广东省广州市黄埔区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市黄埔区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案），共41页。试卷主要包含了本次考试不允许使用计算器， 已知反比例函数经过两点，，则等内容，欢迎下载使用。
九年级数学（问卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、考号；并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画困.答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
5.本次考试不允许使用计算器.
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是（ ）
A. 戴口罩讲卫生B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医D. 少出门少聚集
2. “掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（ ）
A. 随机事件B. 确定事件C. 不可能事件D. 必然事件
3. 若关于方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
5. 如图，是的直径，，是的切线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知反比例函数经过两点，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是某商店售卖的花架，其中，，，，则长为（ ）cm.
A. B. C. 50D. 30
8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
9. 已知一次函数的图象如下图所示，则二次函数的图象大致位置是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，将正六边形放置在直角坐标系内，，点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转，经过2022次翻转之后，则点Р的坐标是（ ）
A. B. C. D.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11. 已知点与点关于原点对称，则点坐标为________．
12. 若2是关于的方程的一个根，则________．
13. 如图，以点О为位似中心，将缩小得到，若，的周长为2，则的周长为________．
14. 如图，二次函数的图象过点且对称轴为直线，则关于的一元二次方程的解为________．
15. 如图，在直角三角形中，，，将顺时针旋转得到，与相交于点，则长为_________．（结果保留根号）
16. 定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数的图象上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形是第一象限内的一个“奇特矩形”、且点，，则的长为__________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 解方程：．
18. 如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求的长.
19. 如图，已知，，垂足分别为B、C，交于点D，，，，求的长．
20. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少?
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量多少?
21. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩．为此，我区某校组织九年级全体学生进行了“天宫课堂”知识竞赛，赛后对全体参赛选手的竞赛成绩进行了整理与统计，结果如下表：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中________，_______；
（2）竞赛结束后，九（1）班得分前4名的同学中，刚好有2名男同学和2名女同学，现准备从中选取两名同学宣讲“天宫课堂”知识，请用列举法求这两名同学恰好是一男一女的概率．
22. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，将绕原点О逆时针旋转90°得到.
（1）请画出，并写出点的坐标.
（2）在旋转过程中，线段扫过的图形恰好是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的底面圆的半径.
23. 如图，已知点A在反比例函数的图象上，点A的横坐标为，过点A作轴，垂足为B，且．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点在x轴的正半轴上，将线段绕着点P顺时针旋转90°，点A的对应点C恰好落在反比例函数在第一象限的图象上，求m的值．
24. 如图1，为的外接圆，半径为6，，，点为优弧上异于的一动点，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图2，平分，且与交于．
花花同学认为：无论点运动到哪里，始终有；
都都同学认为：的长会随着点运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由；
（3）求的最大值．
25. 已知抛物线（是常数）与x轴交于A，B两点，A在B的左侧．
（1）若抛物线的对称轴为直线，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，，是抛物线上的两点，点P是线段CD下方抛物线上的一动点，连接PC，PD，求的面积最大值；
（3）已知代数式，记抛物线位于轴下方的图象为，抛物线位于x轴上方的图象为，将沿轴翻折得图象，与组合成的新图象记为，当直线与图象T有两个交点时，结合图象求M的取值范围．
2022学年第一学期期末质量训练
九年级数学（问卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、考号；并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画困.答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
5.本次考试不允许使用计算器.
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是（ ）
A. 戴口罩讲卫生B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医D. 少出门少聚集
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A．选项的图形不是中心对称图形，不符合题意；
B．选项的图形不是中心对称图形，不符合题意；
C．选项的图形是中心对称图形，符合题意；
D．选项的图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的知识点，解答本题的关键是能够熟练掌握中心对称图形的概念．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2. “掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（ ）
A. 随机事件B. 确定事件C. 不可能事件D. 必然事件
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，即可解答．
【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
掷一次骰子，骰子向上一面的点数为6的事件是随机事件，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得到．据此可以求得m的取值范围．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴．
∴．
故选C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵ ，
抛物线的顶点坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
5. 如图，是的直径，，是的切线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的性质可知，结合即可获得答案．
【详解】解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理以及直角三角形两锐角互余，理解并掌握切点的性质定理是解题关键．
6. 已知反比例函数经过两点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算出和的值，然后再进行判断即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数经过两点，，
∴
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，正确求出点A的坐标是解答本题的关键．
7. 如图，是某商店售卖的花架，其中，，，，则长为（ ）cm.
A. B. C. 50D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得；cm，
故选D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
9. 已知一次函数的图象如下图所示，则二次函数的图象大致位置是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴，
∴
∴二次函数的图象：开口方向向下，图象经过原点，对称轴在y轴右侧，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象，正确确定a，b的符号是解题关键．
10. 如图，将正六边形放置在直角坐标系内，，点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转，经过2022次翻转之后，则点Р的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析出第一次翻转后的位置，连接，与y轴交于点Q，过点P作轴，垂足为G，利用正六边形的性质，求出点P的坐标变化情况，即可得到结果．
详解】解：如图，由题意可知：
第一次翻转，中点P移动到点C的位置，点A移动到点P的位置，
连接，与y轴交于点Q，过点P作轴，垂足为G，
∵，
∴，
由正六边形可知：
，，，
∴是等边三角形，，，
∴，，，
∴第一次翻转，点P的横坐标增加2，纵坐标不变，
∴经过2022次翻转之后，点Р的坐标是，即，
故选C．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质等知识；求出每次翻转后点P的坐标变化是解题的关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11. 已知点与点关于原点对称，则点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数．
【详解】解：点与关于原点对称，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解决本题的关键是熟记关于原点对称的点的坐标特征．
12. 若2是关于的方程的一个根，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，掌握理解一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键．
13. 如图，以点О为位似中心，将缩小得到，若，的周长为2，则的周长为________．
【答案】6
【解析】
【分析】由位似的定义可得其位似比为，利用相似三角形的周它比等于相似比可求得答案．
【详解】解： 由题意可知，
∵，
∴，
∴ ，
∵的周长为2，
∴的周长为6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查位似变换，由位似变换的定义求得相似三角形的相似比是解题的关键．
14. 如图，二次函数的图象过点且对称轴为直线，则关于的一元二次方程的解为________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得时x的取值范围．
【详解】解：由图像可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为：，
∴的解为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，求得抛物线与x轴的交点是解题的关键．
15. 如图，在直角三角形中，，，将顺时针旋转得到，与相交于点，则的长为_________．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意首先求得，，由勾股定理可得，再结合旋转的性质可得，为等腰直角三角形，可知，然后根据求得答案即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵将顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、含30度角的之间三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
16. 定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数的图象上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形是第一象限内的一个“奇特矩形”、且点，，则的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】设，可得，，然后分反比例函数图象经过和的三等分点和经过和的三等分点求出结果．
【详解】解：点，，矩形，
∴，
设，则，
∴，，
因为反比例函数图象的一支在第一象限，故，
当反比例函数图象经过和的三等分点时，
∴反比例函数经过和，
∴，
解得；
当反比例函数图象经过和的三等分点时，
∴反比例函数经过和，
∴，
解得；
故的长为或；
故答案为或．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，清晰的分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 解方程：．
【答案】或
【解析】
【分析】由十字相乘法即可求出答案．
【详解】解：，
，
或，
或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求的长.
【答案】
【解析】
【分析】连接，在中，根据勾股定理，可得的长，再由垂径定理知，由此可求出弦的长．
【详解】解：如图：连接，
的直径，
，
，
，
在中，，
，
的直径为，，
，
故的长为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．
19. 如图，已知，，垂足分别为B、C，交于点D，，，，求的长．
【答案】4
【解析】
【分析】先证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，经检验符合题意．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的判定的预备定理是解本题的关键．
20. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少?
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少?
【答案】（1）50% （2）67.5万台
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2020年出口量×（1+年平均增长率）=2022年的出口量，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）利用2023年的出口量= 2022年的出口量×（1+年平均增长率），即可得出结论．
【小问1详解】
解：设年平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：这两年新能源汽车出口量的年平均增长率为；
【小问2详解】
万台，
∴预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万台．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩．为此，我区某校组织九年级全体学生进行了“天宫课堂”知识竞赛，赛后对全体参赛选手的竞赛成绩进行了整理与统计，结果如下表：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中________，_______；
（2）竞赛结束后，九（1）班得分前4名的同学中，刚好有2名男同学和2名女同学，现准备从中选取两名同学宣讲“天宫课堂”知识，请用列举法求这两名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）120，0.2
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用1组的人数除以频率，求出全体参赛选手人数，再用全体参赛选手人数乘以4组的频率即可计算出的值，然后用3组的人数除以全体参赛选手人数即可求得的值；
（2）用树状图求出选出的两名同学恰好是一男一女的概率即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，全体参赛的选手人数为：，
则，
．
故答案为：120，0.2；
【小问2详解】
如下图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有8种，
故恰好是一男一女的概率为．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率以及频数分布表的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．
22. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕原点О逆时针旋转90°得到.
（1）请画出，并写出点的坐标.
（2）在旋转过程中，线段扫过的图形恰好是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的底面圆的半径.
【答案】（1）见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，再写出点的坐标即可；
（2）求出线段扫过图形的弧长，进而即可得出结论．
【小问1详解】
如图，即为所作，
此时点的坐标为
【小问2详解】
∵,
∴的长=,
∴圆锥的底面圆的半径=
【点睛】本题主要考查了旋转作图和弧长的计算，圆锥侧底面半径，正确作图和运用弧长公式是解答本题的关键
23. 如图，已知点A在反比例函数的图象上，点A的横坐标为，过点A作轴，垂足为B，且．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点在x轴的正半轴上，将线段绕着点P顺时针旋转90°，点A的对应点C恰好落在反比例函数在第一象限的图象上，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）点A的横坐标为， 轴，且，可得，由此得出点A的坐标，进而求出k的值，从而可求出反比例函数的解析式；
（2）证明，确定点C的坐标为，由反比例函数解析式得到方程，求解方程再进行判断即可．
【小问1详解】
∵轴，且点A的横坐标为，
∴
∵，
∴，
∵点在第三象限，
∴
把代入反比例函数得，，
∴反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
过点C作轴于点D，如图，
∴，
∴
∴，
在和中，
∴
∴
∴
∴点C的坐标为，
∴
整理得，
解得，，，
∵，
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合运用，涉及到全等三角形的判定与性质，一元二次方程的运用等知识，解题的关键是求出点A的坐标．
24. 如图1，为的外接圆，半径为6，，，点为优弧上异于的一动点，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图2，平分，且与交于．
花花同学认为：无论点运动到哪里，始终有；
都都同学认为：的长会随着点运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由；
（3）求的最大值．
【答案】（1）见详解 （2）花花，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等弦对等弧、同弧或等弧所对的圆周角相等可得，即可证明平分；
（2）由（1）可知，，结合平分，可得，再由可推导，可推导，即可证明，所以赞同花花的观点；
（3）在右侧作，与延长线交于点，首先证明，由全等三角形的性质可知，故可推导；过点作于点，在中，由三角函数可得，可知，则可得，故当为直径时，的值最大，结合半径为6，即可获得答案．
小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
赞同花花的观点，理由如下：
由（1）可知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴无论点运动到哪里，始终有；
【小问3详解】
如下图，在右侧作，与延长线交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当为直径时，的值最大，即，
此时，
即的最大值为．
【点睛】本题主要考查了等弦对等弧、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角函数解直角三角形等知识，熟练掌握并综合运用相关知识是解题关键．
25. 已知抛物线（是常数）与x轴交于A，B两点，A在B左侧．
（1）若抛物线的对称轴为直线，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，，是抛物线上的两点，点P是线段CD下方抛物线上的一动点，连接PC，PD，求的面积最大值；
（3）已知代数式，记抛物线位于轴下方的图象为，抛物线位于x轴上方的图象为，将沿轴翻折得图象，与组合成的新图象记为，当直线与图象T有两个交点时，结合图象求M的取值范围．
【答案】（1）
（2）1 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程列出关于m的对称轴方程，求出m的值即可得出结论；
（2）将，代入抛物线的解析式中，求出a，n的值以及直线的解析式，设点P的坐标为，过点P作轴交CD于点Q，根据的面积=的面积+的面积可得二次函数关系式，最后根据二次函数的性质可得结论；
（3）先求出图象的函数解析式，然后联立方程组，求出当直线与图象有唯一的交点时对应m的值，再求直线分别经过与时对应m的值，然后数形结合求出直线与图象T有两个交点时m的取值范围，最后根据二次函数的性质求M的取值范围即可．
【小问1详解】
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为：
【小问2详解】
当时，则，
解得，，
∴点C的坐标为；
当时，
∴D点坐标，
如图，
设直线的解析式为
∴
解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交CD于点Q，设点P的坐标为，
∴点Q的坐标为：
∴，
在中以为底，则高为点C到的距离，即为，
∴
同理可得，
∴
故当时，的最大值为1
【小问3详解】
∵
∴抛物线与x轴交于点与点
可知的图象的解析式为，
联立，
得，
∴
∴，
当，即时，直线与图象有唯一的交点；
当直线经过时，；
当直线经过时，，
由图象，可知当或时，直线与图象T有两个交点，
∵，
①时，
∴当时，有最小值，
当时，；当时，，
∴
②时，
∴有最小值为
∴的取值范围为，
综上，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的最值，正确利用二次函数的图象与性质是解答本题的关键
组别
分数段
频数（人）
频率
1
60分以下
30
0.1
2
45
0.15
3
60
4
0.4
5
45
0.15
组别
分数段
频数（人）
频率
1
60分以下
30
0.1
2
45
0.15
3
60
4
0.4
5
45
0.15