2021-2022学年广东省广州市黄埔区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市黄埔区九年级上学期期末数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（1，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）
3．（3分）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．圆上或圆外
4．（3分）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣3x+6B．y＝x2C．y=5x2D．y=6x
5．（3分）下列式子为一元二次方程的是（ ）
A．5x2﹣1B．4a2＝81
C．4x（1x+2）＝25D．（3x﹣2）（x+1）＝8y﹣3
6．（3分）下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
7．（3分）下列各点中，关于原点对称的两个点是（ ）
A．（﹣5，0）与（0，5）B．（0，2）与（2，0）
C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）D．（2，﹣1）与（﹣2，1）
8．（3分）下列是对方程2x2﹣22x+1＝0实根情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
9．（3分）⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（ ）
A．AB＝ADB．BC＝CDC．AB=BDD．∠BCA＝∠DCA
10．（3分）正比例函数y＝x与反比例函数y=1x的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1B．32C．2D．52
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．（3分）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 ，积为 ．
12．（3分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的1个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一球，取到红球的概率是 ．
13．（3分）直线y＝x+2关于原点中心对称的直线的方程为 ．
14．（3分）把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是 ．
15．（3分）在⊙O中，圆心角∠AOC＝120°，则⊙O内接四边形ABCD的内角∠ABC＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）．
18．（4分）解方程：x2+1＝4﹣2x．
19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如下表：
（1）直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标；
（2）在给出的坐标系中画出该函数图象的草图．
20．（6分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．
21．（8分）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率：
（1）两次取出的小球标号和为奇数；
（2）两次取出的小球标号和为偶数．
22．（10分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？
23．（10分）如图所示，已知A（﹣1，0），B（0，1），直线AB与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，且OD＝1．
（1）当y＝1时，求反比例函数y=mx对应x的值；
（2）当1＜y＜4时，求反比例函数y=mx对应x的取值范围．
24．（12分）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE=2．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d=5，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
25．（12分）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（1，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）
【分析】将x＝0代入函数解析式，求出相应的y的值，即可得到二次函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
即二次函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与y轴的交点，就是求x＝0时对应的函数值．
3．（3分）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．圆上或圆外
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
4．（3分）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣3x+6B．y＝x2C．y=5x2D．y=6x
【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断．
【解答】解：A、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=kx（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
5．（3分）下列式子为一元二次方程的是（ ）
A．5x2﹣1B．4a2＝81
C．4x（1x+2）＝25D．（3x﹣2）（x+1）＝8y﹣3
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．5x2﹣1是代数式，不是方程，故本选项不合题意；
B．4a2＝81是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．4x（1x+2）＝25不是整式方程，故本选项不合题意；
D．（3x﹣2）（x+1）＝8y﹣3，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
6．（3分）下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、2022年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．（3分）下列各点中，关于原点对称的两个点是（ ）
A．（﹣5，0）与（0，5）B．（0，2）与（2，0）
C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）D．（2，﹣1）与（﹣2，1）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：A．（﹣5，0）与（0，5），不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；
B．（0，2）与（2，0），不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；
C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1），不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；
D．（2，﹣1）与（﹣2，1），符合题意关于原点对称点的性质，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
8．（3分）下列是对方程2x2﹣22x+1＝0实根情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝0，进而即可得出方程2x2﹣22x+1＝0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣22，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣22）2﹣4×2×1＝0，
∴方程2x2﹣22x+1＝0有两个相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（ ）
A．AB＝ADB．BC＝CDC．AB=BDD．∠BCA＝∠DCA
【分析】利用角平分线得到∠BAC＝∠DAC，再根据圆周角定理得到BC=DC，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝DC．
【解答】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC=DC，
∴BC＝CD．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
10．（3分）正比例函数y＝x与反比例函数y=1x的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|，得出S△AOB＝S△ODC=12，再根据反比例函数的对称性可知：OB＝OD，得出S△AOB＝S△ODA，S△ODC＝S△OBC，最后根据四边形ABCD的面积＝S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC，得出结果．
【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：OB＝OD，AB＝CD，
∴四边形ABCD的面积＝S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC＝1×2＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．（3分）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 3 ，积为 2 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．
故答案为：3，2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca．
12．（3分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的1个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一球，取到红球的概率是 112 ．
【分析】一共有11+1＝12（个）球，随机任取一个球，抓到每个球的可能性是相等的，所以求取到是红球的可能性是多12的几分之几，据此解答．
【解答】解：1÷（1+11）＝1÷12=112，
故答案为：112．
【点评】本题考查了简单事件发生的可能性的求解，即可能性＝所求情况数÷总情况数或求一个数是另一个数的几分之几用除法计算．
13．（3分）直线y＝x+2关于原点中心对称的直线的方程为 y＝x﹣2 ．
【分析】根据若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k值不变；与y轴的交点关于原点对称，即b值互为相反数可以直接写出答案．
【解答】解：线y＝x+2关于原点中心对称的直线的方程为y＝x﹣2．
故答案为：y＝x﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数得几何变换，关键是利用数形结合来分析此类型的题，根据图形，发现k和b值之间的关系．也考查了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．（3分）把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是 413 ．
【分析】抽出的牌的点数小于5有1，2，3，4共4个，总的样本数目为13，由此可以容易知道事件抽出的牌的点数小于5的概率．
【解答】解：∵抽出的牌的点数小于5有1，2，3，4共4个，总的样本数目为13，
∴从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是：413．
故答案为：413．
【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）在⊙O中，圆心角∠AOC＝120°，则⊙O内接四边形ABCD的内角∠ABC＝ 120° ．
【分析】先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，且∠AOC＝120°，
∴∠ADC=12∠AOC＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120°．
【点评】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为 2 ．
【分析】连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据直角三角形的性质求出CP′，根据勾股定理、垂线段最短解答即可．
【解答】解：连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ=CP2-CQ2=CP2-1，
当CP⊥AB时，CP最小，则PQ最小，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴CP′＝BC•sinB＝2×32=3，
∴PQ的最小值为：(3)2-1=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）．
【分析】利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
【解答】解：如图，△A'B'C'即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18．（4分）解方程：x2+1＝4﹣2x．
【分析】先把方程转化为一般形式，再用因式分解的办法求解方程．
【解答】解：整理得x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法是解决本题的关键．
19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如下表：
（1）直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标；
（2）在给出的坐标系中画出该函数图象的草图．
【分析】（1）由抛物线经过点（﹣1，0），（3，0）可得抛物线对称轴与顶点坐标，由抛物线的对称性可得点A坐标．
（2）通过表格中的点作图．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
由表格可得抛物线顶点坐标为（1，﹣4），
∵﹣4＜0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过（2，﹣3），
∴抛物线经过点（0，﹣3），
∴点A坐标为（0，﹣3），
综上所述，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），点A坐标为（0，﹣3）．
（2）如图，
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，
20．（6分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．
【分析】连接OA、OC，证明Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），可得结论．
【解答】证明：连接OA、OC，
∵AB=CD，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=12AB，CF=12CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．（8分）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率：
（1）两次取出的小球标号和为奇数；
（2）两次取出的小球标号和为偶数．
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为奇数的结果有8种，
∴两次取出的小球标号和为奇数的概率为812=23；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为偶数的结果有4种，
∴两次取出的小球标号和为偶数的概率为412=13．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？
【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：2×12x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．
故共有10个队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
23．（10分）如图所示，已知A（﹣1，0），B（0，1），直线AB与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，且OD＝1．
（1）当y＝1时，求反比例函数y=mx对应x的值；
（2）当1＜y＜4时，求反比例函数y=mx对应x的取值范围．
【分析】（1）先求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，把y＝1代入，即可求得对应x的值；
（2）求得函数值为4时所对应的的x的值，即可得到当1＜y＜4时，反比例函数y=mx对应x的取值范围是12＜x＜2．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A（﹣1，0），B（0，1）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴-k+b=0b=1，
解得k=1b=1，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵CD垂直于x轴，垂足为D，且OD＝1．
∴C的横坐标为1，
把x＝1代入y＝x+1得，y＝2，
∴C（1，2），
∵点C在反比例函数y=mx（m≠0）的图象上，
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数为y=2x，
当y＝1时，x＝2，
∴当y＝1时，反比例函数y=mx对应x的值为2；
（2）把y＝4代入y=2x得，x=12，
∵当y＝1时，x＝2，
∴当1＜y＜4时，反比例函数y=mx对应x的取值范围是12＜x＜2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
24．（12分）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE=2．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d=5，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
【分析】（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF=12BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A+∠AEG＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH=12AB＝2，则EH＝AH﹣AE＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB=5，由一条直线l到圆心O的距离d=5=⊙O的半径，即可得出结论．
【解答】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，∠A=∠CAE=CE∠AED=∠CEB，
∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠CEB＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，
∴EF=12BC＝BF，
∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，
∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：
作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH=12AB＝2，
∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH=OE2-EH2=(2)2-12=1，
∴OB=BH2+OH2=22+12=5，
即⊙O的半径为5，
∵一条直线l到圆心O的距离d=5=⊙O的半径，
∴直线l是圆O的切线．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式y＝m（x﹣2）2﹣9m，则抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），令y＝0，解方程即可求出点A、B的坐标；
（2）分别表示出△BCM与△ABC的面积即可证明；
（3）用含m的代数式分别表示出BC2、CM2、BM2，再根据△BCM为直角三角形，分三种情况：当∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2；∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2；当∠CBM＝90°时，由25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，
∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，
∵m＞0，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），
（2）当x＝0时，y＝﹣5m，
∴点C的坐标为（0，﹣5m），
∴S△ABC=12×|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m，
过点M作MD⊥x轴于D，
则OD＝2，BD＝OB﹣OD＝3，MD＝|﹣9m|＝9m，
∴S△BCM＝S△BDM+S梯形OCMD﹣S△OBC，
=12BD•DM+12（OC+DM）•OD-12OB•OC，
＝15m，
∴S△ABC＝S△BCM，
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线．
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，
∴MN＝DM﹣DN＝4m，
∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．
①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，
即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得 m=±66，
∵m＞0，
∴m=66．
∴存在抛物线y=66x2-263x-566使得△BCM是直角三角形；
②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2．
即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得 m=±22，
∵m＞0，
∴m=22．
∴存在抛物线y=22x2-22x-522使得△BCM是Rt△；
③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线y=66x2-263x-566和y=22x2-22x-522使△BCM是直角三角形．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，勾股定理，用含参数m的代数式表示各线段长，再运用分类思想是解题的关键．x
﹣1
0
1
2
3
y
0
■
﹣4
﹣3
0
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