江西南昌市第二中学2025-2026学年度上学期高二数学期末试卷含答案

这是一份江西南昌市第二中学2025-2026学年度上学期高二数学期末试卷含答案，共9页。试卷主要包含了复数2−3i的共轭复数的虚部是，圆A，BC等内容，欢迎下载使用。
1．复数2−3i的共轭复数的虚部是（ ）
A．2B．−2
C．3D．−3
2. 空间四边形OABC中，OA→=a，OB→=b，OC→=c，点P，Q分别为OC，AB中点，则PQ→等于（ ）
A．12a+12b+12cB．−12a+12b+12c
C．12a+12b−12cD．12a−12b+12c
3．已知某市高三一次模拟考试数学成绩X∼N(90,a2)，且P(700)的左、右顶点分别为A，B，点P在双曲线上（异于A，B），设直线AP的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，且k1·k2≥12，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．1,62B．62,+∞
C. (1,2]D. [2,+∞)
8. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与(x−a)2+(y−b)2相关的代数问题可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数x，y满x2+y2+4x+4+x2+y2−4x+4=42，则y−2x−3的取值范围是（ ）
A. [0,6]B. [3,6]
C. [0,12]D. [3,12]
二．多选题：
9. 下列关于1x−2x10的二项展开式，说法正确的是（ ）
A. 展开式共有10项
B. 展开式的二项式系数之和为1024
C. 展开式的常数项为8064
D. 展开式的第6项的二项式系数最大
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 若随机变量X∼B2,13，则D(X)=23
B. 若随机变量X∼N(4,9)，则E(X)=4
C. 若随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=14，则D(X)=316
D. 若随机变量X满足P(X=k)=C2k·C42−kC62，k=0，1，2，则E(X)=13
11. 如图，P是椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)在第一象限的交点，且C1，C2共焦点F1，F2，∠F1PF2=θ，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论不正确的是（ ）
A. |PF1|=m+a，|PF2|=m−a
B. 若θ=60°，则1e12+3e22=4
C. 若θ=90°，则e12+e22的最小值为2
D. tanθ2=bn
三．填空题：
12. 利用变量x，y的5组实验数据，求得y关于x的经验回归方程为y^=−52x+1，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 ______.
13. 在平面直角坐标系中，已知M(−1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|=2|PM|，则点P的轨迹方程为 ____.
14. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 棱长为2， M 为 AA1 的中点， P 为空间中的点，且满足 AP→=AA1→+1+csα2AB→+1+sinα2AD→,α∈R ，则多面体 A1MBDP 体积的最大值为 ____.
四．解答题：
15. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记A为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”； B为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件A的频率是事件B的频率的2倍.
（1）求表中a，b的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
参考数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d。
16．如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE=60°，G为BE的中点.
（1）求证：AG⊥平面ADF；
（2）若AB=3BC，求二面角D−CA−G的余弦值.
17．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A(2,0)，且离心率为32。
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P、Q，直线AP和AQ分别与直线x=4交于点M、N，求∆APQ与∆AMN面积之和的最小值.
18．21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为
小明取到棕色内饰的模型，求P(B)和P(B|A)，并判断事件A和事件B是否独立.
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色.
假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.
19. 造型⊘可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于−1，到点F(1,0)的距离与到定直线x=a(a7.879，
所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.
16．（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB且AD⊂
平面ABCD，∴AD⊥平面ABEF，
∵AG⊂平面ABEF，∴AD⊥AG，
∵四边形ABEF为菱形且G为BE中点，∴AB=2BG，又∠ABE=60°，∴AG⊥BE，
又BE∥AF，∴AG⊥AF，
∵AD，AF⊂平面ADF，AD∩AF=A，∴AG⊥平面ADF.
（2）以A为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，
设BC=2，则AB=23，AG=3，
∴A(0,0,0)，G(3,0,0)，C(3,−3,2)，D(0,0,2)，
则AG→=(3,0,0)，AC→=(3,−3,2)，AD→=(0,0,2)，
设平面ADC的法向量n1→=(x1,y1,z1)，
则{AD→⋅n1→=2z1=0AC→⋅n1→=3x1−3y1+2z1=0，令y1=3，则x1=1，z1=0，∴n1→=(1,3,0)．
设平面ACG的法向量n2→=(x2,y2,z2)，
则{AC→⋅n2→=3x2−3y2+2z2=0AG→⋅n2→=3x2=0，令z2=3，则x2=0，y2=2，∴n2→=(0,2,3)，
∴cs⟨n1→，n2→⟩=n1→·n2→|n1→|·|n2→|=2327=217，
∵二面角D−CA−G为钝二面角，∴二面角D−CA−G的余弦值为−217．
17．（I）x24+y2=1；（II）最小值为4．
（I）设椭圆C的焦距为2c(c>0)，依题意，得{a=2ca=32c2=a2−b2(a>b>0)，解得{a=2b=1．
所以椭圆C的方程为x24+y2=1；
（II）设点Q(x0,y0)，依题意，点P坐标为(−x0,−y0)，
满足x024+y02=1（−2