江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题含答案

这是一份江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 设F1，F2为椭圆C， 已知过原点的直线l与圆C， 已知点P为椭圆C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 倾斜角为135°，在y轴上的截距为−1的直线方程是（ ）
A．x -y+1=0B．x−y−1=0C．x+y−1=0D．x+y+1=0
2. 圆心为(2，1)且过点(−1，5)的圆的标准方程为（ ）
A．(x−2)2+(y−1)2=49B．(x+1)2+(y+2)2=49
C．(x−2)2+(y−1)2=25D．(x+2)2+(y+1)2=25
3. 二项式1x2−2x6的展开式中第四项的系数是（ ）
A．15B．20
C．−160D．240
4. 设F1，F2为椭圆C:x29+y24=1的两个焦点，点P在C上，若PF1→·PF2→=0，则|PF1|·|PF2|=（ ）
A．4B．8C．16D．20
5. 如图，三棱锥O−ABC中，OA→=a，OB→=b，OC→=c，且OM→=35OA→，CN→=12CB→，则MN→=（ ）
A. 15a+13b+13cB. −15a+13b+13c
C. 35a+12b+12cD. −35a+12b+12c
6. 从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（ ）
A.120种B.96种C.72种D.48种
7. 已知过原点的直线l与圆C:(x−3)2+(y−4)2=41相交于M，N两点，则|MN|的最小值为（ ）
A.8B. 39
C.10D. 46
8. 已知点P为椭圆C:x225+y216=1上第一象限的一点，左、右焦点为F1，F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M，过点F1作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若|OH|=1，则∆F1PF2面积为（ ）
A. 42B.8
C. 82D.12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量m=(−1,2,4)，n=(1,−2,x)，则下列选项中正确的是（ ）
A. 当m∥n时，x=−4
B. 当m⊥n时，x=54
C. 当|m+n|=5时，x=1
D. 当x=5时，sin⟨m，n⟩=31414
10. 若(2x−1)5=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+a3(x−1)3+a4(x−1)4+a5(x−1)5，则下列结论中正确的是（ ）
A. a0=−1B. a4=80
C. |a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35D. (a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=310−14
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知两定点F1(−2,0)，F2(2,0)，动点P(x0,y0)满足|PF1|·|PF2|=4，设点P的轨迹为曲线C，下列说法中正确的有（ ）
A. P的横坐标取值范围是[−22,22]
B. 不存在点P，使得PF1⊥PF2
C. |PF1|+|PF2|最小值为4
D. ∆F1PF2的面积最大值为2
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 若双曲线C:x29−y2b2=1的一条渐近线方程为y=3x，则C的离心率为________.
13. 直线l1:mx+3my−6=0与直线l2:(4−m)x+my+m2−4m=0，若l1∥l2，则m=________.
14. 阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y−z−1=0，直线l是两平面x−y+5=0与y+z+2=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为________.
四、解答题：本题共\（5 \）小题，共\（77 \）分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数：
（1）民族舞节目不能安排在第一个表演时段；
（2）古筝演奏节目与相声节目必须相邻.
16. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2，且过点52,32.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知F为双曲线的左焦点，P为双曲线上一点，且线段PF的中垂线倾斜角为150°，求|PO|的值（O为坐标原点）.
17. 已知圆心为M的圆经过点A(2,2)，B(−2,6)，半径为4，且圆心M位于第二象限，
（1）求⊙M的标准方程；
（2）过点A的直线l交圆M于另一点C，连接MA，MC，若扇形MAC的面积为16π3，求直线l的方程.
18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，AD=BC=AB=12CD=2，∠CBP=∠ADP=90°.
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）若点P，A，B，C，D都在半径为22的球O的表面上，
（i） 求PD的长度；
（ii） 棱PB上是否存在一点E，使得二面角E−AD−P的余弦值为437，若存在，求出PEPB的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知点P(0,−2)，Q(32,1)为椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)上的两点，点T(3,2)为椭圆外一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点T作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，其中点A在x轴下方，连接AB.
（i） 求A，B两点的坐标；
（ii） 过点T作椭圆的一条割线，交椭圆于C，D两点（A，B，C，D是四个不同的点），再过点C作一条与直线AT平行的直线，该直线交直线AB于点E，点G满足CE→=EG→，求证：直线DG恒过定点.
1.D
2.C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8．C
9．ABD
10．BD
11．ACD
12．2
13．3
14．223
15．(1)18
(2)12
16.（1）x2−y23=1
（2）132
（1）∵e=ca=1+b2a2=2，∴b2=3a2
∵双曲线过点52,32，代入得54a2−34b2=1
解得a2=1，b2=3.
∴双曲线方程为x2−y23=1
（2）解法一∵线段PF的中垂线倾斜角为150°，
∴中垂线斜率为tan150°=−33.
∵中垂线与PF垂直，
∴直线PF的斜率为3.
又∵直线PF过点F(−2,0)，
∴直线PF的方程为y=3(x+2).
联立方程组{y=3(x+2)x2−y23=1解得点P的坐标为−54,334.
∵O为坐标原点，
∴|PO|=−542+3342=132.
解法二∵线段PF的中垂线倾斜角为150°，且中垂线与PF垂直，
∴直线PF的倾斜角为60°，与渐近线y=3x的倾斜角相等，即直线PF与渐近线y=3x平行.
∴点P在双曲线左支上.
设右焦点为F'，根据双曲线定义可得
|PF'|−|PF|=2a=2.
设|PF|=m，则|PF'|=m+2.
在∆PFF'中，由余弦定理得：
(m+2)2=m2+42−2m×4×12，
解得m=32，即|PF|=32.
在△PFO中，由余弦定理得：|PO|=22+322−2×2×32×12=132
17.（1）(x+2)2+(y−2)2=16
（2）x−3y+23−2=0或x+3y−23−2=0.
（1）设圆心M(a,b)，因圆心在第二象限，故a0，圆的标准方程为
(x−a)2+(y−b)2=16.
将A(2,2)，B(−2,6)代入方程，得：
{(2−a)2+(2−b)2=16,(−2−a)2+(6−b)2=16.解得{a=−2,b=2,或{a=2,b=6,（舍去）
∴圆M的标准方程为：(x+2)2+(y−2)2=16.
（2）扇形面积公式为S=12|α|r2，已知S=16π3，r=4，代入得：
S=16π3=12|α|·16，解得|α|=2π3，
即圆心角∠AMC=2π3.
∴圆心M(−2,2)到直线l的距离d=rcsπ3=2.
①当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，不合题意，舍去.
②当直线l斜率存在时，设斜率为k，
则直线l的方程为y−2=k(x−2)，即kx−y+2−2k=0.
则|−2k−2+2−2k|k2+1=2，解得k=±33.
∴直线l的方程为x−3y+23−2=0或x+3y−23−2=0
18.（1）连接BD，过点B作BF⊥CD于点F，
则CF=12(CD−AB)=1，DF=CD−CF=3.
在Rt∆BCF中，BF=BC2−CF2=3.
在Rt∆BDF中，BD=BF2+DF2=23.
∴BD2+BC2=CD2.
∴BC⊥BD.
∵∠CBP=90°，即BC⊥BP，且BD∩BP=B，BD⊂平面BDP，BP⊂平面BDP，
∴BC⊥平面BDP.
∴BC⊥PD，
又∵PD⊥AD，且AD与BC相交，AD⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD.
∴PD⊥平面ABCD，
（2）（i）如图，以点D为原点，DC，DP所在直线分别为y轴，z轴，在平面ABCD上作
过点D且垂直于CD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(3,1,0)，B(3,3,0).
∵ABCD为等腰梯形，且BC⊥BD
∴ABCD的外接圆圆心为CD的中点，记为G.
根据球心的性质可知，球心O在过点G且垂直于底面ABCD的垂线上.
设PD=2t(t>0)，则球心为O(0,2,t)。
由球的半径R=OD=22，得(0−0)2+(2−0)2+(t−0)2=22，
解得t=2，故O(0,2,2)。
从而PD=2t=4。
（ii）由（i）可知，DP→=(0,0,4)，DA→=(3,1,0)。
设PE→=λPB→=λ(3,3,−4)=(3λ,3λ,−4λ)，
则DE→=DP→+PE→=(0,0,4)+(3λ,3λ,−4λ)=(3λ,3λ,4−4λ)。
设平面ADE的一个法向量m→=(x,y,z)，
则{m→⋅DA→=3x+y=0m→⋅DE→=3λx+3λy+(4−4λ)z=0。
令z=−3λ，则x=2λ−2，y=3(2−2λ)。
故可取m→=(2λ−2,23−23λ,−3λ)。
设平面PAD的一个平面的法向量n→=(a,b,c)，
则{n→⋅DA→=3a+b=0n→⋅DP→=4c=0。
令a=1，则b=−3，c=0。
故可取n→=(1,−3,0)。
∵二面角E−AD−P的余弦值为437，
∴|cs⟨m→，n→⟩|=|m→·n→||m→|·|n→|=437，
即|2λ−2−3(23−23λ)|2(2λ−2)2+(23−23λ)2+3λ2=437，
解得λ=14或−12（负值舍去）。
∴棱PB上存在满足题意的点E，此时PE=14PB。
19.（1）由题意得{4a2+0b2=1,1a2+b24b2=1.解得a2=4，b2=3，
所以椭圆的标准方程为y24+x23=1.
（2）（i）显然直线BT的斜率为0，点B为(0,2)，
直线AT的斜率存在且不为0，设直线AT的方程为y−2=k(x−3)，
联立{y−2=k(x−3):y24+x23=1.得(3k2+4)x2+(12k−18k2)x+27k2−36k=0（∗）
则Δ=−288k2+576k=0，
解得k=2或0（舍去）.
将k=2代入（∗）得x=32，
∴A32,−1.
∴A，B两点的坐标分别为A(32,−1)，B(0,2).
（ii）由（i）可知直线AB的方程为2x+y−2=0，
kAT=2，则kCE=2.
当直线CD经过原点O时，直线CD的方程为y=23x，
联立{y=23x,y24+x23=1.解得{x=32,y=1,或{x=−32,y=−1.
不妨设C点在x轴上方，则C(32,1)，D(−32,−1)。
直线CE的方程为：y−1=2x−32，即y=2x−2。
联立{y=2x−2y=−2x+2，解得点E(1,0)。
∵CE→=EG→
∴E为CG的中点，点G为12,−1。
又D−32,−1，
∴直线DG为：y=−1，经过点A32,−1。
猜想直线DG恒过定点A32,−1，
下证一般情况仍然成立：
要证直线DG过定点A32,−1，
即证AD→∥AG→，
设点C(x1,y1)，D(x2,y2)，则直线CE的方程为y=2(x−x1)+y1，
联立{y=−2x+2y=2(x−x1)+y1，得E2+2x1−y14,2−2x1+y12，
则点G为2−y12,2−2x1。
∴AD→=(x2−32,y2+1)，AG→=(−1−y12,3−2x1)。
即证x2−32(3−2x1)=(y2+1)−1−y12，
即证3(x1+x2)−2x1x2−92=−12(1+y1+y2+y1y2)，
即证y1y2+y1+y2−4x1x2+6(x1+x2)−8=0（#）
显然，直线DT的斜率存在，设直线DT的方程为y−2=t(x−3)，
联立{y−2=t(x−3)y24+x23=1，得x1+x2=−12t+18t23t2+4，y1+y2=−24t+163t2+4，
x1x2=−36t+27t23t2+4，y1y2=24t2−48t+163t2+4
24t2−48t+163t2+4+−24t+163t2+4−4×−36t+27t23t2+4+6×−12t+18t23t2+4−8=0
显然成立，
所以AD→∥AG→，即直线 DG 恒过定点 A32,−1。