广东省阳江市阳东区八年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省阳江市阳东区八年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4，共16页。
2．答卷前，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写相应的信息，用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 维生素能够促进白细胞的产生，且帮助其发挥免疫作用，成年人每天维生素的摄入量最少为，已知，则将数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（-2，-3），那么点A和点B的位置关系是（ ）
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称D. 关于坐标轴和原点都不对称
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于x轴对称点的坐标性质，横坐标不变纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∴点A和点B的位置关系是关于x轴对称．
故选A．
【点睛】考查了关于x轴对称点的坐标性质，熟练记忆坐标特点是解题关键．
4. 若一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系定理，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【详解】解：依题意，设第三边为x
则，
即，
观察A、B、C、D四个选项，符合，只有D选项，
故选：D．
5. 下列各式正确是（ ）
A. ＝B. ＝
C. ＝D. ＝
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”分析判定即可．
【详解】解：将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，
即．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6. 当时，的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多项式的乘法，求代数式的值．解题的关键是掌握多项式的乘法运算法则，将展开再合并，然后将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
∴的值是．
故选：B．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A 2B. 4C. 8D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：过点G作⊥AB于点，
由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵∠C=90°，⊥AB，CG =4，
∴GC==4，
∵P为边AB上一动点，
∴，
∴GP的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解题的关键．
8. 若关于的方程无解，则的值是（ ）
A. 2B. 2或1C. 2或D.
【答案】B
【解析】
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：方程去分母得：，
整理得：，
当时，整式方程无解，所以原分式方程无解，
或当时分母为0，方程无解，
即，，
综上可知或1时方程无解．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
9. 在折纸活动中，王强做了一张△ABC纸片，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A1重合，且∠A1DB=90°，若∠A=50°，则∠CEA1等于（ ）

A. 20°B. 15°C. 10°D. 5°
【答案】C
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质可得∠A1DE=∠ADE，∠A1ED=∠AED，再根据三角形的内角和等于180°求出∠A1ED和∠AED，然后利用平角等于180°即可求解∠CEA1．
【详解】解： ∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A1重合，且∠A1DB=90°，
∴∠A1DE=∠ADE= ，∠A1ED=∠AED，
∵∠A=50°，
∴∠A1ED=∠AED=，
∴∠CEA1=.
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟练进行整体思想的利用使得求解更简便．
10. 某次列车平均提速千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A. 若设提速后这次列车的平均速度为千米/小时，则可列方程为
B. 若设提速后这次列车的平均速度为千米/小时，则可列方程为
C. 若设提速前这次列车的平均速度为千米/小时，则可列方程为
D. 若设提速前这次列车的平均速度为千米/小时，则可列方程为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列方程．
根据提速前后时间相同的关系列方程．
【详解】解：该次列车平均提速千米/小时，若设提速后这次列车的平均速度为千米/小时，提速前这次列车的平均速度为千米/小时，
根据题意得：．
该次列车平均提速千米/小时，若设提速前这次列车的平均速度为千米/小时，提速后这次列车的平均速度为千米/小时，
根据题意得．
故选：．
二、填空题 (本题共5小题，每小题3分，共15分)
11. 已知：如图，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：这个条件可以是，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
12. 若正n边形的一个外角为，则_____________．
【答案】5
【解析】
【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等，由此计算即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：5．
【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为，每一个外角的度数均为．
13. 已知 是完全平方式，则m的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：．
根据，计算求解即可．
【详解】解：是完全平方式，
，解得，
故答案为：．
14. 因式分解：a3－a=______．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
15. 点的横坐标为分式方程的解，纵坐标为分式等于的解，则点关于轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，点坐标关于轴对称的性质，掌握解分式方程的方法，轴对称的性质是解题的关键．
解分式方程得到点，再根据关于轴对称的点横坐标为相反数，纵坐标不变，即可求解．
【详解】解：，
去分母得，，
移项、合并同类得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴点的横坐标为，
分式等于，即，
∴，，
解得，，，
∴，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴点的纵坐标为，
∴，
∴点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为： ．
三、解答题 (一) (本题共3小题，每小题7分，共21分)
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．
【详解】解：
．
17. 化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先把括号里的式子通分相减，然后把除数的分子、分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约成最简分式或整式；求值时把a值代入化简的式子算出结果．
详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则，是解题的关键．
18. 已知是的三边长，且满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】等边三角形，见解析
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定．利用完全平方公式，得到，根据非负性得到，即可得出结论．
【详解】解：是等边三角形．理由如下：
∵
，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形．
四、解答题 (二) (本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作斜边的垂直平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法) ．
（2）在 (1) 的条件下，证明：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和，线段垂直平分线的作法，含度角的直角三角形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握角平分线的作法，熟连运用相关知识进行角和边的转化．
（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，结合直角三角形的性质即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示，直线l即为所求．
【小问2详解】
证明：连接，
∵直线垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
20. 已知关于的分式方程
（1）若分式方程的解为，求的值；
（2）若分式方程无解，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
（1）把代入方程计算，即可求出的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程的解和分式方程无解求的值即可．
【小问1详解】
解：当时，代入原方程，
得，
解得；
【小问2详解】
解：原方程化为，
∴，
当时，原分式方程无解，
∴，
∴．
21. 学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表：
（1）用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价．
【答案】（1）
（2）甲种足球在此商场的销售单价为50元个，乙种足球在此商场的销售单价为70元个
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式，理解题意是解答的关键．
（1）利用数量总价单价，即可用含的代数式表示出购买甲、乙两种足球的数量；
（2）根据本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲种足球在此商场的销售单价，再将其代入中，即可求出乙种足球在此商场的销售单价．
【小问1详解】
解：根据题意得：乙种足球单价为元，
故购买甲种足球的数量为个，
购买乙种足球的数量为个，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：甲种足球在此商场的销售单价为50元个，乙种足球在此商场的销售单价为70元个．
五、解答题 (三) (本题共2小题， 第22题13分， 第23题14分， 共27分)
22. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）选择题：图1是一个长2a、宽2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形．然后，按图2那样拼成一个（中间空的）正方形，则中间空的部分面积是（ ）
A．2ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
（2）如图3，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积．据此，你能发现什么结论，请直接写出来：
（3）如图4，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF．若两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，求阴影部分的面积．
【答案】（1）C；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）20
【解析】
【分析】（1）由图2可知中间小正方形的边长为()，即可求得答案；
（2）一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式；
（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-BGF的面积-ABD的面积求解即可．
【详解】(1) 由图2可知中间小正方形的边长为()，
∴中间空部分面积是：，
故答案为：C；
(2)如图，3个正方形的面积和6个矩形的面积和为：，
大正方形的面积为：，
∴
(3)∵， ，
∴
．
【点睛】本题考查了整式乘法在几何中的实际运用，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
23. 【证明体验】
（1）如图1，在中，平分，为上一点且．求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在中，，平分，交于点，，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，已知中，，，平分，，，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）7
【解析】
【分析】（1）证，可得；
（2）根据（1）中得：，，相加可得的长；
（3）在边上取点，使，连接，得到，在边上取点，使，连接，得到，即可推出结论．
【详解】（1）证明：如图1， 平分，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：如图2，在边上取点，使，连接．
，
，，，
，，
，
，
；
（3）解：中，，，
，
平分，
，，
在边上取点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
在边上取点，使，连接，
同理得，
，，
，
，
，
，
．
甲种足球
购买费用：2000元
单价：x元/个
数量：______个
乙种足球
购买费用：1400元
单价：每个比甲贵20元
数量：______个