数学人教A版2019选择性必修第一册 8.5空间直线、平面的平行讲义（学生版＋教师版）

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1基本事实4
平行与同一条直线的两条直线平行.
2 等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
3 线面平行
（1）定义 直线与平面无交点.
（2）判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
（3）性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
4 面面平行
（1）定义 α∩β=∅⟹α|| β.
（2） 判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.
（3）性质
(1) a⊂αα||β⇒a||β (面面平行⇒线面平行)
(2) α || βα∩γ=a β∩ γ=b⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)
【题型1】 线线平行的判定
【知识点解读】
1基本事实4
(1) 基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行.
(2) 这性质通常叫做平行线的传递性.符号表述：a // b , b // c⟹ a // c.
2 等角定理
(1) 等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(2) 证明
若在空间中，AB||A'B'，AC||A'C'，证明在下图1中∠BAC=∠B'A'C'，在下图2中∠BAC+∠B'A'C'=180°.

图1 图2
证明 分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD，AE和AD'，AE'，使得AD=A'D',AE=A'E'，
连接AA',DD',EE',DE,D'E'，
∵AD//A'D'，∴四边形ADD'A'是平行四边形，∴AA'//DD'，
同理可证AA'//EE'，∴DD'//EE'，
∴四边形DD'E'E是平行四边形，∴DE=D'E'，
∴△ADE≅△A'D'E'，∴∠BAC=∠B'A'C'.
第二种情况类似证明.
【典题1】 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1中， M，M1分别是棱 AD和 A1D1的中点.
(1) 求证: 四边形BB1M1M为平行四边形；
(2) 求证: ∠BMC=∠B1M1C1.

【巩固练习】
1. (★)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能
2. (★)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中， E，F分别是AB，AC上的点，且 AE:EB=AF:FC，则 EF与B1C1 的位置关系是 .
3. (★★)对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，则四边形MNPQ是 ．
4. (★★)长方体 ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱 AA1，CC1的中点
(1) 求证:D1E||BF ；
(2) 求证: ∠B1BF=∠A1ED1.

【题型2】 线面平行的判定与性质
【知识点解读】
1线面平行的定义
直线与平面无交点.
2 判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
解释
(1) 若平面α外一直线a与该平面一直线b平行，则直线a与平面α没有公共点，即直线a与平面α平行；
(2) 符号表述
a||b a⊄α b⊂α⇒a|| α (线线平行⇒线面平行)
(3) 若a⊄α，要证明a//α，则在平面α内找一条直线与直线a平行.把直面平行问题转化为线线平行.
3 性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
解释
(1) 符号表述
a||αa⊂β α∩β=b⇒ a || b (线面平行⇒线线平行)
(2) 证明：如上图，∵α∩β=b，∴b⊂α，又a||α，∴a与b无公共点，
又a⊂β,b⊂β，∴a//b.
(3) 该性质定理可以由线面平行得到线线平行，即线线平行问题也可以转化为线面平行.
【典题1】 正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，G分别是BC，C1D1的中点，如图所示．求证：EG∥平面BB1D1D．
【典题2】 已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且CM=2B1N=λ，当MN∥平面AA1C1C时，λ的值为( )
A．34B．23C．12D．13
【巩固练习】
1. (★)已知空间中的直线a，平面α，则a∥α的一个充分条件是( )
A．直线与平面内的一条直线平行
B．直线与平面内的某条直线不相交
C．直线与平面内的无数条直线平行
D．直线与平面内的所有直线不相交
2. (★)已知直线l∥平面α，点P∈平面α，那么过点P且平行于直线l的直线( )
A. 有无数条，仅有一条在平面α内 B. 只有一条，且不在平面α内
C. 有无数条，均不在平面α内 D. 只有一条，且在平面α内
3. (★★)如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，A1D1，AD的中点，则下列结论不正确的是( )
A．A1E∥D1FB．A1E∥HF
C．EG∥平面D1IFD．A1E∥平面D1FGB1
4. (★★)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是( )
A．空间四边形B．矩形C．梯形D．平行四边形
5. (★★★)一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PB、PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是( )
A．直线AE与直线BF异面B．直线AE与直线DF异面
C．直线EF∥平面PADD．直线EF∥平面ABCD
6. (★★)如图，P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别在AB，BC，PC上，且PG=2GC，AC∥平面EFG，PB∥平面EFG．则AEEB=( )
A．12B．1C．32D．2
7. (★★)如图:平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有条公共边CD，M为FC的中点，
证明:AF∥平面MBD．
8. (★★★)如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证:EF∥平面BB1D1D．

【题型3】 面面平行的判定与性质
【知识点解读】
1定义
α∩β=∅⟹α|| β.
判断 (1) α内有无穷多条直线都与β平行 ( × )；
(2) α内的任何一条直线都与β平行 ( √ ) .
2 判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.
解释
(1) 符号表述：a , b⊂α , a∩ b=O , a || β , b|| β⇒α || β .
(2) 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.
符号表述：a , b⊂α , a∩ b=O , a' , b'⊂β , a|| a' , b ||b' ⇒α|| β
3 面面平行的性质
(1) a⊂αα||β⇒a||β (面面平行⇒线面平行)
(2) α || βα∩γ=a β∩ γ=b⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)
证明 如下图，∵α∩γ=a,β∩γ=b，∴a⊂α,b⊂β，
又α || β，∴a,b没有公共点，
又a,b同在平面γ内，∴a//b.

【典题1】 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证:EF∥平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证:平面GEF∥平面BDD1B1．
【典题2】已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外一点(如图所示)，且直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B，C，D，若PA=4，PB=5，PC=3，则PD= ．
【巩固练习】
1.(★)α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是( )
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
2. (★)已知α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是( )
A．a⊥β，α⊥βB．α⊥β=b，a∥bC．a∥b，b∥αD．α∥β，a⊂β
3. (★★)如图，在多面体ABC﹣DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB=DE，DG=2EF，则( )
A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABED
C．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF
4. (★★)下列四个正方体图形中，A、B、M、N、P分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
A． B．C． D．
5. (★★★)如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，点E、F分别在线段DB、DD1上，且DEEB=13，点G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则CGCC1= ．
6. (★★)正方体ABCD−A1B1C1D1中．
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．


7. (★★★)两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，过M作MH⊥AB于H，求证：
(1)平面MNH∥平面BCE；(2)MN∥平面BCE．
8. (★★★)如图:正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，E，F分别为DD1，BB1的中点．
(1)求证:CF∥平面A1EC1；
(2)过点D做正方体截面使其与平面A1EC1平行，请给以证明并求出该截面的面积．

1. (★★)在下面四个三棱柱中，A，B为三棱柱的两个顶点，E，F，G为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB与平面EFG不平行的是( )
A． B．C．D．
2. (★★)如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC−A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有( )
A．1条B．2条C．3条D．无数条
3. (★★)如图，在多面体ACBDE中，BD∥AE，且BD=2，AE=1，点F在CD上，要使AC∥平面EFB，则DFFC的值为( )
A．3B．2C．1D．12
4. (★★★)如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为A1B1，BC的中点，设过点E，F，D1的平面为α，则下列说法正确的是( )
A．在正方体AC1中，存在某条棱与平面α平行
B．在正方体AC1中，存在某条面对角线与平面α平行
C．在正方体AC1中，存在某条体对角线与平面α平行
D．平面α截正方体AC1所得的截面为五边形
5. (★★★) (多选)如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有( )
A．F为AA1的中点B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点D．F为A1D1的中点
6. (★★)如图所示，四棱锥P−ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为 ．
7. (★★)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件
时，A1P∥平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
8. (★★)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC=2，CA=3，CD=1，则AB= ．