2021-2022学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是()
A． B． C． D． 2．（3 分）函数 y  x2  x  2 的图象与 y 轴的交点坐标是()
A． (2, 0)
B． (1, 0)C． (0, 2)
D． (0, 2)
3．（3 分）平面内有两点 P ， O ， O 的半径为 5，若 PO  4 ，则点 P 与O 的位置关系是
()
圆内B．圆上C．圆外D．圆上或圆外4．（3 分）下列函数中， y 是关于 x 的反比例函数的是()
A． y  3x  6
y  x2
y  5
x2
y  6
x
5．（3 分）下列式子为一元二次方程的是()
A． 5x2  1
C． 4x( 1  2)  25
x
6．（3 分）下列事件是必然事件的为()
购买一张体育彩票，中奖
经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．2022 年元旦是晴天
B． 4a2  81
D． (3x  2)(x  1)  8 y  3
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 7．（3 分）下列各点中，关于原点对称的两个点是()
A． (5, 0) 与(0,5)B． (0, 2) 与(2, 0)
C． (2, 1) 与(2,1)D． (2, 1) 与(2,1)
8．（3 分）下列是对方程 2x2  2 2x  1  0 实根情况的判断，正确的是()
A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
9．（3 分） O 是四边形 ABCD 的外接圆， AC 平分BAD ，则正确结论是()
AB  AD
BC  CD
AB  BD
BCA  DCA
10．（3 分）正比例函数 y  x 与反比例函数 y  1 的图象相交于 A 、C 两点．AB  x 轴于 B ，
x
CD  x 轴于 D （如图），则四边形 ABCD 的面积为()
A．1B． 3
2
C．2D． 5
2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）方程 x2  3x  2  0 两个根的和为 ，积为 ．
12．（3 分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的 1 个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随机任取一球，取到红球的概率是．
13．（3 分）直线 y  x  2 关于原点中心对称的直线的方程为 ．
14．（3 分）把一副普通扑克牌中的 13 张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于 5 的概率是．
15．（3 分）在O 中，圆心角AOC  120 ，则O 内接四边形 ABCD 的内角ABC  ．
16．（3 分）如图，在RtABC 中，C  90 ，A  30 ， BC  2 ，C 的半径为 1，点 P 是斜边 AB 上的点，过点 P 作C 的一条切线 PQ（点Q 是切点），则线段 PQ 的最小值为．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（4 分）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的ABC ，请画出将 ABC 绕点C 旋转180得到的△ ABC ．（需写出△ ABC 各顶点的坐标）．
18．（4 分）解方程： x2  1  4  2x ．
19．（6 分）已知二次函数 y  ax2  bx  c 的图象与 y 轴相交于点 A ， y 与 x 的部分对应值如
下表：
直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 A 的坐标；
在给出的坐标系中画出该函数图象的草图．
20．（6 分）如图， AB 、CD 是O 的两条弦， AB  CD ， OE  AB ， OF  CD ，垂足分别为 E 、 F ．求证OE  OF ．
x
1
0
1
2
3
y
0
■
4
3
0
21．（8 分）一个不透明的口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率：
两次取出的小球标号和为奇数；
两次取出的小球标号和为偶数．
22．（10 分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛 90 场．共有多少个队参加比赛？
23．（10 分）如图所示，已知 A(1, 0) ， B(0,1) ，直线 AB 与反比例函数 y  m (m  0) 的图象
x
在第一象限交于C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为 D ，且OD  1 ．
当 y  1 时，求反比例函数 y  m 对应 x 的值；
x
当1  y  4 时，求反比例函数 y  m 对应 x 的取值范围．
x
24．（12 分）如图， AB 、CD 是O 中两条互相垂直的弦，垂足为点 E ，且 AE  CE ，点 F
2
是 BC 的中点，延长 FE 交 AD 于点G ，已知 AE  1 ， BE  3 ， OE ．
求证： AED  CEB ；
求证： FG  AD ；
5
若一条直线l 到圆心O 的距离 d ，试判断直线l 是否是圆O 的切线，并说明理由．
25．（12 分）如图，抛物线 y  mx2  4mx  5m(m  0) 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于C点．
求抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示）， A ， B 两点的坐标；
证明BCM 与ABC 的面积相等；
是否存在使 BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
2021-2022 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是()
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解： A 、不是中心对称图形，故本选项错误；
B 、不是中心对称图形，故本选项错误； C 、不是中心对称图形，故本选项错误； D 、是中心对称图形，故本选项正确． 故选： D ．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．
2．（3 分）函数 y  x2  x  2 的图象与 y 轴的交点坐标是()
A． (2, 0)
B． (1, 0)C． (0, 2)
D． (0, 2)
【分析】将 x  0 代入函数解析式，求出相应的 y 的值，即可得到二次函数 y  x2  x  2 的图象与 y 轴的交点坐标．
【解答】解：二次函数 y  x2  x  2 ，
当 x  0 时， y  2 ，
即二次函数 y  x2  x  2 的图象与 y 轴的交点坐标是(0, 2) ， 故选： C ．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确 二次函数与 y 轴的交点，就是求 x  0 时对应的函数值．
3．（3 分）平面内有两点 P ， O ， O 的半径为 5，若 PO  4 ，则点 P 与O 的位置关系是
()
圆内B．圆上C．圆外D．圆上或圆外
【分析】已知圆O 的半径为 r ，点 P 到圆心O 的距离是 d ，①当 r  d 时，点 P 在O 内，
②当 r  d 时，点 P 在O 上，③当 r  d 时，点 P 在O 外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：O 的半径为 5，若 PO  4 ，
 4  5 ，
点 P 与O 的位置关系是点 P 在O 内， 故选： A ．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O 的半径为 r ，点 P 到圆心O
的距离是 d ，①当 r  d 时，点 P 在O 内，②当 r  d 时，点 P 在O 上，③当 r  d 时， 点 P 在O 外．
4．（3 分）下列函数中， y 是关于 x 的反比例函数的是()
A． y  3x  6
y  x2
y  5
x2
y  6
x
【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断．
【解答】解： A 、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B 、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C 、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D 、该函数是反比例函数，故本选项符合题意． 故选： D ．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 y  k (k  0) 转化为 y  kx1(k  0)
x
的形式．
5．（3 分）下列式子为一元二次方程的是()
A． 5x2  1
C． 4x( 1  2)  25
x
B． 4a2  81
D． (3x  2)(x  1)  8 y  3
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是 2 的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解： A ． 5x2  1 是代数式，不是方程，故本选项不合题意；
B ． 4a2  81 是一元二次方程，故本选项符合题意；
C ． 4x( 1  2)  25 不是整式方程，故本选项不合题意；
x
D ． (3x  2)(x 1)  8 y  3 ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选： B ．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
6．（3 分）下列事件是必然事件的为()
购买一张体育彩票，中奖
经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．2022 年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解： A 、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； B 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C 、2022 年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D 、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意； 故选： D ．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下， 一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．（3 分）下列各点中，关于原点对称的两个点是()
A． (5, 0) 与(0,5)B． (0, 2) 与(2, 0)
C． (2, 1) 与(2,1)D． (2, 1) 与(2,1)
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解： A ．(5, 0) 与(0,5) ，不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；
B ． (0, 2) 与(2, 0) ，不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；
C ． (2, 1) 与(2,1) ，不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；
D ． (2, 1) 与(2,1) ，符合题意关于原点对称点的性质，故此选项符合题意； 故选： D ．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
8．（3 分）下列是对方程 2x2  2 2x  1  0 实根情况的判断，正确的是()
A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 即可得出△  0 ， 进而即可得出方程
2x2  2 2x  1  0 有两个相等的实数根．
2
【解答】解： a  2 ， b  2， c  1，
△  b2  4ac  (2 2)2  4  2 1  0 ，
方程 2x2  2 2x  1  0 有两个相等的实数根． 故选： C ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2  bx  c  0(a  0) 的根与△  b2  4ac 有
如下关系：当△  0 时，方程有两个不相等的实数根；当△  0 时，方程有两个相等的实数根；当△  0 时，方程无实数根．
9．（3 分） O 是四边形 ABCD 的外接圆， AC 平分BAD ，则正确结论是()
AB  AD
BC  CD
AB  BD
BCA  DCA
【分析】利用角平分线得到BAC  DAC ，再根据圆周角定理得到 BC  DC ，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 BC  DC ．
【解答】解： AC 平分BAD ，
BAC  DAC ，
 BC  DC ，
 BC  CD ． 故选： B ．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
10．（3 分）正比例函数 y  x 与反比例函数 y  1 的图象相交于 A 、C 两点．AB  x 轴于 B ，
x
CD  x 轴于 D （如图），则四边形 ABCD 的面积为()
A．1B． 3
2
C．2D． 5
2
【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围
成的直角三角形面积 S 的关系即 S  1 | k | ，得出 S
2
AOB
 SODC
 1 ，再根据反比例函数的
2
对称性可知： OB  OD ，得出 SAOB  SODA ， SODC  SOBC ，最后根据四边形 ABCD 的面积 SAOB  SODA  SODC  SOBC ，得出结果．
【解答】解：根据反比例函数的对称性可知： OB  OD ， AB  CD ，
四边形 ABCD 的面积 SAOB  SODA  SODC  SOBC  1 2  2 ． 故选： C ．
【点评】本题主要考查了反比例函数 y  k 中 k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线
x
段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S  1 | k | ．
2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）方程 x2  3x  2  0 两个根的和为 3，积为 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系 x2  3x  2  0 两个根的和为 3，积为 2． 故答案为：3，2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程 ax2  bx  c  0(a  0) 的两
12
根，则 x  x   b ， x x  c ．
12a1 2a
12．（3 分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的 1 个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随
机任取一球，取到红球的概率是1．
12
【分析】一共有11  1  12 （个) 球，随机任取一个球，抓到每个球的可能性是相等的，所以
求取到是红球的可能性是多 12 的几分之几，据此解答．
【解答】解：1  (1  11)  1 12  1 ，
12
故答案为： 1 ．
12
【点评】本题考查了简单事件发生的可能性的求解，即可能性  所求情况数 总情况数或求一个数是另一个数的几分之几用除法计算．
13．（3 分）直线 y  x  2 关于原点中心对称的直线的方程为 y  x  2 ．
【分析】根据若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即 k 值不变；与 y 轴的交点关于原点对称，即b 值互为相反数可以直接写出答案．
【解答】解：线 y  x  2 关于原点中心对称的直线的方程为 y  x  2 ．
故答案为： y  x  2 ．
【点评】本题主要考查了一次函数得几何变换，关键是利用数形结合来分析此类型的题，根 据图形，发现 k 和b 值之间的关系．也考查了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．（3 分）把一副普通扑克牌中的 13 张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取
一张，抽出的牌点数小于 5 的概率是4．
13
【分析】抽出的牌的点数小于 5 有 1，2，3，4 共 4 个，总的样本数目为 13，由此可以容易知道事件抽出的牌的点数小于 5 的概率．
【解答】解：抽出的牌的点数小于 5 有 1，2，3，4 共 4 个，总的样本数目为 13，
从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于 5 的概率是： 4 ．
13
故答案为： 4 ．
13
【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
15．（3 分）在O 中，圆心角AOC  120 ，则O 内接四边形 ABCD 的内角ABC 
120 ．
【分析】先根据圆周角定理求得D 的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出ABC 的度数即可．
【解答】解： ABCD 是O 的内接四边形，且AOC  120 ，
ADC  1 AOC  60 ，
2
ABC  180  ADC  180  60  120 ， 故答案为：120 ．
【点评】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答 本题的关键．
16．（3 分）如图，在RtABC 中，C  90 ，A  30 ， BC  2 ，C 的半径为 1，点 P 是
斜边 AB 上的点，过点 P 作C 的一条切线 PQ （点 Q 是切点），则线段 PQ 的最小值为
2
．
【分析】连接CP ，过点C 作CP  AB 于 P ，根据切线的性质得到CQ  PQ ，根据直角三角形的性质求出CP ，根据勾股定理、垂线段最短解答即可．
【解答】解：连接CP ，过点C 作CP  AB 于 P ，
 PQ 是C 的切线，
CQ  PQ ，
CP2  CQ2
CP2 1
 PQ ，
当CP  AB 时， CP 最小，则 PQ 最小，
ACB  90 ， A  30 ，
B  60 ，
CP  BC  sin B  2
 PQ 的最小值为：
3 ，
3
2
( 3)2 1
2
，
2
故答案为：．
【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于 经过切点的半径是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（4 分）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的ABC ，请画出将 ABC 绕点C 旋转180得到的△ ABC ．（需写出△ ABC 各顶点的坐标）．
【分析】利用中心对称的性质分别作出 A ， B ， C 的对应点 A ， B ， C 即可．
【解答】解：如图，△ ABC 即为所求．
【点评】本题考查作图  旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18．（4 分）解方程： x2  1  4  2x ．
【分析】先把方程转化为一般形式，再用因式分解的办法求解方程．
【解答】解：整理得 x2  2x  3  0 ，
(x  3)(x 1)  0 ，
 x  3  0 或 x  1  0 ，
 x1  3 ， x2  1 ．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法是解决本题的关键．
19．（6 分）已知二次函数 y  ax2  bx  c 的图象与 y 轴相交于点 A ， y 与 x 的部分对应值如下表：
直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 A 的坐标；
在给出的坐标系中画出该函数图象的草图．
x
1
0
1
2
3
y
0
■
4
3
0
【分析】（1）由抛物线经过点 (1, 0) ， (3, 0) 可得抛物线对称轴与顶点坐标，由抛物线的对称性可得点 A 坐标．
（2）通过表格中的点作图．
【解答】解：（1）抛物线经过点(1, 0) ， (3, 0) ，
抛物线对称轴为直线 x  1 ，
由表格可得抛物线顶点坐标为(1, 4) ，
4  0 ，
抛物线开口向上，
抛物线经过(2, 3) ，
抛物线经过点(0, 3) ，
点 A 坐标为(0, 3) ，
综上所述，抛物线开口向上，对称轴为直线 x  1 ，顶点坐标为(1, 4) ，点 A 坐标为(0, 3) ．
（2）如图，
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，
20．（6 分）如图， AB 、CD 是O 的两条弦， AB  CD ， OE  AB ， OF  CD ，垂足分别为 E 、 F ．求证OE  OF ．
【分析】连接OA 、OC ，证明RtOAE  RtOCF(HL) ，可得结论．
【解答】证明：连接OA 、OC ，
 AB  CD ，
 AB  CD ，
OE  AB ， OF  CD ，
 AE  1 AB ， CF  1 CD ， AEO  CFO  90 ，
22
 AE  CF ，
又 OA  OC ，
RtOAE  RtOCF(HL) ，
OE  OF ．
【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．（8 分）一个不透明的口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率：
两次取出的小球标号和为奇数；
两次取出的小球标号和为偶数．
【分析】（1）画树状图，共有 12 种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为奇数的结
果有 8 种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有 12 种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为偶数的结果有
4 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为奇数的结果有 8 种，
两次取出的小球标号和为奇数的概率为 8  2 ；
123
（2）由（1）可知，共有 12 种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为偶数的结果有
4 种，
两次取出的小球标号和为偶数的概率为 4  1 ．
123
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结 果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到 的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
22．（10 分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛 90 场．共有多少个队参加比赛？
【分析】设共有 x 个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90 场即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有 x 个队参加比赛，
根据题意得： 2  1 x(x  1)  90 ，
2
整理得： x2  x  90  0 ，
解得： x  10 或 x  9 （舍去）．故共有 10 个队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90
场列出关于 x 的一元一次方程是解题的关键．
23．（10 分）如图所示，已知 A(1, 0) ， B(0,1) ，直线 AB 与反比例函数 y  m (m  0) 的图象
x
在第一象限交于C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为 D ，且OD  1 ．
当 y  1 时，求反比例函数 y  m 对应 x 的值；
x
当1  y  4 时，求反比例函数 y  m 对应 x 的取值范围．
x
【分析】（1）先求得直线 AB 的解析式，进而求得C 的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，把 y  1 代入，即可求得对应 x 的值；
（2）求得函数值为 4 时所对应的的 x 的值，即可得到当1  y  4 时，反比例函数 y  m 对应
x
x 的取值范围是 1  x  2 ．
2
【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y  kx  b ，
点 A(1, 0) ， B(0,1) 在一次函数 y  kx  b(k  0) 的图象上，

 k  b  0 ，
b  1
b  1
解得k  1 ，

直线 AB 的解析式为 y  x  1 ，
 CD 垂直于 x 轴，垂足为 D ，且OD  1 ．
 C 的横坐标为 1，
把 x  1 代入 y  x  1 得， y  2 ，
C(1, 2) ，
点C 在反比例函数 y  m (m  0) 的图象上，
x
 m  1 2  2 ，
反比例函数为 y  2 ，
x
当 y  1 时， x  2 ，
当 y  1 时，反比例函数 y  m 对应 x 的值为 2；
x
（2）把 y  4 代入 y  2 得， x  1 ，
x2
当 y  1 时， x  2 ，
当1  y  4 时，反比例函数 y  m 对应 x 的取值范围是 1  x  2 ．
x2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待 定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式 是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
24．（12 分）如图， AB 、CD 是O 中两条互相垂直的弦，垂足为点 E ，且 AE  CE ，点 F
2
是 BC 的中点，延长 FE 交 AD 于点G ，已知 AE  1 ， BE  3 ， OE ．
求证： AED  CEB ；
求证： FG  AD ；
5
若一条直线l 到圆心O 的距离 d ，试判断直线l 是否是圆O 的切线，并说明理由．
【分析】（1）由圆周角定理得 A  C ，由 ASA 得出AED  CEB ；
（ 2 ） 由直角三角形斜边上的中线性质得 EF  1 BC  BF ， 由等腰三角形的性质得
2
FEB  B ，由圆周角定理和对顶角相等证出A  AEG  90 ，进而得出结论；
（ 3 ） 作 OH  AB
于 H ， 连 接 OB ， 由 垂 径 定 理 得 出
AH  BH  1 AB  2 ， 则
2
5
EH  AH  AE  1 ，由勾股定理求出 OH  1 ， OB ，由一条直线 l 到圆心 O 的距离
5
d  O 的半径，即可得出结论．
【解答】（1）证明：由圆周角定理得： A  C ，
A  C

在AED 和CEB 中，  AE  CE，

AED  CEB
AED  CEB(ASA) ；
证明： AB  CD ，
AED  CEB  90 ，
C  B  90 ，
点 F 是 BC 的中点，
 EF  1 BC  BF ，
2
FEB  B ，
A  C ， AEG  FEB  B ，
A  AEG  C  B  90 ，
AGE  90 ，
 FG  AD ；
解：直线l 是圆O 的切线，理由如下： 作OH  AB 于 H ，连接OB ，如图所示：
 AE  1， BE  3 ，
 AB  AE  BE  4 ，
 OH  AB ，
 AH  BH  1 AB  2 ，
2
 EH  AH  AE  1 ，
OE 2  EH 2
( 2)2  12
OH  1 ，
BH 2  OH 2
22  12
5
OB ，
5
即O 的半径为，
5
一条直线l 到圆心O 的距离 d  O 的半径，
直线l 是圆O 的切线．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强， 熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
25．（12 分）如图，抛物线 y  mx2  4mx  5m(m  0) 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于C点．
求抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示）， A ， B 两点的坐标；
证明BCM 与ABC 的面积相等；
是否存在使 BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式 y  m(x  2)2  9m ，则抛物线顶点 M 的坐标为(2, 9m) ， 令 y  0 ，解方程即可求出点 A 、 B 的坐标；
分别表示出BCM 与ABC 的面积即可证明；
用含 m 的代数式分别表示出 BC 2 、CM 2 、 BM 2 ，再根据BCM 为直角三角形，分三种情况：当BMC  90 时， CM 2  BM 2  BC 2 ； BCM  90 时， BC 2  CM 2  BM 2 ；当
CBM  90 时，由 25  25m2  4  16m2 ，9  81m2  4  16m2 ，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．
【解答】解：（1） y  m(x  2)2  9m ，
抛物线顶点 M 的坐标为(2, 9m) ，
抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点，
当 y  0 时， mx2  4mx  5m  0 ，
 m  0 ，
 x2  4x  5  0 ，
解得 x1  1 ， x2  5 ，
 A ， B 两点的坐标为(1, 0) 、(5, 0) ，
（2）当 x  0 时， y  5m ，
点C 的坐标为(0, 5m) ，
 SABC
 1  | 5  (1) |  | 5m | 15m ，
2
过点 M 作 MD  x 轴于 D ，
则OD  2 ， BD  OB  OD  3 ， MD | 9m | 9m ，
 SBCM  SBDM  S梯形OCMD  SOBC ，
 1 BD  DM  1 (OC  DM )  OD  1 OB  OC ，
222
 15m ，
 SABC  SBCM ，
（3）存在使BCM 为直角三角形的抛物线．
过点C 作CN  DM 于点 N ，则CMN 为直角三角形， CN  OD  2 ， DN  OC  5m ，
 MN  DM  DN  4m ，
CM 2  CN 2  MN 2  4  16m2 ，
在RtOBC 中， BC 2  OB2  OC 2  25  25m2 ， 在RtBDM 中， BM 2  BD2  DM 2  9  81m2 ．
①如果BCM 是直角三角形，且BMC  90 时， CM 2  BM 2  BC 2 ，
即 4  16m2  9  81m2  25  25m2 ，解得
 m  0 ，
m   6 ，
6
 m 6 ．
6
存在抛物线 y 
6 x2  2 6 x  5 6 使得BCM 是直角三角形；
636
②如果BCM 是直角三角形，且BCM  90 时， BC 2  CM 2  BM 2 ．
即 25  25m2  4  16m2  9  81m2 ，解得
 m  0 ，
m   2 ，
2
 m 2 ．
2
存在抛物线 y 
2 x2  2 2x  5 2 使得BCM 是 Rt △；
22
③ 25  25m2  4  16m2 ， 9  81m2  4  16m2 ，
以CBM 为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线 y 
形．
6 x2  2 6 x  5 6 和 y 
636
2 x2  2 2x  5 2 使BCM 是直角三角
22
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，勾股定理，用含参数 m 的代数式表示各线段长，再运用分类思想是解题的关键．