初中数学北京版（2024）七年级下册（2024）8.3 公式法课后练习题

这是一份初中数学北京版（2024）七年级下册（2024）8.3 公式法课后练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.因式分解3y 2﹣6y+3，结果正确的是（ ）
A . 3（y﹣1）2
B . 3（y2﹣2y+1）
C . （3y﹣3）2
D .3y-12
2.若实数a，b满足a+b=4，则a 2+2ab+b 2的值是（ ）
A . 2 B . 4 C . 8 D . 16
3.下列因式分解正确的是（ ）
A . m2+n2=（m+n）2
B . m2﹣4n2=（m﹣2n）（m+2n）
C . （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
D . a2﹣3a+1=a（a﹣3）+1
4.方程2x 2﹣8=0的根为（ ）
A . x=﹣2 B . x=2 C . x=±2 D . 以上都不对
5.a 4b﹣6a 3b+9a 2b分解因式得正确结果为（ ）
A . a2b（a2﹣6a+9）
B . a2b（a﹣3）（a+3）
C . b（a2﹣3）2
D . a2b（a﹣3）2
6.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形 ABCD的底边 BC取中点E，以E为圆心，线段 DE为半径作圆，其与底边 BC的延长线交于点F，这样就把正方形 ABCD延伸为矩形 ABFG ， 称其为黄金矩形．若 CF=4a ， 则 AB=（ ）
A . 5−1a B . 25−2a C . 5+1a D .25+2a
7.4x 2-12x+m 2是一个完全平方式，则m的值应为（ ）
A . 3 B . -3 C . 3或-3 D . 9
8.计算：75 2﹣25 2=（ ）
A . 50 B . 500 C . 5000 D . 7100
二、填空题
1.将 24×25×26×27+1表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ________ ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即 a×(a+1)×(a+2)×(a+3)+1=A2 ， 其中a为正整数，那么这个自然数 A= ________ ．
2.若 20242024−20242022=2025×2023×2024n ， 则 n= ________ ．
3.如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90° ， AC=1 ， 点D是 BC上一点，且 ∠CAD=∠B ， tan∠BAD=12 ， 则 CD的长为 ________
4.△ABC中， AD⊥BC于 D ， BD=4 ， CD=2 ， ∠BAC=45° ， 则 S△ABC= ________ ．
5.化简求值：（a﹣2）• a2-4a2-4a+4= ________ ，当a=﹣2时，该代数式的值为 ________
6.若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即： k=a2−b2（其中a，b都是正整数，且 a>b>1），那么我们称 a,b为正整数k的“欢喜数对”．如： 9=52−42 ， 那么正整数9的“欢喜数对”为 5,4 ． 今年是2024年，那么正整数2024的“欢喜数对”为 ________ （请写出所有满足条件的“欢喜数对”）．
7.已知方程组 {4x+y=5ax−by=−5 和方程组 {3x+2y=5ax+by=1 有相同的解，则a 2﹣b 2的值为 ________ .
8.若a+b=2011，a﹣b=1，则a 2﹣b 2= ________
三、计算题
1.解方程 x2−12−5x2−1+4=0时，我们可以将 x2−1视为一个整体，设 x2−1=y ， 则原方程可化为 y2−5y+4=0 ， 解得 y1=1,y2=4 ． 当 y=1时， x2−1=1 ， ∴x=±2；当 y=4时， x2−1=4,∴x=±5.∴原方程的解为 x1=−2,x2=2,x3=−5 ， x4=5 ． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解下列方程：
（1） x4−3x2−4=0；
（2） x2+xx2+x−2=−1 ．
2.解答题
（1） 解不等式组： x−2≤4x+1x−120
∴x1= ________ ，x2= ________
∴满足要求的矩形B存在.
（2） 如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
4.设x 1 ， x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根.
（1） 试推导x 1+x 2=- ba ，x 1·x 2= ca ；
（2） 求代数式a（x 1 3+x 2 3）+b（x 1 2+x 2 2）+c（x 1+x 2）的值.
5.先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如 x2+2ax+a2 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 (x+a)2 的形式． 但对于二次三项式 x2+2ax−3a2 ，就不能直接运用公式了． 此时，我们可以在二次三项式 x2+2ax−3a2 中先加上一项 a2 ，使它与 x2+2ax 成为一个完全平方式，再减去 a2 ，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2
=(x2+2ax+a2)−a2−3a2
=(x+a)2−4a2
=(x+a)2−(2a)2
=(x+3a)(x−a)
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 利用“配方法”，解决下列问题：
（1） 分解因式： a2−8a+15= ________ ；
（2） 若△ABC的三边长是a，b，c，且满足 a2+b2−14a−8b+65=0 ，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值；
（3） 当x为何值时，多项式 −2x2−4x+3 有最大值？并求出这个最大值．
五、解答题
1.等腰三角形的边长是方程 x2−22x+1=0的两根，求它的周长．
2.我们对多项式x²+x﹣6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x 2+x﹣6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：x 2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab
所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．当然这也说明多项式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2．
像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．
（1）已知关于x的多项式x2+mx﹣15有一个因式为x﹣1，求m的值；
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．
3.某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：
方案1：第一次提价的百分率为p，第二次提价的百分率为q．
方案2：第一、二次提价的百分率均为 p+q2 ．
其中p、q是不相等的正数．设产品的原单价为a元时，上述两种方案使该产品的单价变为：
（1） 方案1：______；方案2：______；
（2） 两种方案中哪种提价多？请说明理由．
六、阅读理解
1.先阅读以下材料，然后解答问题．分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．
以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ．
2.先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式 x2+4x+6的最小值．
原式 =x2+4x+4+2=(x+2)2+2 ．
∵（x+2）2≥0 ，
∴当 x=−2时， x2+4x+6有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
（1） 求代数式 x2−6x+12的最小值；
（2） 当a，b，c分别为 △ABC的三边且c为偶数，并且满足 a2+b2−4a−16b+68=0时，判断 △ABC的形状并求出周长．
3.阅读下列解答过程，然后回答问题．已知多项式x 3+4x 2+mx+5有一个因式（x+1），求m的值．
解：设另一个因式为（x2+ax+b），
则x3+4x2+mx+5=（x+1）（x2+ax+b）=x2+（a+1）x2+（a+b）x+b，
∴a+1=4，a+b=m，b=5，∴a=3，b=5，∴m=8；
依照上面的解法，解答问题：若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值