初中数学沪科版（2024）七年级下册（2024）完全平方公式与平方差公式练习

这是一份初中数学沪科版（2024）七年级下册（2024）完全平方公式与平方差公式练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子中是完全平方式的是（ ）
A . a2+2a+1 B . a2+2a+4 C . a2﹣2b+b2 D . a2+ab+b2
2.规定 acbd =（a+d）（b+c），如果c=﹣1，d=1，a﹣b= 23-1 ， ab= 3 ， 那么计算结果是（ ）
A . 33 B . -3 C . 22 D .-22
3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A . （﹣x﹣y）（x﹣y）
B . （﹣x+y）（﹣x﹣y）
C . （x+y）（﹣x+y）
D . （x﹣y）（﹣x+y）
4.已知a 2+a﹣3=0，那么a 2（a+4）的值是（ ）
A . 9 B . ﹣12 C . ﹣18 D . ﹣15
5.下列计算正确的是（ ）
A . 3mn−mn=2
B .m+2n2=m2+2mn+2n2
C .−m−2n2=m2−4mn+4n2
D .−2m3⋅m2=−8m5
二、填空题
1.如果3x﹣2的值为 6 ， 那么9x 2﹣12x+5的值是 ________ ．
2.如果2 x÷16 y=8，则2x﹣8y= ________ ．（﹣2a 5）÷（﹣a） 2= ________ ．
3.计算：①399×401= ________ ；②0.25 2006×4 2007= ________ ．
4.若计算 (y+n)(4y−3)−5y所得的结果中不含y的一次项，则常数n的值为 ________ .
5.如图，某小区有一块长为 3a+b米，宽为 2a−b米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积， S= ________ （用含有a，b的式子表示）．
6.若a+b=7，ab=12，则a 2+b 2的值为 ________
7.x 2+ 1x2=4，则x+ 1x的值为 ________ ．
8.4个数a、b、c、d排列成 a bc d ， 我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为： a bc d=ad−bc ． 若 x+3 x−3x−3 x+3=12 ， 则x= ________ ．
9.1+6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)的个位数字是 ________ ．
10.已知 （x﹣a）（x+a）=x 2﹣9，那么a= ________ ．
三、综合题
1.把一个长为 2m ， 宽为 2n的长方形沿图1中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后拼成—个正方形（如图2）.
（1） 请用两种方法求出图2中阴影部分的面积；（直接用含 m，n的式子表示）
方法1： ________ ；
方法2： ________ ；
（2） 根据（1）中的结论，请你写出下列三个式子 (m+n)2，(m−n)2，mn间的等量关系： ________ ；
（3） 根据（2）中的等量关系.解决如下问题：已知实数 a，b满足 a+b=5，a−b=1 ， 请求出 ab的值.
2.探究规律，解决问题：
（1） 化简： (m−1)(m+1)= ________ ， (m−1)(m2+m+1)= ________ ．
（2） 化简： (m−1)(m3+m2+m+1) ，写出化简过程．
（3） 化简： (m−1)(mn+mn−1+mn−2+⋯+1)= ________ ．（n为正整数， mn+mn−1+mn−2+⋯+1 为 n+1 项多项式）
（4） 利用以上结果，计算 1+3+32+33+⋯+3100 的值．
3.若x满足 (30−x)(x−10)=160 ， 求 (30−x)2+(x−10)2的值．
解：设 30−x=a，x−10=b ．
则 (30−x)(x−10)=ab=160 ， a+b=(30−x)+(x−10)=20 ，
∴ (30−x)2+(x−10)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×160=80 ．
解决问题：
（1） 若x满足 (2023−2x)2+(2x−2013)2=70 ， 求 (2023−2x)(2x−2013)的值，参考例题写出解题过程
（2） 如图，长方形 ABCD，AB=30，BC=18 ， 点E、F是 BC、CD上的点，且 BE=DF=x ， 分别以 FC、CE为边在长方形 ABCD外侧作正方形 CFGH和 CEMN ， 若长方形 CEPF的面积为200，求图中阴影部分的面积和．
4.学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题.如图1，是由边长为a，b的正方形和长为a，宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式： (a+2b)(a+b)= a2+3ab+2b2.
（1） ①如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 ▲ ；
②已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，利用①中所得到的等式，求代数式 a2+b2+c2的值.
（2） ①如图3，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，类比图1，用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的等式为 ▲ ；
②已知a+b＝5，ab＝6，利用①中所得的等式，求代数式 a3+b3的值.
5.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数” .如， 4=22−02，12=42−22，20=62−42 ， 因此4，12，20这三个数都是神秘数.
（1） 28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2） 设两个连续偶数为 2k+2和 2k(其中 k取非负整数 ) ， 由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3） 两个连续奇数的平方差 (取正数 )是神秘数吗？为什么？
四、解答题
1.解决下列问题：
（1） 已知 x+3y=5 ， xy=74 ， 求 x−3y的值；
（2） 已知等腰 △ABC的三边a、b、c为整数，且满足 a2+b2=6a+12b−45 ， 求 △ABC的周长．
2.所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使 A=B2 ， 则称A是完全平方式，例如： a6=a32 ， a2−4a+4=a−22 ．
（1） 下列各式中是完全平方式的编号有______；
① a8；② a4−2a2+1；③ x2+4xy−4y2；④ b2+b+0.25；⑤ x2−8x+16 ．
（2） 若 x−1x=4 ， 请利用完全平方式求 x2+1x2的值．
3.利用所学的知识计算：
（1） 已知a和b都为正数， a2+b2=13,ab=6, 求 a+b的值；
（2） 已知a，b，c为等腰 △ABC的三边的长，若 a2+b2+85=4a+18b ， 求等腰 △ABC的周长．
五、阅读理解
1.阅读下列解答过程：
已知： x≠0 ， 且满足 x2−3x=1 ， 求： x2+1x2的值．
解：∵ x2−3x=1 ， ∴ x2−3x−1=0 ，
∴ x−3−1x=0 ， 即 x−1x=3 ，
∴ x2+1x2=x−1x2+2=32+2=11 ．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知 a≠0 ， 且满足 2a+12a−1−a+33a−2=4 ，
求：
（1） a+1a的值；
（2） a2+1a2的值．
2.阅读理解．
∵4