广东省东莞外国语学校等八年级上学期期末数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省东莞外国语学校等八年级上学期期末数学试题（解析版）(1)-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分120分
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，下面是科学防控知识的图片，其中的图案是轴对称图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列各组线段中，能构成三角形是（ ）
A. 2，5，8B. 3，3，6C. 3，4，5D. 4，5，9
【答案】C
【解析】
【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形根据这个关系即可确定选择项．
【详解】A、∵，∴不能构成三角形，排除；
B、∵，∴不能构成三角形，排除；
C、∵，∴能构成三角形，符合题意；
D、，∴不能构成三角形，排除；
故选：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，解题的关键是掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3. “诺如病毒”感染性腹泻是一种急性肠道传染病，这种病毒的直径约为，请将数据0.000000031用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：0.000000031用科学记数法表示为，
故选：A．
4. 中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，设，，，再根据求出的值，进而可得出结论，熟记三角形内角和是是解题的关键．
【详解】∵中，
∴设，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选：．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、幂的运算法则逐项计算即可判断．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B. ，符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项和幂的运算，掌握相关法则是解题关键．
6. 如果把分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 变为原来的2倍B. 不变C. 变为原来的D. 变为原来的4倍
【答案】A
【解析】
【分析】根据x，y都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论．
【详解】解：∵分式中的x与y都扩大为原来的2倍，
∴分式中的分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，
∴分式的值扩大为原来的2倍，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的性质，解题关键在于掌握其性质进行化简．
7. 一个长方形的面积是，且长为，则这个长方形的宽为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方形的宽=长方形的面积÷长方形的长即可列出算式，再根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】解：这个长方形的宽=．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式实际应用，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握运算法则是解题的关键．
8. 如图，，D在边上，，，则的度数为（ ）
A. 35°B. 40°C. 50°D. 65°
【答案】D
【解析】
【分析】由可知，是△ADC的一个外角，已知与它不相邻的两个内角，即可求出的度数．
【详解】∵
∴
∵在△ADC中，，
∴=30°+35°=65°
故选：D
【点睛】本题只要你考查了三角形的全等的性质，掌握全等三角形对应角相等以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
9. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA  2，则PQ的长不可能是（ ）
A. 4B. 3.5
C. 2D. 1.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，此时根据角平分线性质得出PQ=PA，再逐一判断即可．
【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=2，
∴PQ=PA=2，
所以最小值为2，
所以A，B，D不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解PQ最小值是解此题的关键．
10. 如图，、分别表示边长为x、y正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 16B. 12C. 8D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得：，，然后利用完全平方公式进行变形即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积为：
．
图中阴影部分的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景．完全平方公式为：，，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】要使分式有意义，必须分母不等于0，据此求解即可．
【详解】解：要使分式有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出是解此题的关键．
12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
，
解得．
所以这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
13. 分解因式：_____________．
【答案】．
【解析】
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提取公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直至不能分解为止．
14. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中， 的角所对的边等于斜边的一半是解决问题的关键．
首先根据点的坐标及等边三角形的性质得进而得 再根据直角三角形的性质得 点的纵坐标为 ，依次类推得到点的纵坐标为 即可解题．
【详解】∵点的坐标是，是等边三角形，
，
，
轴,
∴在中, 则 ，
∴点的纵坐标为 ，
同理： ...，以此类推， ，
∴点的纵坐标为 点 的纵坐标为点 的纵坐标为 ……，以此类推，点的纵坐标为 ，
∴点 的纵坐标为
故答案为： ．
三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂、负整数指数次幂的性质是解题的关键．先算乘方，零指数幂和负整数指数次幂，再算加减法即可求解．
【详解】解：
．
17. 已知，则和的值．
【答案】6；
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，分别计算即可．
【详解】解： ，，
；
．
四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
18. 如图，点A，C，D，E在同一条直线上，，，，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，得出，结合已知证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
在和中
∴（）；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19. 如图，已知，直线平行交于点．

（1）尺规作图：作的角平分线交直线于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以为圆心，适当的长为半径画弧，交，于点，，分别以，为圆心，大于的半径画弧，在内部相交，连接点与此交点并延长与直线交于点，为所作；
（2）利用角平分线性质和平行线性质可求出，，再利用三角形内角和即可得出结果．
【小问1详解】
解：如图，以为圆心，适当的长为半径画弧，交，于点，，分别以，为圆心，大于的半径画弧，在内部相交，连接点与此交点并延长与直线交于点，为所作；
【小问2详解】
在（1）的条件下，因为点在若的平分线上，
所以，
又因为，所以，
在中，．
【点睛】本题考查了尺规作图，作已知角角平分线，角平分线性质，平行线的性质以及三角形内角和，熟练掌握尺规作图的基本方法，平行线的性质是解答本题的关键．
20. 先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先分式的除法运算，再进行加减运算即可得以化简，然后把有意义的值代入即可求解，熟练掌握分式的通分和约分积加减是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
∵，
∴整数解为：，，
∵且，
∴，
∴原式．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为．
（1）画出关于轴对称的并求的面积；
（2）在轴上找一点，使的和最小．（找出点即可，不用求点的坐标）
【答案】（1）画图见解析，；
（2）画图见解析．
【解析】
【分析】（）直接利用关于轴对称点的性质得出答案，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可；
（）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置即可；
本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形．
【小问1详解】
如图，利用网格特点和轴对称的性质画出，，关于的对称点，，，连接各点，
，
∴即为所求；
，
，
；
【小问2详解】
如图，
画出关于的对称点，连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短，如图，
∴点即为所求的点，使得最小．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
22. 已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求解 根据角平分线的定义求解 再利用外角的性质求解 再利用垂直的定义解答即可；
（2）设∠B=α，则∠C=3α，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-4α， 先求解∠BAD=∠BAC=， 再求解∠AFD=90°-∠BAD=2α， 再利用三角形的外角的性质证明∠BDF=α=∠B， 从而可得答案．
【详解】（1）解：∵∠C=3∠B，∠C=75°，
∴∠B=25°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=40°，
∴∠ADE=∠BAD+∠B=65°，
∵AE⊥BC， ∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-65°=25°；
（2）证明：设∠B=α，则∠C=3α，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-4α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°-∠BAD=2α，
∵∠AFD=∠B+∠BDF，
∴∠BDF=α=∠B，
∴BF=DF．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，灵活运用以上知识得到角与角之间的关系是解题的关键．
23. 如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
（1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
（2）若，，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
【答案】（1）平方米
（2）3900元
【解析】
【分析】（1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可；
（2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用．
【小问1详解】
解：长方形地块的面积为：，
中间预留部分的面积为：，
，
因此绿化的面积S为平方米；
【小问2详解】
解：由题意知，（平方米），
（元），
因此完成绿化共需要3900元．
【点睛】本题考查列代数式、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积．
24. 某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，则应购买A种菜苗至少多少捆？
【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元
（2）菜苗基地购买A种菜苗至少60捆
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，分式方程的解法，确定相等关系与不等关系是解本题的关键；
（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，利用“用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆”，再建立方程求解即可；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，利用“所花的费用不超过2400元”，再建立不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
【小问2详解】
设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，
，
解得：，
∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
25. 如图，在中，为边的垂直平分线，以为边作等边，与在直线的异侧，直线交的延长线于点，连接交于点．

（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）点在线段上且，连接，证明：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明；
（2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案；
（3）利用 （2） 的结论，证明等边三角形，再求解.
【小问1详解】
证明: ∵为边的垂直平分线，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵为边的垂直平分线，
∴ ，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵等边三角形中，，
∴，
【小问3详解】
证明: 由（2）得: ，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，是一道综合性极强的题．
26. 综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点，斜边交轴于点．

问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标
变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点．
拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度．
【答案】（1） （2）见解析 （3）的长度不变，
【解析】
【分析】（1）由“”可证, 可得，可求解；
（2）由折叠的性质可得 ，由“”可证，可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由可证 ，可得
【详解】（1）如图， 过点作轴于点，

∵点的坐标为，
，
∵，
∴，
轴于点，
，
∴，
，
∴，
∴，
在和中,
，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴点的坐标为；
（2）证明: ∵是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿着折叠,
∴，
∴，
∴，
，
又 ，，
，
，
∴点是的中点；
（3）的长度不会改变，理由如下：
过点作轴于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．