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人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优质导学案及答案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优质导学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【学习目标】
课程标准
素养要求
通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
1、了解两个计数原理的特征.(数学抽象)
2、理解两个计数原理的概念和区别.(逻辑推理)
3、掌握两个计数原理的应用.(数学运算)
4、会根据实际问题的特征,合理地分类或分步.(逻辑推理,数学运算)
【自主学习】
一． 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
二． 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
思考1:分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别?
三．两个原理的区别与联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
关键词
分类
分步
区别
每类方法都能独立完成这件事
各步都完成，才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
联系
都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题
思考2: 在使用两个计数原理解题时，怎样才能有效防止“重复”和“遗漏”的发生？
【小试牛刀】
1、思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
2.某中学需从2022年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为( )
A.6 B.5 C.3 D.2
3.现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤,如果一件上衣和一条长裤配成一套,则不同的搭配法种数为( )
A.7 B.12 C.64 D.81
【经典例题】
题型一 分类加法计数原理
点拨：分类加法计数原理解题的一般思路．
例1 由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成多少个个位数字大于十位数字的两位偶数?
【跟踪训练】1 如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．
题型二 分步乘法计数原理
点拨：
1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点
一是要按照事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;
二是各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事.
2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
例2 (1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )
A.56 B.65 C.30 D.11
(2)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )
A．6 B．12 C．24 D．36
【跟踪训练】2 用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？
题型三 两个原理的综合应用
点拨：利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
(3)弄清分步、分类的标准是什么．
(4)利用两个计数原理求解．
例3 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本.
（1）从中取出1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从中取出语文、数学、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）从中取出2本书，且语文、数学、英语每种只能选一本，有多少种不同的取法？
【跟踪训练】3 如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
【当堂达标】
1.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中,比2 019大的数的个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
2.生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90个101,111,121,…,191,202,…,999.则5位回文数有________个.
4.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________．
5.定义集合A与B之间的运算A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集合A*B中元素个数为________.
6.某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有_____________种.
【课堂小结】
【参考答案】
【自主学习】
一．
二．
思考1：分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.
思考2：(1)画“树形图”：当问题比较简单时，通过画“树形图”可以把所有的情况“不重不漏”地列举出来.
(2)分类标准要统一：利用分类加法计数原理进行分类时，一定要以同一个标准进行分类.
(3)依次排序法：利用分步乘法计数原理时，把数字或字母分为先后，先排前面的数字或字母，再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完则结束.
【小试牛刀】
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.B 解析：选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法.根据分类加法计数原理，不同的选法种数为，故选B.
3.B 解析：完成一种搭配有两个步骤,第一步,选上衣有4种不同的选法;第二步,选长裤有3种不同的选法.所以根据分步乘法计数原理共有4×3=12种不同的搭配法.
【经典例题】
例1 解：由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数分以下四类:
(1)个位数字是2的有1个:12;
(2)个位数字是4的有3个:14,24,34;
(3)个位数字是6的有5个:16,26,36,46,56;
(4)个位数字是8的有7个:18,28,38,48,58,68,78.
所以由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数共有1+3+5+7=16个.
【跟踪训练】1 5 解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；
第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；
第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法．
由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．
例2 (1)A 解析：第一名同学有5种选择方法,第二名也有5种选择方法,…,依次,第六名同学有5种选择方法,综上,6名同学共有56种不同的选法.
(2) A 解析：确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.
【跟踪训练】2 解：分四个步骤来完成涂色这件事.涂A有5种方法；涂B有4种方法；
涂C有3种方法；涂D有3种方法（还可以使用涂A的颜色）.根据分步乘法计数原理共有5×4×3×3=180种涂色方法.
例3 解：（1）分三类，共有不同取法N=12+14+11=37种.
（2）分三步，共有不同取法N=12×14×11=1 848种.
（3）分三类，每类分两步.从语文、数学书中各选1本，有12×14种不同的选法；从语文、英语书中各选1本，有12×11种不同的选法；从数学、英语书中各选1本，有14×11种不同的选法，所以共有不同的选法N=12×14+12×11+14×11=454种.
【跟踪训练】3 C 解析: 完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．
【当堂达标】
1.B解析：根据题意,分2种情况讨论:
①当千位为3时,百位有3种情况;十位有2种情况,个位有1种情况,共有3×2×1=6种情况.
②当千位为2时,若百位为1或3时,则剩下的十位有2种情况:个位有1种情况,总共2×2×1=4种情况,即有4个符合条件的4位数;若百位为0时,只有2 031一个符合条件的4位数;
综上共有6+4+1=11个符合条件的4位数.
2.B解析：分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12(种)；②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24(种).所以共有12＋24＝36(种).
3.900 解析：第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有10种选法;第三步,选左边第三个数字就是右边第三个数字,有10种选法,故5位回文数有9×10×10=900.
4. 72 解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．
5. 12 解析：确定有序数对(x,y)需要两个步骤,第一步,确定x的值有3种不同的方法;第二步,确定y的值有4种不同的方法.所以集合A*B中元素个数为3×4=12.
6. 10 解析：由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：
①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有种编排方案；
②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有种编排方案.
故编排方案共有种.
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【学习目标】
课程标准
素养要求
通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
1、了解两个计数原理的特征.(数学抽象)
2、理解两个计数原理的概念和区别.(逻辑推理)
3、掌握两个计数原理的应用.(数学运算)
4、会根据实际问题的特征,合理地分类或分步.(逻辑推理,数学运算)
【自主学习】
一． 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
二． 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
思考1:分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别?
三．两个原理的区别与联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
关键词
分类
分步
区别
每类方法都能独立完成这件事
各步都完成，才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
联系
都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题
思考2: 在使用两个计数原理解题时，怎样才能有效防止“重复”和“遗漏”的发生？
【小试牛刀】
1、思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
2.某中学需从2022年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为( )
A.6 B.5 C.3 D.2
3.现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤,如果一件上衣和一条长裤配成一套,则不同的搭配法种数为( )
A.7 B.12 C.64 D.81
【经典例题】
题型一 分类加法计数原理
点拨：分类加法计数原理解题的一般思路．
例1 由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成多少个个位数字大于十位数字的两位偶数?
【跟踪训练】1 如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．
题型二 分步乘法计数原理
点拨：
1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点
一是要按照事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;
二是各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事.
2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
例2 (1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )
A.56 B.65 C.30 D.11
(2)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )
A．6 B．12 C．24 D．36
【跟踪训练】2 用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？
题型三 两个原理的综合应用
点拨：利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
(3)弄清分步、分类的标准是什么．
(4)利用两个计数原理求解．
例3 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本.
（1）从中取出1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从中取出语文、数学、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）从中取出2本书，且语文、数学、英语每种只能选一本，有多少种不同的取法？
【跟踪训练】3 如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
【当堂达标】
1.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中,比2 019大的数的个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
2.生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90个101,111,121,…,191,202,…,999.则5位回文数有________个.
4.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________．
5.定义集合A与B之间的运算A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集合A*B中元素个数为________.
6.某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有_____________种.
【课堂小结】
【参考答案】
【自主学习】
一．
二．
思考1：分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.
思考2：(1)画“树形图”：当问题比较简单时，通过画“树形图”可以把所有的情况“不重不漏”地列举出来.
(2)分类标准要统一：利用分类加法计数原理进行分类时，一定要以同一个标准进行分类.
(3)依次排序法：利用分步乘法计数原理时，把数字或字母分为先后，先排前面的数字或字母，再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完则结束.
【小试牛刀】
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.B 解析：选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法.根据分类加法计数原理，不同的选法种数为，故选B.
3.B 解析：完成一种搭配有两个步骤,第一步,选上衣有4种不同的选法;第二步,选长裤有3种不同的选法.所以根据分步乘法计数原理共有4×3=12种不同的搭配法.
【经典例题】
例1 解：由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数分以下四类:
(1)个位数字是2的有1个:12;
(2)个位数字是4的有3个:14,24,34;
(3)个位数字是6的有5个:16,26,36,46,56;
(4)个位数字是8的有7个:18,28,38,48,58,68,78.
所以由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数共有1+3+5+7=16个.
【跟踪训练】1 5 解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；
第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；
第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法．
由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．
例2 (1)A 解析：第一名同学有5种选择方法,第二名也有5种选择方法,…,依次,第六名同学有5种选择方法,综上,6名同学共有56种不同的选法.
(2) A 解析：确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.
【跟踪训练】2 解：分四个步骤来完成涂色这件事.涂A有5种方法；涂B有4种方法；
涂C有3种方法；涂D有3种方法（还可以使用涂A的颜色）.根据分步乘法计数原理共有5×4×3×3=180种涂色方法.
例3 解：（1）分三类，共有不同取法N=12+14+11=37种.
（2）分三步，共有不同取法N=12×14×11=1 848种.
（3）分三类，每类分两步.从语文、数学书中各选1本，有12×14种不同的选法；从语文、英语书中各选1本，有12×11种不同的选法；从数学、英语书中各选1本，有14×11种不同的选法，所以共有不同的选法N=12×14+12×11+14×11=454种.
【跟踪训练】3 C 解析: 完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．
【当堂达标】
1.B解析：根据题意,分2种情况讨论:
①当千位为3时,百位有3种情况;十位有2种情况,个位有1种情况,共有3×2×1=6种情况.
②当千位为2时,若百位为1或3时,则剩下的十位有2种情况:个位有1种情况,总共2×2×1=4种情况,即有4个符合条件的4位数;若百位为0时,只有2 031一个符合条件的4位数;
综上共有6+4+1=11个符合条件的4位数.
2.B解析：分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12(种)；②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24(种).所以共有12＋24＝36(种).
3.900 解析：第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有10种选法;第三步,选左边第三个数字就是右边第三个数字,有10种选法,故5位回文数有9×10×10=900.
4. 72 解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．
5. 12 解析：确定有序数对(x,y)需要两个步骤,第一步,确定x的值有3种不同的方法;第二步,确定y的值有4种不同的方法.所以集合A*B中元素个数为3×4=12.
6. 10 解析：由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：
①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有种编排方案；
②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有种编排方案.
故编排方案共有种.
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