江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷及解析版）

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1. 已知直线:和:互相平行,则
A. B. C. 或D. 或
2. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
3. 直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4. 在三棱锥中，M是平面上一点，且，则（）
A. 1B. 2C. D.
5. 已知为抛物线：的焦点，过的直线与相交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，若，则的长为
A. B. C. D.
6. 已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（）
A. 1B. C. D. 2
7. 已知双曲线两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足，的斜率之积为，则双曲线的离心率为（）
AB. C. D.
8. 已知M是的对称轴和准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足，则实数的最大值为（）
A. 2B. C. D.
二、多选题
9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
10. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）
A. 存在使得
B. 的最小值为
C. ，则的面积为
D. 直线与直线斜率乘积为定值
11. 已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（）
A. 抛物线C的准线方程为
B. 若，则△PMF的面积为2
C. |的最大值为
D. △PMF的周长的最小值为
12. 已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（）
A. 当轴时，B. 离心率
C. D. 点I的横坐标为定值a
三、填空题
13. 拋物线的焦点为F，点为C上一点，若，则___________.
14. 经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为________．
15. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，.以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为______.
16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为_________．
四、解答题
17. 已知空间三点，，，设， .
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
18. 已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
（1）求直线的一般式方程；
（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
19. 已知椭圆过点．其左、右两个焦点分别为、，短轴的一个端点为B，且．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设直线：与椭圆交于不同的两点M，N，且O为坐标原点，若，求实数的取值范围．
20. 已知双曲线的离心率为.
（1）求双曲线方程.
（2）直线与该双曲线交于不同的两点、，且、两点都在以点为圆心的同一圆上，求的取值范围.
21. 已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O原点，，，求证：为定值．
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线与交于两点，且的坐标为.
（1）求椭圆方程；
（1）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上.