4的算术平方根是2D．9的立方根是3
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐项计算即可．
【解答】解：A、1的平方根是±1，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、4的算术平方根是2，故此选项符合题意；
D、9的立方根是，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
【分析】关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数
∴点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称点的坐标特点，明确关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
4．（3分）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些代数式，若图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，则x﹣y的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根据图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，即可得关于x、y的二元一次方程，变形后即可得出x﹣y的值．
【解答】解：由题意得：x﹣2+0＝y+2+0，
∴x﹣y＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
5．（3分）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）
A．同角（或等角）的补角相等
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．同旁内角相等，两直线平行
D．如果∠1＝∠2，那么∠1和∠2是对顶角
【分析】利用补角的定义，三角形的外角的性质、平行线的判定及对顶角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同角（或等角）的补角相等，正确，为真命题；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，错误，为假命题；
C、同旁内角互补，两直线平行，错误，为假命题；
D、如果∠1＝∠2，那么∠1和∠2是对顶角，错误，为假命题，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相关的命题或定理，难度不大．
6．（3分）已知一次函数y＝kx+1，y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数y＝kx+1，y随着x的增大而减小判断出k的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴函数图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与k的关系是解题的关键．
7．（3分）有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别根据这两数的和为39，以及两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27得出方程组求出即可．
【解答】解：设两位数为x，一位数为y，则有，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出正确的等量关系是解题关键．
8．（3分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cmB．24cmC．26cmD．28cm
【分析】设AB＝AD＝x cm，根据题意可推出AC＝（x﹣2）cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设AB＝AD＝x cm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小： ＜ ﹣4．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】先分别计算（）2与42，然后进行比较即可解答．
【解答】解：∵（）2＝17，42＝16，
∴＞4，
∴﹣＜﹣4，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
10．（3分）已知是二元一次方程ax+4y＝8的一个解，则a的值为 2 ．
【分析】把代入方程得出关于a的方程，求出即可．
【解答】解：把代入方程ax+4y＝8中，可得：﹣2a+12＝8，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于a的方程．
11．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A＝50°，∠C＝70°，则∠ADE的度数是 60° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质即可求出∠ADE．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝70°
∴∠B＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
12．（3分）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝30°，∠2＝55°，则∠ABP的度数是 155° ．
【分析】由三角形的外角性质得到∠PFO＝∠2﹣∠POF＝25°，由平行线的性质推出∠ABP+∠PFO＝180°，即可求出∠ABP＝155°．
【解答】解：∵∠2＝55°，∠POF＝∠1＝30°，
∴∠PFO＝∠2﹣∠POF＝25°，
∵AB∥OF，
∴∠ABP+∠PFO＝180°，
∴∠ABP＝155°．
故答案为：155°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是由三角形的外角性质得到∠PFO＝∠2﹣∠POF，由平行线的性质推出∠ABP+∠PFO＝180°．
13．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝2，点M，N在AC边上，将△BCN沿着BN折叠，使点C的对应点C'恰好落在AC边上，将△ABM沿着BM折叠，使点A的对应点A′恰好落在BC'的延长线上，则线段AM的长为 3﹣ ．
【分析】先求出AB，AC，进而求出BN，CN，证明出∠MBN＝45°，即可求出MN，BM，AM解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，，BC＝2，
∴AC＝＝4，
∵将△BCN沿着BN折叠，使点C的对应点C′恰好落在AC边上，
∴BN⊥AC，∠C'BN＝∠C'BC，
∵S△ABC＝AC•BN＝BC•AB，
∴BN＝＝＝，
∴CN＝＝＝1，
∵将△ABM沿着BM折叠，点A的对应点A′恰好落在BC′的延长线上，
∴∠C'BM＝∠C'BA，A'M＝AM，
∴∠MBN＝∠C'BN+∠C'BM＝∠C'BC+∠C'BA＝∠ABC＝45°，
∴MN＝BN＝，
∴BM＝＝，
∴AM＝AC﹣CN﹣MN＝4﹣1﹣＝3﹣，
故答案为：3﹣．
【点评】本题考查翻折变换，含30°和含45°角直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的化简，弄清线段之间的关系，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，其中14题8分，15题6分，16题7分，17题8分，18题10分，19题10分，20题12分，共61分）
14．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的乘法法则计算，最后根据二次根式的性质化简即可；
（2）先根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．（6分）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3y＝15，
解得：y＝5，
把y＝5代入①得：x＝，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．（7分）2024年，我国成功发射火星探测器，开始了对火星的探测任务，这是中国在航天领域取得的重大突破．为弘扬航天科学精神，普及航天科学知识，某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“航天科普知识竞赛”，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩（单位：分）：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题；
（1）a＝ 7.4 ，b＝ 7.5 ，c＝ 8 ；
（2）请计算八年级抽取的20名学生竞赛成绩的合格率；
（3）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数．
【分析】（1）分别由平均数公式、中位数和众数的定义求解即可；
（2）八年级抽取的20名学生中6分及以上的人数除以20即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）由图表可得：a＝×（4×1+5×2+6×1+7×6+8×5+9×4+10×1）＝7.4，
b＝＝7.5，
c＝8；
故答案为：7.4，7.5，8；
（2）八年级抽取的20名学生竞赛成绩的合格率为×100%＝90%；
（3）800×＝200（人），
答：估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数的意义和样本估计总体，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数的定义．
17．（8分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），当x＝3时y＝﹣1，当x＝1时y＝1．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）请按列表、描点、连线的步骤完成本小题，先补充完整函数值表，然后再在平面直角坐标系中描点，连线作一次函数的图象．
（3）该一次函数图象与x轴，y轴的交点分别是A，B，坐标原点为O，试猜想y轴上是否存在点D，使得S△DAB＝2S△OAB若存在，请直接写出满足条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）根据题意，先补充完整函数值表，再画出即可．
（3）根据S△DAB＝2S△OAB得出BD的长，据此求求出点D的坐标．
【解答】解：（1）由题知，
，
解得，
所以一次函数的表达式为y＝﹣x+2．
（2）由（1）中所求函数表达式可知，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2．
描点、连线，如图所示，
（3）存在．
由（2）知，
点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，2），
所以OA＝OB＝2，
所以．
又因为S△DAB＝2S△OAB，
所以S△DAB＝4，
所以，
所以BD＝4，
则2+4＝6，2﹣4＝﹣2，
所以点D的坐标为（0，6）或（0，﹣2）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的图象与性质是解题的关键．
18．（10分）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A，B两种型号的帐篷．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），其中B种帐篷数量不少于16顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【分析】（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：，即可解得答案；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，B种帐篷数量不少于16顶，可得x≤4，而w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，根据一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，
根据题意得：，
解得：，
∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（20﹣x）顶，
∵B种帐篷数量不少于16顶
∴20﹣x≥16，
解得x≤4，
根据题意得：w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，
∵﹣400＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝4时，w取最小值，最小值为﹣400×4+20000＝18400（元），
∴20﹣x＝20﹣4＝16，
答：购买A种型号帐篷4顶，购买B种型号帐篷16顶，总费用最低，最低总费用为18400元．
【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
19．（10分）【项目式学习】阅读并完成以下任务：
如图①，若A，E两点在直线l同侧，分别过点A，E作AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD上一动点，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝3，BD＝15，设CD＝x．
【任务一】
（1）用含x的代数式表示BC为： 15﹣x ；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出最小值；
【任务二】
由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
（3）求代数式的最小值．
【分析】（1）根据BD＝15，CD＝x，得出BC＝BD﹣CD＝15﹣x；
（2）在直角三角形ABC和直角三角形CDE中，由勾股定理得：，，CE＝，AC+CE＝，作点E关于l的对称点E'，当A、C、E'三点共线时，AC+CE的值最小，利用勾股定理计算即可；
（3）由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（﹣1，3）的距离，可以看成点P与点B（4，1）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．在坐标系中画出图形，利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）∵BD＝15，CD＝x，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣x，
故答案为：15﹣x；
（2）∵在直角三角形ABC和直角三角形CDE中，由勾股定理得：，，CE＝，
∴AC+CE＝，
作点E关于l的对称点E'，当A、C、E'三点共线时，AC+CE的值最小，如图，
在Rt△ABC和Rt△CDE中，由勾股定理得：＝，
∴当A、C、E'三点共线时，AC+CE取得最小值17；
（3）由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（﹣1，3）的距离，可以看成点P与点B（4，1）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
∵＝，
∴代数式的最小值是．
【点评】本题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
20．（12分）【综合探究】
（1）如图①，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，
【解决问题】
①则点A坐标为 （4，0） ；点B坐标为 （0，﹣4） ；
②C，D是正比例函数y＝kx图象上的两个动点，连接AD，BC，若BC⊥CD，BC＝3，则AD的最小值是 ；
（2）如图②，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【迁移拓展】
（3）如图③，直线y＝﹣2x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l：y＝﹣2与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线AB上的动点，点C的坐标为（3，0），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）①分别令x＝0和y＝0求解即可；
②由于D是正比例函数y＝kx图象上的动点，根据垂线段最短，当AD⊥CD时，AD取得最小值，利用勾股定理求得OC＝＝＝，证明△OAD≌△BOC（AAS），可得AD＝OC＝；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，过点A作AE⊥FG于点E，可证得△AFE≌△FBG（AAS），设EF＝BG＝a，则AE＝FG＝OG＝1+a，EG＝EF+FG＝1+2a，建立方程求得a＝，可得F（，），再运用待定系数法即可求得答案；
（3）设P（m，﹣2），Q（n，﹣2n+3），过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥PE于点F，证得△CPE≌△PQF（AAS），分两种情况：当点P在直线AB的右侧，点Q在直线y＝﹣2的下方时，当点P在直线AB的左侧，点Q在直线y＝﹣2的下方时，分别求得点Q的坐标即可．
【解答】解：（1）①在y＝x﹣4中，令y＝0，得x﹣4＝0，
解得：x＝4，
∴A（4，0），
令x＝0，得y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
故答案为：（4，0），（0，﹣4）；
②∵D是正比例函数y＝kx图象上的动点，
∴根据垂线段最短，当AD⊥CD时，AD取得最小值，如图1，
∵BC⊥CD，AD⊥CD，
∴∠BCO＝∠ODA＝90°，
∴∠AOD+∠OAD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠OAD＝∠BOC，
∵A（4，0），B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
在△OAD和△BOC中，
，
∴△OAD≌△BOC（AAS），
∴AD＝OC，
在Rt△BOC中，OC＝＝＝，
∴AD的最小值是，
故答案为：；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点，
∴A（0，2），B（1，0），
将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，如图2，
过点B作BF⊥AC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，过点A作AE⊥FG于点E，
则∠E＝∠FGB＝∠AFB＝90°，
∴∠FAE+∠AFE＝∠AFE+∠BFG＝90°，
∴∠FAE＝∠BFG，
∵∠BAF＝45°，∠BFA＝90°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB，
在△AFE和△FBG中，
，
∴△AFE≌△FBG（AAS），
∴AF＝FG，EF＝BG，
∵∠AOG＝∠E＝∠EGO＝90°，
∴四边形AEGO是矩形，
∴AE＝OG，EG＝OA＝2，
设EF＝BG＝a，则AE＝FG＝OG＝1+a，EG＝EF+FG＝1+2a，
∴1+2a＝2，
∴a＝，
∴OG＝AE＝FG＝1+＝，
∴F（，），
设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（0，2），F（，）分别代入得，
解得：，
∴直线l对应的函数表达式为y＝﹣x+2；
（3）设P（m，﹣2），Q（n，﹣2n+3），又C（3，0），
∵△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴PQ＝PC，∠CPQ＝90°，
当点P在直线AB的右侧，点Q在直线y＝﹣2的下方时，如图1，
过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥PE于点F，
则CE＝m﹣3，PE＝2，PF＝﹣2﹣（﹣2n+3）＝2n﹣5，QF＝m﹣n，
∵∠CEP＝∠PFQ＝∠CPQ＝90°，
∴∠CPE+∠PCE＝∠CPE+∠QPF＝90°，
∴∠PCE＝∠QPF，
在△CPE和△PQF中，
，
∴△CPE≌△PQF（AAS），
∴CE＝PF，PE＝QF，
∴，
解得：，
∴Q（4，﹣5）；
当点P在直线AB的左侧，点Q在直线y＝﹣2的下方时，如图1，
过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥PE于点F，
则CE＝3﹣m，PE＝2，PF＝2n﹣5，FQ＝n﹣m，
同理可得：△CPE≌△PQF（AAS），
∴CE＝PF，PE＝FQ，
∴，
解得：，
∴Q（，﹣）；
综上所述，点Q的坐标为（4，﹣5）或（，﹣）．
年级
七年级
八年级
平均数/分
a
7.4
中位数/分
b
8
众数/分
7
c
自变量x
…
0
…
函数值y＝kx+b
…
0
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
A
A
D
C
年级
七年级
八年级
平均数/分
a
7.4
中位数/分
b
8
众数/分
7
c
自变量x
…
0
…
函数值y＝kx+b
…
0
…