精品解析：江苏省南菁高级中学2024-2025学年高二创新班下学期3月阶段性检测数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量与是非零向量，，，与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知圆，点.若圆上存在点使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）（参考数据：，，，）

A 40米B. 14米
C. 48米D. 52米
6. 函数，，的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
7. 正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（ ）
A B. 2C. D.
8. 在锐角中，，，分别为三边，，所对的角，若，且满足关系式，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分．
9. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为虚数B. 若，则
C. D. 若，则的最小值为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
B. 直线的倾斜角为120°
C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
11. 已知是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知，，则的值为__________．
13. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则____________.
14. 如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，，分别为两半圆上的动点（不含端点，，），且，则的最大值为______．
四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在中，已知D，E分别是的中点，，与交于点O.
（1）若，求的值；
（2）若，求的长.
16. 如图，与存在对顶角，，，且．
（1）证明：为中点；
（2）若，求长．
17. 已知圆O：和点
（1）过点M作圆O的切线，求切线的方程；
（2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；
18. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
19. 设正的边长为为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点.
（1）当时，求的值；
（2）当时.
（i）求值（用表示）；
（ii）求最大值与最小值.