2022-2023学年江西省九江市高二第二次阶段模拟（期末）数学试题含答案

2022-2023学年江西省九江市高二第二次阶段模拟（期末）数学试题

一、单选题

1．下列各对函数中，图像完全相同的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【分析】分别分析各个选项中函数的定义域和对应关系，即可选出正确答案.

【详解】A：定义域为，定义域为，对应关系不同，故A不正确；

B：，，定义域均为，B正确.

C：定义域为，定义域为，故C不正确；

D：定义域为，对于，令，

则定义域为，故D不正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数定义域的求解，考查了函数相等的判定，属于基础题.

2．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解法，可直接得出结果.

【详解】由得，

解得或，

即原不等式的解集为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，属于基础题型.

3．已知集合，，则（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】应用集合的交、补运算求即可.

【详解】由题设，或，

∴.

故选：D

4．命题“”，命题“”，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.

【详解】对于命题，，得，

可以推出，但是不能推出，

p是q的充分不必要条件.

故选：A.

5．若，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由基本不等式可得，即可求解，得到答案.

【详解】因为，由基本不等式可得，

当且仅当，即，即时，等号成立.

故选A.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝（    ）

A．190 B．192 C．180 D．182

【答案】B

【分析】利用求的通项公式，进而可得的通项公式，应用分组求和求即可.

【详解】当n＝1  时，，

当 n≥2 时，，

经检验不满足上式，所以，

设，则 ，

所以.

故选：B.

7．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数，分或两种情况，分别根据指数函数和对数函数的性质求解即可.

【详解】当时，由得，两边取以e为底的对数得：，

当时，由得，解得，

综上或.

故选：A.

8．若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】，令，构造函数，从而问题转化为存在，使得成立.

求导判断单调性求得当时，，进而得到且，即可求解.

【详解】

令，即，

因为，所以，

令.

则原问题等价于存在，使得成立.

令，即解得，

令，即解得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

又因为

而，

当时，.

若存在，使得成立.

只需且，解得且，

所以.

故的取值范围为.

故选：D

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

二、多选题

9．关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】AC

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】因为，

所以在和上单调递减，则A，C正确，B，D错误.

故选：AC.

10．下列结论错误的有（    ）

A．若，则

B．函数的最小值为2

C．

D．，，则的取值范围是

【答案】AB

【分析】由可判断A，由双勾函数的知识可判断B，，然后可判断C，由可判断D.

【详解】对于A，当时不成立，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，因为，所以，即C正确；

对于D，设，可得

解得，

因为，

所以，故D正确

故选：AB

11．已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ）

A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案.

【详解】对于A：函数为奇函数，则，

则，

则的一个周期为4，故A正确；

对于B：，则函数关于对称，故B正确；

对于C：的一个周期为4，

，

令中的，则，

函数为定义在上奇函数，

，

，故C正确；

对于D：的一个周期为4，

，

函数为奇函数，

，

，故D错误；

故选：ABC.

12．已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（    ）

A．n为偶数时， B．

C． D．的最大值为20

【答案】AC

【分析】对选项A，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B，检验当时，所给表达式不满足；对选项C，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据，可直接求得；对选项D，的最大值为

【详解】根据递推关系可知，n为奇数时，

n为偶数时，，故A对；

根据奇数项构成等差数列

可得：

而又：

则有：，故B错误；

，故C对；

根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知：

的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，故D错

故选：AC

三、填空题

13．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为           ．

【答案】

【分析】由充分条件定义直接求解即可.

【详解】“”是“”的充分条件，，，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

14．已知公比大于的等比数列满足，，则的公比      ．

【答案】

【分析】根据题意可得出关于的方程，结合可求得的值.

【详解】由题意可得，则，

上述两个等式作商可得，即，

因为，解得.

故答案为：.

15．若函数的值域是，则实数的取值范围是   ．

【答案】

【分析】先根据基本不等式求出时的取值范围，然后根据的范围得出在上的单调性，求出值域．根据题意，即可得出答案.

【详解】因为函数.

当时，有，当且仅当时等号成立.

当，即时，有，不满足题意；

当，即时，在上单调递减，有，不满足题意；

当，即时，在上单调递增，有.

要使的值域是，则应有，所以.

综上所述，当时，的值域是.

故答案为：.

16．已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是      ．

【答案】

【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，构造函数，，由得出单调递增，求出的最大值，即可求得答案．

【详解】解：作出的函数图象如图所示：

∵存在实数，满足，

，

，

由图可知，，

，

设，其中，

，显然在单调递增，

，

，，

在单调递增，

在的最大值为，

的最大值为，

故答案为：．

四、解答题

17．化简与求值.

（1）化简：；

（2）已知，其中，的值.

【答案】（1）；（2）1.

【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出.

（2）先利用平方差公式化简，再利用指数幂的运算性质即可得出.

【详解】（1）原式；

（2）由可知，

原式.

【点睛】本题考查指数幂的化简，要对分式进行正确运算得到最简结果.

18．习近平总书记提出：“绿水青山就是金山银山”的重要理念，说明呵护地球，人人有责.某省为响应该理念，计划每年都增长相同百分比的绿化面积，且年时间绿化面积增长，（参考数据：，，，）试求：

(1)求每年绿化面积的增长率；

(2)按此增长率，若年年初时，该省的绿地面积是提出该理念时的倍，请问习近平总书记最迟是哪一年首次提出该理论.

【答案】(1)约为；

(2)年.

【分析】（1）设每年绿化面积的增长率为，可得出，求出的值即可；

（2）设经过年后该省的绿地面积是提出该理念时的倍，可得出，利用对数的运算求出的值，即可得解.

【详解】（1）解：设每年绿化面积的增长率为，则，则，

故每年绿化面积的增长率约为.

（2）解：设经过年后该省的绿地面积是提出该理念时的倍，

则，则，而，

因此，习近平总书记最迟在年首次提出该理论.

19．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．

（1）讨论f(x)的奇偶性；

（2）求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．

【答案】（1）函数f(x)是偶函数（2）∈(1，＋∞)

【分析】（1）先求函数f(x)的定义域，再判断f(－x)与f(x)是否相等即可得到结果；（2）由f(x)是偶函数可知只需讨论x＞0时的情况，则有x3＞0，从而求得结果.

【详解】（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．

对于定义域内任意x，有

f(－x)＝(－x)3

＝(－x)3

＝(－x)3

＝x3＝f(x)，

∴函数f(x)是偶函数．

（2）由（1）知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0，

则x3＞0，

即＋＞0，

即＞0，则ax＞1.

又∵x＞0，∴a＞1.

∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.

【点睛】本题考查判断函数奇偶性的方法和恒成立问题，判断函数的奇偶性先求定义域，再判断f(－x)与f(x)是否相等或者互为相反数，相等即为偶函数，互为相反数则为奇函数，属中档题.

20．设数列是等差数列，已知，公差为，为其前n项和，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，证明：数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列前n项和的基本量的计算以及等比中项，列方程即可求解，进而可求通项，（2）根据裂项求和可得的前n项和，进而可求.

【详解】（1）在等差数列中，，公差，为其前n项和，

∴，，，

又，，成等比数列，∴，

即，由于,解得，

∴

（2）证明：由（Ⅰ）知，

∴，

则，

∵，∴，，

∴

21．已知函数．

(1)求在上的极值；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)为极小值，无极大值.

(2)

【分析】(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况；

(2) 令,令，设，再借助导函数的正负性，分析原函数的单调性确定极值，再反推的单调性，判断极大值情况.

【详解】（1），令，得，

在为负，单调递减，

在为正，单调递增，

故为极小值，无极大值.

（2）由题知 ,令，

令，则 ，

设 则 ，

，为正，在单调递增，

，为负，在单调递减，

故为极大值，

若，即，此时，则在单调递减，

又，所以时，在单调递增，

时，，在单调递减，

故为极大值，所以，则当时，符合条件；

，即 此时，

存在，在上；，则在单调递增，

又，则在区间上

所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.

综上所述的最小值为.

22．已知函数，其中e为自然对数的底数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，若恒成立，求实数的最小值．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)1

【分析】（1）代入的值，求的导函数，由可得增区间，由可得减区间．

（2）恒成立，转化为，求的最大值即可．

【详解】（1），，，

令，得，

当时，，当时，，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由，即，

解得，令，

，

令，，

所以，在单调递增，

，在单调递减，

则，且时，，在上有唯一的零点，

，当时，，，在上单调递增，

当时，，，在上单调递减，

，，

所以的最小值为1．