初中数学3 勾股定理的应用优秀导学案

这是一份初中数学3 勾股定理的应用优秀导学案，文件包含专题03勾股定理的应用2知识点+12大题型+思维导图+过关测原卷版docx、专题03勾股定理的应用2知识点+12大题型+思维导图+过关测解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共78页， 欢迎下载使用。
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：12大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
知识点2 ：平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解
【题型1 应用勾股定理解决梯子滑落高度】
例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米．
【答案】(1)云梯顶端与墙角的距离的长为
(2)云梯底端在水平方向上滑动的距离为
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中，根据勾股定理即可得到求解；
（2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：；
答：云梯顶端与墙角的距离的长为；
（2）解：，，
，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
，
．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，一架长5米的梯子斜靠在墙上，到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的端向墙的方向移动了米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，求梯子的端向上移动了多少米．
【答案】
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，在中，根据勾股定理知，，
在中，，
根据勾股定理知，
．
答：梯子的端向上移动了．
2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)梯子的底部在水平方向滑动了至点，求梯子的顶端沿墙垂直下滑了多少米．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出，得到即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，，，
∴在中，
答：这个梯子的顶端距离地面．
（2）解：由题意得，，，
∴在中，
∴
答：梯子的顶端沿墙垂直下滑了．
3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米．
(1)求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米；
(2)若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？
【答案】(1)此时云梯顶端离地面的高度为9米
(2)4米
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
（1）在中， 利用勾股定理求解即可；
（2）先求出，在中，由勾股定理求出，然后求出的长即可求解．
【详解】（1）解：为长方形，

在中，由勾股定理

答：此时云梯顶端离地面的高度为9米
（2）解：，
在中，由勾股定理

答：消防车需要向建筑物方向移动4米到达B处．
【题型2 应用勾股定理解决旗杆高度】
例题：（24-25八年级下·河南三门峡·期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据：
①测得的长度为8米：（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
(1)求风筝的高度．
(2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米
(2)7米
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键；
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论∶
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）如图：由题意得，米，∴米，
∴，
∴米，
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？
【答案】尺
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．
本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．
【详解】解：设绳索长为x尺，则木桩高为尺，
∴在中，，，
∴根据勾股定理，得，
解得．
∴绳索长为尺．
2．（24-25八年级上·陕西铜川·期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图：
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，．
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度；
(2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度．
【答案】(1)米
(2)米
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】（）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，利用勾股定理解答即可求解；
（）由题意可知米， 米，，利用勾股定理求出，即得的长，进而即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的解题的关键．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得，，
解得，
答：旗杆的高度为米；
（2）解：由题意可知，米， 米，，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴米，
答：此时绳结到地面的高度为米．
3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，回答问题．
社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案：
步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离；
步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离．
(1)若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）；
(2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度．
【答案】(1)
(2)秋千的高度为
【知识点】列代数式、求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用：
（1）根据即可求解；
（2）过点作，利用勾股定理解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：过点作，垂足为，
则，，
，
，
在中，，
，
即，
解得：，
答：秋千的高度为．
【题型3 应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】
例题：（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ．
【答案】13
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∴．
即喜鹊至少要飞．
故答案为：13
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米．
【答案】25
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可．
【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米，
连接，平移到，则米，，两树相距米，
∴（米），
在中，（米），
故小鸟至少飞行米．
故答案为：25．
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行 米．
【答案】
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接，
设大树高为，小树高为，
∴，，，
在中，
答：小鸟至少飞行米，
故答案为：
3．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
【答案】13
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离．
【详解】解：过C作平行地面，连接，
由题意得，米，米，米，
由勾股定理得，米，
故答案为：13．
【题型4 应用勾股定理解决大树折断前的高度】
例题：（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺）
【答案】竹子折断处离地面有4.2尺．
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹子折断处离地面有尺，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面有尺，
由题意得：，，，，
∴，
则：，
解得：．
答：竹子折断处离地面有4.2尺．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
【答案】(1)旗杆距地面处折断
(2)在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．
（1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可；
（2）先画出图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：由题意，知．
因为，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面处折断；
（2）解：如图：
因为点P距地面，
所以，
所以，
则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险，
所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险．
2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)、求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．

(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长．
【答案】(1)米
(2)米
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长；
（2）先求出点距地米，米，再根据勾股定理可以求得的长．
【详解】（1）解：由题意可知：米，
，
，
又米，
，
米；
（2）解：点距地面米，
米，
（米．
【题型5 应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
例题：（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求．
【答案】
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据勾股定理求出的值，进而即可得出答案．
【详解】解：如图，在中，，
根据勾股定理得
．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即，，，，求的长．

【答案】
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意，得：，
解得：，即．
2．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？
【答案】至少需要制作长的吸管
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长．
【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径，
内部底面圆半径为，
，
在中，
，
解得：或（舍去，不符合题意）
答：至少需要制作长的吸管．
3．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】(1)12尺
(2)见解析
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证．
【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，
由题意有：尺；
为中点，且丈尺，
(尺)；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
即尺；
答：水池的深度为12尺；
（2）证明：水池深度，则芦苇高度为，
由题意有：；
为中点，且，
；
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：；
表明刘徽解法是正确的．
【题型6 应用勾股定理解决航海问题】
例题：（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
(1)求港口A到海岛B的距离；
(2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数）
【答案】(1)
(2)乙船
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．
（1）作于点D，构造两个直角三角形并解直角三角形，用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解；
（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．
【详解】（1）解：过点B作于点D，
在中，，设，则，
在中，，
则，，
由得，
解得，
，
答：港口A到海岛B的距离为海里；
（2）解：甲船看见灯塔所用时间：小时，
乙船看见灯塔所用时间：小时，
所以乙船先看见灯塔．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只．
(1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？
(2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？
【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里
(2)此时该船只所在处C与的距离为海里
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题．
（1）先求得，在中，由勾股定理求解即可；
（2）作于，利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，，
，
，，
∴在中，由勾股定理得，
，
答：巡逻艇的速度为每小时48海里；
（2）解：作于，
，
，
答：此时该船只所在处C与的距离为海里．
2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)确定C岛在A岛的什么方向？
【答案】(1)
(2)北偏西
【知识点】与方向角有关的计算题、等腰三角形的性质和判定、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握．
（1）根据，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距离；
（2）证明，根据即可求解．
【详解】（1）如图，由题意可知：，
∵，
∴，
∴，
在中，，
答：A，C两岛之间的距离是；
（2）又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴C岛在A岛北偏西的方向上．
3．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里．
(1)求小岛A与港口C的距离；
(2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里
(2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、垂线段最短
【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，．
在中，，
∴．
答：小岛A与港口C的距离为150海里；
（2）解：过点C作于点D，
当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近．
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（小时）．
答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A．
【题型7 应用勾股定理解决河的宽度】
例题：（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）．
【答案】米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
∵米，米，
∴米，
答：两点间的距离为米．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长．
【答案】米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：设米，则米，
在中，，，
即，
解得：，
即米，
答．该河的宽度为75米．
2.（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．

【答案】两棵景观树之间的距离是12米
【分析】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可．
【详解】解：在Rt中，由勾股定理，得：
，
（米）．
答：两棵景观树之间的距离是12米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．
3.（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米．
(1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
【答案】(1)米
(2)航行总时间为67.5秒
【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离．
（2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
答：河宽240米．
（2）解：（秒），
（秒），
（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
【题型8 应用勾股定理解决台阶上地毯长度】
例题：（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
【答案】(1)的长为；
(2)元
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键．
（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
，
答：的长为；
（2）解：地毯长为：，
∴地毯的面积为，
每平方米地毯25元，
需要花费（元）；
答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．

【答案】
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度．
【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为，
．
答：护栏的长度为．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【答案】米
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键．
【详解】解：如图，由勾股定理得，，
∴米，
∴米，
答：地毯的长度至少需要米．
3．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
【答案】1020
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【详解】解：由勾股定理得，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要（元）．
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
【题型9 应用勾股定理解决汽车是否超速问题】
例题：（24-25八年级下·广西贵港·期中）已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速．
【答案】没有超速
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键．
由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答．
【详解】解：汽车没有超速，理由如下：
依题意，由勾股定理可得：，，，
．
∴，
∴．
∴汽车没有超速．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)
(2)未超速
【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，,
由勾股定理，得，
∴，
故的长为．
（2）解：，
∵，
∴这辆小汽车未超速．
2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米．
(1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？
(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由．
【答案】(1)共用时4秒
(2)该车超速，理由见详解
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可；
（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可
【详解】（1）解：依题意可得，，
∴，为直角三角形
∵米，米，
∴米，
，
∴
答∶共用时4秒；
（2）解：超速，理由如下∶
，
∵，
∴该车超速．
3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．
(1)求的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：）
【答案】(1)米
(2)超速了，理由见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：在中，，
，
答：的长为米；
（2）解：小汽车的速度为：，
，
故小汽车超速了．
【题型10 应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
例题：（23-24八年级下·广西河池·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域．
(1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由；
(2)若受影响请计算市受影响的时间．
【答案】(1)市会受到沙尘暴的严重影响，见解析；
(2)小时．
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键．
（1）过点作于，根据含角的直角三角形的性质得到，由此即可求解；
（2）设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，由勾股定理得到千米，则千米，由行程问题的数量关系即可求解．
【详解】（1）解：过点作于，由题意得千米，，
∴（千米）,
∵，
∴市会受到沙尘暴的严重影响；
（2）解：设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，
在中，千米，千米，
∴千米，
∴千米，
∴市受影响的时间为（小时），
故市受影响的时间为小时．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析
(2)持续小时
【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港受台风影响；
（2）解：如图，假设当，时，正好影响港口，
∴，，
∴，
∵台风的速度为千米/小时，
∴（小时），
答：海港受台风影响的时间会持续小时．
2．（24-25八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响．
(1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
(2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？
【答案】(1)货车开过学校受噪音影响，理由见解析
(2)学校受噪音影响时间是6秒
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用；
（1）根据可得答案；
（2）先画出图形，设，则路段是学校受噪音影响的路段，再利用勾股定理求解，，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：货车开过学校受噪音影响，理由如下：
∵，
∴货车开过学校受噪音影响；
（2）解：如图，设，则路段是学校受噪音影响的路段，
∵，
∴，
又，，
∴，
同理：，
∴，
∴影响时间，
答：学校受噪音影响时间是6秒．
3．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
(1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)农场会受到台风的影响，理由见解析；
(2)小时．
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键．
（1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解；
（2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解．
【详解】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
【题型11 应用勾股定理解决选扯距离相离问题】
例题：（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．

(1)（______）千米；
(2)煤栈应建在距点多少千米处？
【答案】(1)
(2)千米处
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解；
（）根据（）的结果即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接，则，
∵，，
∴，
∵千米，
∴千米，
∵，
∴，
解得，
∴千米，
故答案为：；
（2）解：由（）得，千米，
∴煤栈应建在距点千米处．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米?
【答案】312.5米
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，弄清题意，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；根据题意，，，由、的长易求，设米，米，在中运用勾股定理得关系式求解．
【详解】解：根据题意得：，，
在直角三角形中，
米，米，
（米），
设米，则米，
在中，，
即，
解得：，
答：该超市C与车站D的距离是312.5米．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？
【答案】站应建在离站处．
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．根据使得，两村到站的距离相等，则，再利用勾股定理得出的长．
【详解】解：，两村到站的距离相等．
，
于，于，
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得：，
．
答：站应建在离站处．
3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米．
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．
【答案】(1)475米
(2)1000米
【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键．
（1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果．
（2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1，
根据题意得：，
设，则，
，
解得，
即的长为475米；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．
则，
，
的最小值为，
如图，作于点E，
在中，
米，米，
米，
的最小值为1000米．
【题型12 应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题】
例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米；
第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米；
第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况．
【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度．
(1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为 厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为 厘米；
(2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱侧面展开，把立体图形上的最短路径问题转化为平面图形中直角三角形的斜边求解问题．
（1）先根据圆柱的相关数据求出侧面展开图长方形的两条直角边的长度，
（2）利用勾股定理求出展开图中连接A、B两点线段的长度，即蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】（1）解：已知圆柱的高为4厘米，圆柱侧面展开后长方形的高就等于圆柱的高，所以其中一条直角边为4厘米，
已知圆柱底面半径厘米，取3，根据圆的周长公式，则底面圆周长的一半为厘米，即另一条直角边为6厘米，
故答案为：，；
（2）解：（厘米），
答：蚂蚁从点爬到点的最短路程厘米．
【变式训练】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？
【答案】内蚂蚁能爬到点
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查平面展开 - 最短路径问题与勾股定理应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，将长方体的侧面展开在同一平面内，
，
．
，
，
内蚂蚁能爬到点．
2．（24-25七年级上·山东威海·期末）【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【答案】（1）（2）（3）
【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
故答案为：；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，,
，
，
，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
3．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
【答案】(1)A
(2)
(3)最短为，方案见解析
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键．
（1）结合图形即可得出结果；
（2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解；
（3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意，
故选：A；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：，
∴最短长度是；
（3）①把展开，如图此时总路程为，
②把展开，如图
此时的总路程为；
③如图所示，把展开，
此时的总路程为，
由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为．
一、单选题
1．（辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题 ）一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为（ ）
A．B．C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，根据题意，得，，，，

∵
∴
∴
∴在中，
即，两港之间的距离为．
故选：C．
2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
【答案】D
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：根据题意，得，，，
在中，，
∴，
解得，
即河的宽度是15米，
故选：D．
3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．17B．15C．10D．8
【答案】A
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米．
故选：A．
4．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（ ）
A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺
【答案】D
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理列式进行计算即可．
【详解】解：丈尺，
设水深尺，则芦苇长尺，
根据勾股定理得：，
解得，
芦苇的长度为，
故选D．
5．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，展开后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，根据题意可知最短距离为，，，
根据勾股定理得：，
蚂蚁爬行的最短距离为，
故选：C．
二、填空题
6．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱．
【答案】
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，利用勾股定理求出长度，再求出面积并计算费用即可．
【详解】解：由勾股定理得，楼道的水平宽度为，
因为所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，即，
地毯的面积为，
总费用为元，
故答案为：．
7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，由于台风的影响，一棵高度是的树折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树的折断处距地面的高度是 ．
【答案】6
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设这棵树的折断处距离地面的高度为，这棵树的折断处距树顶的高度是，再根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：设这棵树的折断处距离地面的高度为，这棵树的折断处距树顶的高度是，
由勾股定理得，
解得，
∴这棵树的折断处距地面的高度是，
故答案为：6．
8．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为 ．
【答案】16
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），连接，不妨设，利用勾股定理可得，，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，不妨设，
由题意得：，，，，，
∴在中，，
∴在中，，
∵将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，
∴此吸管的总长度为，
故答案为：16．
9．（24-25八年级下·湖北随州·期中）如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 海里．
【答案】
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：设轮船向东北航行到，向东南方向航行到，
由题意得，海里，
海里，
，
故答案为：．
10．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．

【答案】
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解．
【详解】解：依题意，在中，，；
据勾股定理可得：，
故小汽车的速度为s．
故答案为：．
三、解答题
11．（24-25八年级上·河南郑州·期中）《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千在静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将秋千往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
【答案】秋千绳索的长为尺
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；设秋千绳索的长为尺，结合题意可得，，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设秋千绳索的长为尺，
根据题意，得，，
，
在中，，
所以，，
解得，，
所以，秋千绳索的长为尺．
12．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，有一台环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域．
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【答案】(1)学校C会受噪声影响．理由见解析
(2)环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键．
（1）如图，过点C作于D，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
【详解】（1）解：学校C会受噪声影响．理由如下：
如图，过点C作于D，
∵，
∴．
∴是直角三角形．
∴，
∴，解得：米．
∵环卫车周围以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C，
∵，同理，
∴，
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴（分钟），
∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
13．（24-25八年级下·广东东莞·期中）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
(1)请求出观测点C到公路的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）
【答案】(1)观测点C到公路的距离为米
(2)此车没有超速，理由见解析
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、含30度角的直角三角形
【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点C作于H，
在中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路的距离为（米）．
（2）解：米，
米
米
∴车速为（米/秒）
千米/小时米/秒，
∴此车没有超速．
14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．
(1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．
(2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)小男孩需向右移动的距离为米
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出的长，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
，
故答案为：；
（2）连接，
∵点B在直线上，
∴点A、B、F三点共线，
，米，米，米，
在中，米，
（米），
在中，米，
，
米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
15．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则．
(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．
【答案】(1)见解析
(2)新路比原路少0.5千米
(3)
【知识点】勾股定理的证明方法、求河宽(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用；
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果；
（3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果．
【详解】（1）解：，
∴梯形的面积为或，
，
，
即，
（2）解：设千米，则千米，
在中，，
即，解得：，即，
（千米），
答：新路比原路少千米，
（3）解：由题得，，
在中，，
在中，，
，
即，解得：．
16．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由题意得：，，
，
故答案为：；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，，
，
底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米．