北师大版2024-2025学年七年级数学上册同步讲义第2章第06讲有理数的乘除运算(学生版+解析)

这是一份北师大版2024-2025学年七年级数学上册同步讲义第2章第06讲有理数的乘除运算(学生版+解析)，共55页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4，总结提炼，解决问题，拓展提升等内容，欢迎下载使用。

知识点01 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.
【即学即练1】
1.（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）的倒数是（ ）
A．B．2C．D．
2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
知识点02 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：．
【即学即练2】
1.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：；
（2）计算：．
知识点03 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号；
（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0.
【即学即练3】
1．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点04 有理数除法法则
◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
【即学即练4】
1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)； (2)．
题型01 两个有理数的乘法运算
【典例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)； (2)．
【变式1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式2】（2024六年级上·上海·专题练习）计算
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)；
(7)； (8)．
题型02 多个有理数的乘法运算
【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型03 有理数乘法运算律
【典例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）计算与解释
一道计算测试题为，小明计算如下：
解：
①
②
（ ）．③
(1)解题过程中第①步计算运用的运算律是______．第②步计算运用的运算律是______．
A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律
(2)第③步运算结果是______．
题型04 倒数
【典例4】（23-24七年级上·福建福州·期末）的倒数是 ．
【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·阶段练习）的倒数是 ，的绝对值是 ．
【变式2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）的倒数的相反数是 ．
【变式3】（23-24七年级上·河南商丘·期末）如果的相反数是，那么的倒数是 ．
题型05 有理数乘法的实际应用
【典例5】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
(1)根据记录可知前三天共生产______辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆；
(3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【变式1】（22-23七年级上·河南漯河·阶段练习）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：）：，，，，，，，，，，．
(1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？
(2)若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
【变式2】（22-23七年级上·广东茂名·阶段练习）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）：
(1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售___________辆；
(2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？请说明理由．
(3)该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少销售一辆扣15元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？
题型06 有理数的除法运算
【典例6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
题型07 有理数的乘除混合运算
【典例7】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算：
【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算：
(1)
(2)．
【变式3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型08 有理数的乘除混合运算之新定义型问题
【典例8】（23-24七年级上·广西防城港·期中）对于任意的有理数，定义新运算：，如．
试计算： ．
【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：，如，则 ．
【变式2】（23-24七年级上·湖南怀化·期中）定义一种新的运算：，如，则= ．
【变式3】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ．
题型09 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
【典例9】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0；
(2)化简：．
【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题．
例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题：
(1)填空：_________（）；_________（）
(2)若，求的值．
【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】
小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则．
【解决问题】
（1）若，则 ．
（2）若，则 ．
【拓展提升】
（3）若，计算：_________．
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·二模）实数的倒数是，的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南临沧·一模）计算的结果是（ ）
A．2B．C．6D．
3．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）若，则一定有（ ）
A． B．，且C． D．a，b异号，且
4．（2024七年级上·全国·专题练习）将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．B．1C．2D．3
二、填空题
6．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算： ．
7．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，数轴上两点对应的数a、b，则 0（用“>”“ 0；（3）若ab＞0，则a、b同号；
（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0.
【即学即练3】
1．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零．
根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案．
【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意．
B、有三个负因数，积为负，故B符合题意．
C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意．
D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意．
故选：B．
知识点04 有理数除法法则
◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
【即学即练4】
1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序．
（1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可；
（2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可．
【详解】（1）

；
（2）

．
题型01 两个有理数的乘法运算
【典例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)6
(2)-2
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
根据有理数乘法法则进行计算便可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，有理数乘法分配律：
（1）根据有理数的乘法计算法则求解即可；
（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可；
（3）根据有理数的乘法计算法则求解即可；
（4）根据有理数的乘法分配律求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式2】（2024六年级上·上海·专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)0；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)0；
(6)；
(7)1；
(8)
【分析】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键．
（1）根据0与任何数相乘都得0进行计算；
（2）根据两数相乘，异号得负进行计算；
（3）根据两数相乘，异号得负进行计算；
（4）根据两数相乘，同号得正进行计算；
（5）根据0与任何数相乘都得0进行计算；
（6）根据两数相乘，异号得负进行计算；
（7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算；
（8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：；
（7）解：；
（8）解：．
题型02 多个有理数的乘法运算
【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键．
根据有理数乘法运算直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键，
（1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可；
（2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可；
（3）观察发现因数中有0，故结果为零．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0
(2)35
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可．
【详解】（1）解：；
（2）
；
（3）

；
（4）
．
题型03 有理数乘法运算律
【典例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律．
（1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算；
（2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)35
【分析】本题主要考查了有理数乘法，熟记乘法法则是解题的关键．
（1）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可；
（2）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律是解题的关键．
（1）逆用乘法分配律进行计算即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）计算与解释
一道计算测试题为，小明计算如下：
解：
①
②
（ ）．③
(1)解题过程中第①步计算运用的运算律是______．第②步计算运用的运算律是______．
A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律
(2)第③步运算结果是______．
【答案】(1)B，C
(2)
【分析】此题考查了有理数的混合运算和乘法运算律，根据有理数的运算律进行解答和计算即可．
（1）根据计算使用的运算律进行解答即可；
（2）完成解答过程，写出答案即可．
【详解】（1）解：有题意可知，解题过程中第①步计算运用的运算律是乘法交换律．第②步计算运用的运算律是乘法分配律．
故答案为：B，C
（2）解：
．
故答案为：
题型04 倒数
【典例4】（23-24七年级上·福建福州·期末）的倒数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了倒数，乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可．
【详解】解：的倒数是，
故答案为：．
【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·阶段练习）的倒数是 ，的绝对值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了倒数的概念、绝对值的性质，掌握乘积是1的两数互为倒数、负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
【详解】解：，
则的倒数是，的绝对值是，
故答案为：，．
【变式2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）的倒数的相反数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查倒数的定义，以及相反数的概念，根据倒数的定义先得到的倒数，再得出倒数的相反数即可解题．
【详解】解：的倒数为，的相反数是．
的倒数的数的相反数是，
故答案为：．
【变式3】（23-24七年级上·河南商丘·期末）如果的相反数是，那么的倒数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了倒数和相反数的知识，理解并掌握倒数和相反数的定义是解题关键．根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；乘积为1的两个数互为倒数”求解即可．
【详解】解：如果的相反数是，
则，
所以，的倒数是．
故答案为：．
题型05 有理数乘法的实际应用
【典例5】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
(1)根据记录可知前三天共生产______辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆；
(3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】(1)599
(2)26
(3)该厂工人这一周的工资是元
【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键．
（1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可；
（2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可；
（3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解．
【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆)．
答案是：；
（2）解：辆)，
故答案是，
故答案为：；
（3）解：这一周多生产的总辆数是辆)．
元)．
答：该厂工人这一周的工资是元．
【变式1】（22-23七年级上·河南漯河·阶段练习）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：）：，，，，，，，，，，．
(1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？
(2)若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
【答案】(1)该小组在地的东边，距地；
(2)收工前需要中途加油，应加15升．
【分析】本题考查了正数和负数，解决本题的关键是进行有理数的加法运算．
（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量乘以行车路程，可得答案．
【详解】（1）解：．
答：该小组在地的东边，距地；
（2）解：（升）．
小组从出发到收工耗油195升，
升升，
收工前需要中途加油，
应加：（升），
答：收工前需要中途加油，应加15升．
【变式2】（22-23七年级上·广东茂名·阶段练习）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）：
(1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售___________辆；
(2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？请说明理由．
(3)该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少销售一辆扣15元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？
【答案】(1)29
(2)本周实际销售总量达到了计划数量
(3)21570元
【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用：
（1）根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，作差即可得到多销售的数量；
（2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论；
（3）先计算每天的工资，再相加即可求解．
【详解】（1）解：辆，
即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29辆；
故答案为：29
（2）解：本周实际销售总量达到了计划数量，理由：
．
答：本周实际销售总量达到了计划数量；
（3）解：（元．
答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是21570元．
题型06 有理数的除法运算
【典例6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)13
(2)
(3)0
(4)
【分析】此题是有理数的除法，主要考查了有理数除法的法则，进行计算时，先判断符号，再绝对值相除．
（1）先判断出符号，再绝对值相除即可；
（2）先判断出符号，再绝对值相除即可；
（3）零除以任何一个不为零的数，商为零，
（4）先判断出符号，再绝对值相除，既有分数，又有小数，一般把小数化为分数直接约分即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)12
(2)
(3)
(4)
(5)5
(6)
【分析】（1）根据有理数的除法法则进行计算即可；
（2）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可；
（3）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可；
（4）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可；
（5）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可；
（6）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．
【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)4
(2)
(3)0
(4)
【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算．
（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数除法运算法则进行计算即可；
（3）根据有理数除法运算法则进行计算即可；
（4）根据有理数除法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
．
【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)
(5)5
(6)
(7)
(8)
(9)27
(10)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式；
（5）解：原式；
（6）解：原式；
（7）解：原式
；
（8）解：原式
；
（9）解：原式
；
（10）解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）．
题型07 有理数的乘除混合运算
【典例7】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则计算即可．
【详解】
【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出绝对值，根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可；
（2）根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除混合运算法则，准确计算．
【变式3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)
【详解】（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
.
【点睛】本题考查了有理数的加减和乘除运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键.
题型08 有理数的乘除混合运算之新定义型问题
【典例8】（23-24七年级上·广西防城港·期中）对于任意的有理数，定义新运算：，如．
试计算： ．
【答案】
【分析】利用定义的新运算转化为有理数的混合运算，进一步计算得出答案即可．
【详解】解：由题意得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义下的运算，认真读懂题意是关键．
【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：，如，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，．
故．
故答案为：0．
【变式2】（23-24七年级上·湖南怀化·期中）定义一种新的运算：，如，则= ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【详解】解：，
∴
；
故答案为：
【变式3】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，代入新定义运算即可求解，理解新运算的定义是解题关键．
【详解】解：根据新定义，，
∴；
．
故答案为：；
题型09 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
【典例9】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0；
(2)化简：．
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】本题主要考查了化简绝对值，由数轴判断式子的正负．
（1）由所给数轴即可判断．
（2），据此即可化简．
【详解】（1）解：由数轴可知：，，，
∵，
∴
故答案为：，，，．
（2）
【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题．
例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题：
(1)填空：_________（）；_________（）
(2)若，求的值．
【答案】(1)1或，2或0或
(2)1或
【分析】本题主要考查了绝对值以及有理数的除法等知识点，
（1）分别利用a>0或分析得出答案；分或或或等情况讨论得出答案；
（2）由得出中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数等情况讨论得出答案；
正确分类讨论得出答案是解题关键．
【详解】（1）若有理数a不等于零，
当时，，
当时，；
∵，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：1或；或2或0；
（2）∵，
∴中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数，
∴当中有两个为正数，一个为负数时，

当三个都为负数时，
，
∴的值为1或．
【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】
小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则．
【解决问题】
（1）若，则 ．
（2）若，则 ．
【拓展提升】
（3）若，计算：_________．
【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3
【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可；
（2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解；
（3）分，和，两种情况，进行讨论求解．
【详解】解：（1）∵，
∴同号，
当时：；
当时：；
故答案为：或2；
（2）∵，
∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数，
当时，则：；
当有两个正数和一个负数时，假设：，则：；
故答案为：或1；
（3）∵，
∴中有两正一负，
①当时：则：均为正，
∴，
∴；
②当时，则：一正一负，
若，则：，此时：；
如，则：，此时：；
综上，原式或或3．
故答案为：或或3
【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·二模）实数的倒数是，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
根据乘积是1的两个数互为倒数求出a即可．
【详解】解：∵的倒数是，
∴，
解得：，
．
2．（2023·云南临沧·一模）计算的结果是（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】B
【分析】此题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则来计算，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
【详解】
．
故选：B．
3．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）若，则一定有（ ）
A． B．，且C． D．a，b异号，且
【答案】D
【分析】本题考查有理数的除法，根据，可以分析出a与b异号，且分母不能为0，即，最后进行选择即可．
【详解】解：由题可知，，
即a与b异号，且分母不能为0，即，
故选：D．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，根据有理数的乘除法法则求解即可．
【详解】解：把统一为加法运算为，
故选：B．
5．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的除法运算，根据数轴确定的大小，可把绝对值进行化简，再计算从而可得答案．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
∴
，
故选B．
二、填空题
6．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查除法运算，掌握运算法则是解题关键．先将小数和带分数转换为假分数，再按照除法法则进行计算．
【详解】解：
，
故答案为：．
7．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，数轴上两点对应的数a、b，则 0（用“>”“