广东省汕头市龙湖区八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省汕头市龙湖区八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选A．
2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 14，4，9D. 7，2，4
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形三边关系进行判定即可．
【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
B、，成立，符合题意；
C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键．
3. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的法则，根据单项式与单项式的乘法运算法则，系数与系数相乘作为系数，相同的字母相乘，同底数的幂相乘，底数不变指数相加，计算求解，即可解题．
【详解】解：，
故选：C．
4. 下列式子的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A. 不一定正确；
B. 不正确；
C. 分子分母同时除以2，变形正确；
D. 不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
5. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入方程，即可求a的值．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
解得，
经检验是方程的解．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
6. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cbb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
7. 如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A=35°，∠B=30°，∠C=45°，则∠AFB的大小为
A 75°B. 80°C. 100°D. 110°
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合三角形内角和易求出、，再根据四边形内角和即可求出的大小，最后根据对顶角相等即可求出的大小．
【详解】∵
∴，
，
在四边形CDFE中，，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形的内角和．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
8. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】解：由题意可知
在中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
9. 如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用轴对称的性质，将线段进行转化，依据“两点之间，线段最短”来求得最短道路．
【详解】作点A关于l的对称点A'，
连接A'B，
则A'B为最短道路．
故选D．
【点睛】本题考查最短路径问题，解决本题的关键是利用轴对称的性质，并借助“两点之间，线段最短”求解．
10. 如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（ ）
A. 7B. 8C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质，可得，，即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：=；
故答案为
12. 如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶，图②是其示意图，该千斤顶的基本形状是一个四边形中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，从而改变千斤顶的高度，这是利用了四边形的______．
【答案】不稳定性
【解析】
【分析】本题主要考查四边形具有不稳定性，根据四边形具有不稳定性解答即可．
【详解】解：根据题意得，这是利用了四边形的不稳定性，
故答案为：不稳定性．
13. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝8，AC＝6，DE＝4，则△ABC的面积为__________
【答案】28
【解析】
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式S△ABC=S△ADB+S△ADC，计算可求解．
【详解】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=4，
∵AB=8，AC=6，
∴S△ABC=S△ADB+S△ADC
=AB•DE+AC•DF
=×4×8+×4×6
=28，
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解DF的长是解题的关键．
14. 图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式乘法的实际运用，解题关键是准确识图，熟练运用长方形面积公式列出代数式并进行计算．根据图形可知阴影部分是两个矩形面积的和，根据矩形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：阴影部分的面积为．
故答案为：．
15. 如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 ______．
【答案】42°##42度
【解析】
【分析】由作图可知，根据∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．
【详解】解：∵AD＝AB，∠A＝32°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝32°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，
故答案为：42°．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由作图得到是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先将方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验．解题关键是掌握解分式方程的方法，最后不要忘记检验．
【详解】解：，
，
，
，
检验：当时，，
所以是该方程的解．
17. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先由BF=CE说明BC= EF．然后运用SAS证明△ABC≌△DEF，最后运用全等三角形的性质即可证明．
【详解】证明：∵BF= CE，
∴BC= EF．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC=DF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC≌△DEF是解答本题的关键．
18. 如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，画出图形即可；
（2）利用割补法求出三角形面积即可．
【小问1详解】
解：
如图，即为所求；
【小问2详解】
解：的面积．
故答案：．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 已知：．
（1）化简A；
（2）当时，求A的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．
（1）根据分式的混合运算法则进行化简；
（2）把代入，即可求出A的值．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
当时，
原式．
20. 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决问题：若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）16
【解析】
【分析】本题考查了矩形的拼图，正方形的性质和判定，分割法求图形的面积，公式的应用，熟练掌握图形的性质和特点，明确两幅图中空白区域面积的计算方法及它们面积相等是解题的关键.
（1）图2的阴影部分的正方形的边长等于小长方形长减去宽；
（2）图2大正方形边长为，面积为，阴影小正方形的边长为，面积， 4个长方形的面积和为，大正方形面积等于小正方形面积加4个小长方形面积；
（3）根据（2）中结论有，把代入计算即得．
【小问1详解】
解：图2的阴影部分的正方形的边长；
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵图2整体上是边长为的正方形，
∴面积为，
∵中间阴影小正方形的边长为，
∴面积，
∵空白4个长方形的面积和为，
∴有；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
即，
∴．
21. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
（2）该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
【答案】（1）甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个
（2）最少需要购买甲种分类垃圾桶个
【解析】
【分析】（1）设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，根据“用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，根据“用不超过元的资金”列出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，
由题意可知：，
解得，
经检验是所列方程的根且符合题意
（元/个）
答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个；
【小问2详解】
解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，
由题意可知：，
解得，
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个．
【点睛】本题考查了分式方程应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，为上一点，当________时，与是偏等积三角形；
问题探究：
（2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度为________．
问题解决：
（3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由．

【答案】（1）；（2）3；（3）是偏等积三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题目所给偏等积三角形的定义，正确画出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质．
（1）根据当时，与是偏等积三角形，即可求解；
（2）根据与是偏等积三角形，得出，通过证明，得出，，再根据三角形三边之间的关系得出，则，即可解答；
（3）过点A作于点P，过点B作于点Q，通过证明，得出，再根据三角形的面积公式，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵当时，与面积相等，且，
∴当时，与是偏等积三角形，
故答案为：．
（2）∵与是偏等积三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵线段的长度为正整数，
∴，
故答案为：3；
（3）过点A作于点P，过点B作于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴,
∴与不全等，
∴与是偏等积三角形．

23. 阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）存在，点B的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明；
（2）同（1）证明，得到，，求出即可；
（3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题．
小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
证明：∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：在平面平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下：
分三种情况：
①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F，
同（1）得：，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F，
同（1）得：，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E，
同（1）得：，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或．
【点睛】此题考查了全等三角形性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．