北京版（2024）七年级下册（2024）8.3 公式法课后测评

这是一份北京版（2024）七年级下册（2024）8.3 公式法课后测评，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.多项式-1+0.04a 2分解因式的结果是（ ）
A . （-1+0.2a）2
B . （1+0.2a）（1-0.2a）
C . （0.2a+1）（0.2a-1）
D . （0.04a+1）（0.04a-1）
2.设一个正方形的边长为 acm ， 若其边长增加了 4cm ， 则新正方形的面积增加了：（ ）
A . (8a+16)cm2 B . 8acm2 C . 16cm2 D .4acm2
3.如图，在矩形 ABCD中， AB=a,AD=b ， 先以顶点B为圆心，以边 AB为半径作弧交对角线 BD于点E，再以顶点D为圆心，以边 AD为半径作弧交对角线 BD于点 F，则方程 x2+2ax=b2的一个正根是（ ）

A . 线段 BD的长
B . 线段 BF的长
C . 线段 DE的长
D . 线段 EF的长
4.将多项式x﹣x 3因式分解正确的是（ ）
A . x（x2﹣1）
B . x（1﹣x2）
C . （1＋x）（1﹣x）
D . x（1＋x）（1﹣x）
5.下列因式分解的结果中不含因式(a+1)的是（ ）
A . 3a2-3 B . a2b+ab C . a2+a-2 D . (a+3)2-4(a+3)+4
6.甲、乙两个同学分解因式 x2+mx+n时，甲把 m看错分解结果为 x+3x−4 ， 乙把 n看错分解结果为 x+1x+3 ， 那么多项式 x2+mx+n分解的正确结果是（ ）
A .x+2x−6
B .x+6x−2
C .x+4x−3
D .x−1x+5
7.若（-a+b）·p=a 2-b 2 ， 则p等于（ ）
A . -a-b B . -a+b C . a-b D . a+b
二、填空题
1.若一个整数能表示成 a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为 2=12+12 ， 再如， M=x2+2xy+2y2=x+y2+y2（ x+y ， y是正整数），所以M也是“丰利数”．若 p=4x2−mxy+2y2−6y+9（其中 x>y>0）是“丰利数”，则 m= ________ ．
2.把16x 5﹣4x 3分解因式的结果是 ________ ．
3.如果x+y=1，x 2+y 2=3，那么x 3+y 3= ________ ．
4.若x+y＝6，x﹣y＝2，则x 2﹣y 2＝ ________ ．
5.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： x−1 ， a−b ， 5， x2+1 ， a， x+1 ， 分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西．现将 5ax2−1−5bx2−1因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ________ ．
6.已知函数 y=(m2−3m)xm2−2m−1的图象是抛物线，则 m= ________ ．
7.若 20242024−20242022=2025×2023×2024n ， 则 n= ________ ．
三、计算题
1.分解因式
（1） 2 am﹣6 an
（2） x 4 y 2－16 x 2 y 4 ．
（3） －3 ma 2＋12 ma－12 m；
2.按要求作答．
（1） 计算： −12024−1−2+12−1×(π−3.14)0−83 ．
（2） 计算： 5m(m−1)−(3m−1)(3m+1)+(2m−1)2 ．
（3） 分解因式： x2(a−b)+9y2(b−a) ．
（4） 解分式方程： x−2x+2−16x2−4=1 ．
3.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
①已知 x2+y2−2x+4y+5=0 ， 求 x+y的值．
解：原方程可化为x2−2x+1+y2+4y+4=0
即(x−1)2+(y+2)2=0
∵ (x−1)2≥0 ，(y+2)2≥0
∴ x=1 ，y=−2
∴x+y=-1
②求 a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8
＝ a2+6a+9−1＝(a+3)2−1 ，
∵ (a+3)2≥0 ，
∴ (a+3)2−1≥-1 ，
即 a2+6a+8的最小值为 −1 ．
请根据上述材料解决下列问题：
（1） 在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： a2+4a+________．
（2） 用配方法因式分解： a2−6a+8 ．
（3） 求 −x2+4x+5的最大值．
四、综合题
1.教科书中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式：x2＋2x－3.
原式.=x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
例如：求代数式 2x2+4x−6的最小值.
原式=2x2+4x-6=2(x+1)2-8
∴当 x=−1时， 2x2+4x−6有最小值，最小值是－8.
（1） 请用上述方法分解因式： a2−2a−3= ________ ；
（2） 试说明：x、y取任何实数时，多项式 x2+y2−4x+2y+6的值总为正数；
（3） 当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出 m2−2mn+2n2−4m−4n+25这个最小值.
2.在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1:y=mx−2m+6(m>0)与反比例函数 y=kx(k>0)的图象相交于 A(2,a) ， B两点，与 x轴和 y轴分别相交于 C ， D两点．经过点 A的直线 l2与该反比例函数图象在第一象限内相交于另一点 E ， 且满足 l1⊥l2 ， 连接 BE ．
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 如图，若直线 BE恰好经过原点 O ， 求 m的值；
（3） 设直线 BE与 y轴负半轴相交于点 F ， 当 △BDF是以 BD为底边的等腰三角形时，求点 E的坐标．
3.已知：△ABC的三边别是a，b，c．
（1） 当b 2+2ab=c 2+2ac时，试判断△ABC的形状；
（2） 判断式子a 2-b 2+c 2-2ac的值的符号．
4.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米.
（1） AB＝ ________ 米（用含x的代数式表示）；
（2） 若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长；
（3） 矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由.
5.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：4x2−4x−y2+1=(4x2−4x+1)−y2=(2x−1)2−y2=(2x−y−1)(2x+y−1)
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： x2−3x−40 分析：x2−3x−40

观察得出：两个因式分别为 (x+5)与(x−8)
解：原式=(x+5)(x−8)
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如： y2−10y+21=y2−10y+25−4=(y−5)2−22=(y−5+2)(y−5−2)=(y−3)(y−7) ．
（1） 仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ab−a−b+1= ________ ；
②（十字相乘法） y2+3y−10= ________ ；
（2） 已知：a、b、c为 △ABC的三条边， a2+b2+c2−6a=10b+8c−50 ， 判断 △ABC的形状．
五、解答题
1.已知对于任意实数x代数式 x2的最小值是0，代数式 (x−3)2 ， 当 x=3时的最小值是0．
（1） 求代数式 x2+12x+36的值是最小值时x的值．
（2） 判断代数式 −x2+13x−2的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式 −x2+13x−2的最大值或者最小值
2.如果a 2+a=0（a≠0），求a 2005+a 2004+12的值．
3.类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
（1） ①已知 11×2=1−12, 12×3=12−13, 13×4=13−14 ， …，则依据此规律 1nn+1= ；
②请你利用十字相乘法进行因式分解： x2+5x+6= ；
（2） 若 a、 b满足 a2−2a+1+2a−b=0 ． 求 1a⋅b+1a+1⋅b+1+1a+2⋅b+2+1a+3⋅b+3+⋯+1a+2021⋅b+2021的值；
（3） 受此启发，解方程 1x2+9x+20+1x2+11x+30+1x2+13x+42+1x2+15x+56=4x2+28 ．
4.用适当的方法解下列一元二次方程
（1）4（x-1）2-36=0（直接开平方法）
（2）x2+2x-3=0（配方法）
（3）x（x-4）=8-2x（因式分解法）
（4）（x+1）（x-2）=4（公式法）
六、阅读理解
1.材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式．
材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
已知函数 y=x2+4x+1 ．
（1） 将函数 y=x2+4x+1拆分成整式与真分式的和的形式；
（2） 若直线 y=kx与函数 y=x2+4x+1的图象恰好只有一个交点，求实数 k的值；
（3） 若点 a,y1,1a,y2都在函数图象上，当 a>0时，求 y=y1+y2的最小值．
2.先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式 x2+4x+6的最小值．
原式 =x2+4x+4+2=(x+2)2+2 ．
∵（x+2）2≥0 ，
∴当 x=−2时， x2+4x+6有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
（1） 求代数式 x2−6x+12的最小值；
（2） 当a，b，c分别为 △ABC的三边且c为偶数，并且满足 a2+b2−4a−16b+68=0时，判断 △ABC的形状并求出周长．
3.阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式 x2+bx+c（b、c为常数）写成 x+h2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
（1）若多项式 x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为_________．
（2）配方： x2−6x−10=x−32−________；
【知识运用】
（3）已知 m2+2mn+2n2−8n+16=0 ， 则 m=______， n=______；
（4）求多项式： x2+y2−4x+6y+15的最小值．