广东省广州市黄埔区九年级上学期1月期末考试数学试卷-A4

这是一份广东省广州市黄埔区九年级上学期1月期末考试数学试卷-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+xy＝1B．x2+1＝（x+1）2
C．x2﹣2x+1＝0D．ax2+bx+c＝0
3．（3分）“守株待兔”这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件
C．随机事件D．不可能事件
4．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣7（x﹣3）2向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为（ ）
A．y＝﹣7（x+7）2B．y＝﹣7（x﹣7）2
C．y＝﹣7（x+4）2D．y＝﹣7（x﹣4）2
5．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
6．（3分）如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长是（ ）
A．10cmB．9cmC．8cmD．7cm
7．（3分）如图，点A，B是⊙O上两点，连接AB，OC⊥AB交⊙O于点C，垂足为点D，优弧AEB上一点E，连接CE，BE，已知∠AOC＝48°，则∠CEB的大小为（ ）
A．24°B．30°C．48°D．50°
8．（3分）如图，抛物线y1=x2-4x+3与直线y2＝ax﹣b交于点A（1，0）和点B（4，3），则当y1＞y2时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或x＞3C．1＜x＜4D．x＜1或x＞4
9．（3分）如图，已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（ ）
A．（2，0）B．(3，0)C．(2，0)D．（1，0）
10．（3分）如图，矩形ABCD中，顶点A（0，4），B（﹣2，0），C（﹣4，1），将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，﹣5）C．（1，﹣6）D．（﹣2，﹣5）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是 ．
12．（3分）⊙O的半径为5，若OP＝4，则点P在 .（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
13．（3分）在化学课上，张萍老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是 ．
14．（3分）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为 ．
15．（3分）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a-b(a≥b)2b-a(a＜b)．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝ ．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，点B的对应点B'恰好落在线段BC上，求证：AB∥B'C'．
19．（6分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
20．（6分）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3），将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）在图中画出△A1OB1；
（2）求点B运动路径的长度．
21．（8分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，求道路的宽度．
22．（10分）一辆正常速度行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，汽车急刹车时的滑行路程s（m）与时间t（s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
（1）根据表中的数据，求出s关于t的函数表达式；
（2）一辆正常速度行驶中的汽车突然发现正前方20m处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，问该车从刹车到停住，是否会撞到抛锚的运输车？试说明理由．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，ME=3，求DM的长．
24．（12分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝42，OM＝32，请直接写出线段AM的长．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
2024-2025学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点选择180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．再根据定义逐一分析即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+xy＝1B．x2+1＝（x+1）2
C．x2﹣2x+1＝0D．ax2+bx+c＝0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．
【解答】解：A．x+xy＝1中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B．x2+1＝（x+1）2，化简可得2x＝0，是一元一次方程，不符合题意；
C．x2﹣2x+1＝0，符合一元二次方程的定义，符合题意；
D．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．（3分）“守株待兔”这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件
C．随机事件D．不可能事件
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：“守株待兔”这个事件是随机事件，
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣7（x﹣3）2向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为（ ）
A．y＝﹣7（x+7）2B．y＝﹣7（x﹣7）2
C．y＝﹣7（x+4）2D．y＝﹣7（x﹣4）2
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的平移方式“左加右减”进行求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣7（x﹣3）2向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为y＝﹣7（x﹣3﹣4）2，即y＝﹣7（x﹣7）2；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
5．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【答案】A
【分析】依据题意，由一元二次方程ax2+bx+c的两根x1，x2满足x1+x2=-ba，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2=-11=-1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟悉一元二次方程ax2+bx+c的两根x1，x2满足x1+x2=-ba是关键．
6．（3分）如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长是（ ）
A．10cmB．9cmC．8cmD．7cm
【答案】D
【分析】设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，如图，
由切线长定理可知：AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN，
∵AB+AC+BC＝15cm，AC＝4cm，
∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝11（cm），
∴三角形纸片BDE的周长＝DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝7（cm），
故选：D．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，解题的关键是熟练掌握切线的性质．
7．（3分）如图，点A，B是⊙O上两点，连接AB，OC⊥AB交⊙O于点C，垂足为点D，优弧AEB上一点E，连接CE，BE，已知∠AOC＝48°，则∠CEB的大小为（ ）
A．24°B．30°C．48°D．50°
【答案】A
【分析】据垂径定理可得AC=BC，从而可得∠AOC＝∠BOC＝48°，然后根据圆周角定理进行计算即可求解．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴∠AOC＝∠BOC＝48°，
∴∠BEC=12∠BOC＝24°，
∴∠CEB＝24°，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（3分）如图，抛物线y1=x2-4x+3与直线y2＝ax﹣b交于点A（1，0）和点B（4，3），则当y1＞y2时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或x＞3C．1＜x＜4D．x＜1或x＞4
【答案】D
【分析】观察函数图象即可求解．
【解答】解：两个函数的交点的横坐标为：x＝1或4，
故当y1＞y2时，即抛物线在直线的上方，
观察函数图象知，此时x的取值范围为：x＜1或x＞4，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），此类题目的关键是：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
9．（3分）如图，已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（ ）
A．（2，0）B．(3，0)C．(2，0)D．（1，0）
【答案】B
【分析】过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，利用圆周角大于对应的圆外角得到此时∠ACB最大，连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，利用垂径定理得AH＝BH＝1，则OH＝2，再根据切线的性质得PC⊥x轴，则四边形PCOH为矩形，所以PC＝OH＝2，则PA＝2，在Rt△PAH中，利用勾股定理计算出PH=3，于是可得到C点坐标为(3，0）．
【解答】解：过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，∠ACB最大，
连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，
∵点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），
∴OA＝1，AB＝3﹣1＝2，
∵PH⊥AB，
∴AH＝BH＝1，
∴OH＝2，
∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴四边形PCOH为矩形，
∴PC＝OH＝2，
∴PA＝2，
在Rt△PAH中，PH=PA2-AH2=22-12=3，
∴C点坐标为(3，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的综合题，熟练掌握垂径定理、圆周角定理，勾股定理，坐标与图形，掌握相关定理性质是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，顶点A（0，4），B（﹣2，0），C（﹣4，1），将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，﹣5）C．（1，﹣6）D．（﹣2，﹣5）
【答案】B
【分析】根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形ABCD是矩形，求出点D坐标可解决问题．
【解答】解：∵360°÷45°＝8，
∴每旋转八次，点D的坐标重复出现．
∵100÷8＝12余4，
∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同．
连接AC和BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC和BD互相平分，
∴0+（﹣4）＝﹣2+xD，4+1＝0+yD，
∴xD＝﹣2，yD＝5，
∴点D的坐标为（﹣2，5）．
又∵45°×4＝180°，
∴第4秒旋转结束时的点D与点（﹣2，5）关于坐标原点对称，
∴此时点D的坐标为（2，﹣5）．
即第100秒旋转结束时，点D的坐标为（2，﹣5）．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是 （﹣2，5） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
12．（3分）⊙O的半径为5，若OP＝4，则点P在 圆内 .（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
【答案】圆内．
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．
【解答】解：根据题意可知：⊙O的半径为5，OP＝4，
∴OP小于⊙O的半径，
∴点P在⊙O内．
故答案为：圆内．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系．关键掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在园内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
13．（3分）在化学课上，张萍老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是 12 ．
【答案】12．
【分析】根据题目中给出的四张卡片和题意，可以计算出抽出的生活现象是物理变化的概率．
【解答】解：由题意可得，
从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是24=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
14．（3分）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为 π ．
【答案】见试题解答内容
【分析】应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：S=nπr2360=90π×22360=π．
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解即可得出答案．
15．（3分）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a-b(a≥b)2b-a(a＜b)．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝ 4或1 ．
【答案】4或1．
【分析】利用因式分解法，可求出x1，x2的值，分x1＝2，x2＝3及x1＝3，x2＝2两种情况考虑，即可求出x1※x2的值．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2．
当x1＝2，x2＝3时，x1※x2＝2×3﹣2＝4；
当x1＝3，x2＝2时，x1※x2＝3﹣2＝1．
∴x1※x2＝4或1．
故答案为：4或1．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，通过解方程，求出x1，x2的值是解题的关键．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 2-3或2+3或2 ．
【答案】2-3或2+3或2．
【分析】根据DE≤AB，可得DE＝1或2，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵AB为直径，DE为弦，
∴DE≤AB，
∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2，
当DE＝2时，即DE为直径，
∴DE⊥AB，
∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB＝2；
当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD，
此时OD=12AB=1，
∵DE⊥AB，
∴DC=12DE=12，
∴OC=OD2-DC2=32，
∴BC=OB-OC=2-32，
∴BF=2BC=2-3；
当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD，
同理可得BC=2+32，
∴BF=2BC=2+3；
综上，可得线段FB的长为2-3或2+3或2，
故答案为：2-3或2+3或2．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，点B的对应点B'恰好落在线段BC上，求证：AB∥B'C'．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，根据将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，可得∠AB'C'＝∠B＝60°，AB＝AB'，故∠AB'B＝∠B＝60°，从而可得∠B＝∠C'B'C＝60°，即可得AB∥B'C'．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，
∴∠AB'C'＝∠B＝60°，AB＝AB'，
∴∠AB'B＝∠B＝60°，
∴∠C'B'C＝180°﹣∠AB'B﹣∠AB'C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠B＝∠C'B'C＝60°，
∴AB∥B'C'．
【点评】本题考查旋转的性质及应用，解题的关键是掌握旋转前后，对应边相等，对应角相等．
19．（6分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数 36° ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 10100×360°＝36°．
故答案为：36°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（6分）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3），将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）在图中画出△A1OB1；
（2）求点B运动路径的长度．
【答案】（1）见解答．
（2）102π．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求．
（2）由勾股定理得，OB=12+32=10，
∴点B运动路径的长度为90π×10180=102π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
21．（8分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，求道路的宽度．
【答案】道路的宽度为1m．
【分析】设道路的宽度为x m，根据试验田面积＝矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设道路的宽度为x m，
根据题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2＝570，
整理得：x2﹣36x+35＝0，
解得：x1＝1，x2＝35（不符合题意，舍去），
答：道路的宽度为1m．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）一辆正常速度行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，汽车急刹车时的滑行路程s（m）与时间t（s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
（1）根据表中的数据，求出s关于t的函数表达式；
（2）一辆正常速度行驶中的汽车突然发现正前方20m处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，问该车从刹车到停住，是否会撞到抛锚的运输车？试说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出s关于t的函数表达式；
（2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后求出s的最大值，再与20比较大小即可．
【解答】解：（1）设s＝at2+bt+c，
由表格可得：c=00.25a+0.5b+c=7a+b+c=12，
解得a=-4b=16c=0，
即s关于t的函数表达式是s＝﹣4t2+16t；
（2）该车从刹车到停住，不会撞到抛锚的运输车，
理由：∵s＝﹣4t2+16t＝﹣4（t﹣2）2+16，
∴当t＝2时，s取得最大值16，
∵16＜20，
∴该车从刹车到停住，不会撞到抛锚的运输车．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，ME=3，求DM的长．
【答案】（1）见解答；（2）23．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，根据角平分线的定义得到∠OAD＝∠DAC，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据题意求出∠MDE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
由（1）可知：OD∥AC，∠ODF＝∠AED＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠BAM＝∠FOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD＝60°，
∴∠BAM＝∠ABM＝∠M＝60°，
∴∠MDE＝30°，
∴DM＝2ME＝23．
【点评】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
24．（12分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝42，OM＝32，请直接写出线段AM的长．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）①证明见解析部分；
②AM的长为23+3或23-3．
【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM＝BN；
（2）①连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN＝90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；
②分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN，设BN＝x，根据勾股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
（2）①证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MB2+BN2＝MN2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2；
②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝42，OM＝32，
∴MN＝6，AB＝8，
∴（x﹣6）2+x2＝82，
解得：x＝3+23（负根已经舍去），
∴AM＝BN＝3+23，
如图4，当点M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝42，OM＝32，
∴MN＝6，AB＝8，
∴（x+6）2+x2＝（8）2，
解得：x=23-3（负根已经舍去），
∴AM＝BN=23-3，
综上所述，线段AM的长为23+3或23-3．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，抓住图形旋转中不变的量，巧妙构造直角三角形是解决问题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）（1，﹣2）；
（3）（1-2，﹣2）或（1-6，2）或（﹣1，0）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；
（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1-2，﹣2）；当P点在M点下方时，同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1-6，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴a-b-3=09a+3b-3=0，
解得a=1b=-2，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴b=-33k+b=0，
解得k=1b=-3，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+2或t＝2-2，
∴M（1-2，﹣2）或（1+2，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为（1-2，﹣2）；
如图2，当P点在M点下方时，
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+6（舍）或t＝﹣2-6，
∴M（1-6，2）；
综上所述：M点的坐标为（1-2，﹣2）或（1-6，2）或（﹣1，0）．
滑行时间t/s
0
0.5
1
1.5
滑行路程s/m
0
7
12
15
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
A
D
A
D
B
B
滑行时间t/s
0
0.5
1
1.5
滑行路程s/m
0
7
12
15