江苏省南菁高级中学实验班2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可解.
【详解】根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，
即，且，
所以
故选：C
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】由，写出展开式的通项，即可求出的系数.
【详解】由，
其中展开式的通项为（且），
所以的展开式中的系数为．
故选：B．
3. 为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从5名领导和6名科员中选出4名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有2名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是（ ）
A. 210B. 360C. 420D. 720
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分类计数原理，组合列式计算作答.
【详解】求不同的选法种数可以有两类办法，选出的4人中有2名领导，有种方法；有3名领导，有种方法，
由分类加法计数原理得：，
所以不同的选法种数是210，A正确.
故选：A
4. 已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知结合偶函数性质函数在上的最小值为4，然后利用导数对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．
【详解】因为是定义域为的偶函数，
且函数在上的最小值为4，
所以函数在上的最小值为4，
当时，，此时，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增，
当时，函数取得最小值，解得，符合题意，
当时，，，函数单调递减；
，，函数单调递增，
时，函数取得最小值，解得，不符合题意，
综上，．
故选：B．
5. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.
【详解】由于函数，定义域R，满足，
得是奇函数，且在R上为减函数.
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，即a的取值范围为，
故选：D.
6. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义探讨函数的周期，再根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为，即，
所以函数关于对称，
因为为奇函数，所以，
令，则，所以，所以，
所以，即，
所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
是以.
故选：D.
7. 若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ）
A. -1B. 1C. 0D. e
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义分别求解出在点处的切线方程以及在点处的切线方程，根据两切线重合，求解出之间的关系式，由此可化简计算出的值.
【详解】的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，
的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，
由两条切线重合的条件，可得，且，
则，即有，
可得，
则.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于切线方程的分别求解，然后通过切线重合去分析变量之间的关系，其中涉及的指对互化对于计算有一定要求.
8. 定义在上的可导函数，满足，且，若，，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】变形得到，构造，求导得到，结合求出，求导得到函数单调性，变形得到其中，，，令，，求导得到函数单调性，比较出，从而得到答案.
【详解】等式两边同乘以得，
令，则，
即，设，
即，故，
又，故，解得，
故，
，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中，，，
令，，则，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
故，即.
故选：B
【点睛】方法点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分：若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 值域为
C. 在区间上单调递增
D. 的值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】变换得到，计算定义域和值域得到A正确，B错误，根据反比例函数单调性确定C正确，根据计算得到D正确，得到答案.
【详解】，
对选项A：函数的定义域满足，即，正确；
对选项B：的值域为，错误；
对选项C：在区间上单调递增，正确；
对选项D：，，
故，正确.
故选：ACD
10. 已知函数，是定义在R上的非常数函数，满足，，且为奇函数，则（ ）．
A. 为奇函数B. 为偶函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件，利用变量代换可推出函数的周期，继而推出，结合函数是定义在R上的非常数函数，即可判断的奇偶性，判断A，B；利用的周期可求得的值，判断C；根据结合变量代换可推出，从而将化为，结合的周期求值即可判断D.
【详解】函数是定义在R上的非常数函数，
由于奇函数，故，
即，即，
由于，用代换x可得，
结合得：，即，
结合得，
即，故，
即4为函数的周期，故，故为偶函数，
由于是定义在R上的非常数函数，故不是奇函数，故A错误，B正确；
由于，故，即，
故，
故，故C正确；
由得，
而为偶函数且，故，
则，
因为，所以，
故，D正确，
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的应用问题，涉及到函数的奇偶性以及周期性，难点在于要根据已知条件，经过变量代换，推出函数的周期，进而推出函数为偶函数，从而再根据之间的关系，推出，结合函数的周期性，即可求出和式，的值.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的值域是
B. 若，则
C. 若，则方程共有5个实根
D. 不等式在上有且只有3个整数解，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】A选择利用导数研究函数的单调性即可确定值域，需要注意当时，且；B选项需要设导函数的零点，进而可确定函数的单调区间，结合对勾函数的性质可确定答案；C选项，方程，所以两根为或，再利用导数研究的图象，结合图象可确定零点个数；D选项，将原不等式化为，令，利用导数求函数的单调性，进而确定
在上的3个整数解为－2,－1,0，再构造不等式组求答案即可.
【详解】对于A，函数，
当和时，为减函数；
当时，为增函数：
当时，且，而，
如下图所示：
所以值域为，选项A错；
对于B，由已知得，，
显然在上为增函数，且，，
所以使，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增； ，
结合对勾函数的性质，，选项B正确；
对于C，方程，所以两根为或，
因为，所以，
明显为增函数，且，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，且时，且，
而，，，，
所以函数的图象如下：
所以有1个根， 有5个根，
所以方程有6个根，选项C项错误：
对于D，不等式，
当时，不等式可化为，
令，则，
当时，，在上为增函数，
则在上的3个整数解为－2,－1,0，
，即，解得，故选项D正确．
故选：BD.
【点睛】关键点睛：注意数形结合的思想的应用，利用导数求出函数的增减区间，进而可确定函数的大致图象，再结合图象分析即可.
三、填空题（本题共3小题.每小题5分，共15分．）
12. 银行卡的密码由6位数字组成.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.如果记得密码的最后一位数字是奇数，则不超过2次就按对的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答案.
【详解】设为“第次按对密码”（），
则事件“不超过2次就按对”可表示为，
记“密码的最后一位数字是奇数”，
由条件概率的性质可得，
.
故答案为：.
13. 已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】将问题转化为有极值点，即有变号零点，从而得解.
【详解】因为，所以，
又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点，
则成立，
当时，可化为，显然不成立；
当时，，
因为，，所以或，
所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号），
经检验，或满足要求.
故答案为：或.
14. 若过点有三条直线与函数 的图象相切，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设切点坐标，利用导数，求出切线方程，再结合过点存在三条直线与曲线相切，转化为方程有三个根，构造新函数利用导数求单调区间和极值得实数m的取值范围．
【详解】函数，定义域为R，，
设切点坐标为，则切线方程为，
切线过点，则有，
即，依题意关于方程有三个解，
设，
，解得或；，解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
时，取极小值；时，取极大值，
实数m的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 设函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
（2）在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
（3）若在上存在增区间，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）单调减区间为，单调增区间为，极小值为2
（3）
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值；
（2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解；
（3）将在上存在增区间转化为有解，分离参数，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
由题可得，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得；
【小问2详解】
由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取极小值为；
【小问3详解】
由在上存在增区间，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令，所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以
即的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由可求得的值，进而可求得实数的值；
（2）由可得出或，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，所以，
所以，所以，解得.
【小问2详解】
解：由，得，即，
即或.
当时，，则或，
因为，则不成立，
由可得，得；
当时，，则或，
因为，则不成立，所以，解得.
综上，的取值范围是.
17. 已知函数（e为自然对数的底数，）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论，分别判断的符号，得出函数的单调区间；
（2）利用函数最值转化为求证，构造函数利用导数求最值即可得解.
【小问1详解】
，
当时，，在上单调递减；
当时，由可得，故时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由（1）知，，
只需证，即证，
设，
则，
故时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
又，故，
即成立，所以原不等式成立.
18. 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，记,求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)求的导函数,再对含参的二次函数分类讨论,分别求出单调区间即可.
(2)在(1)的条件下先写出两个极值点的关系，
再化简的解析式为关于的函数,最后求导计算范围即可.
【小问1详解】
的定义域为，对求导得：
，
令
1）若，则，即，所以在上单调递增.
2）若
①当时，即，则，即，所以在上单调递增.
②当时，即，由，得
当时，
当时，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时, 在上是单调递增的，
在上是单调递减的.
【小问2详解】
由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点 满足，
所以，
所以，
同理，
，
所以，
令，所以，
所以在上是单调递减的，在上是单调递增的
因为，且当，
所，所以 的取值范围是
19. 设函数（），其中为自然对数的底数，为实数．
（1）若在上单调递增，求实数k的取值范围；
（2）求的零点的个数：；
（3）若不等式在上恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）个零点
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得对恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可；
（2）求导，再分和讨论，结合零点的存在性定理即可得出结论；
（3）不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，再分和两种情况讨论，求出函数的最值即可得解.
【小问1详解】
，
因为在上单调递增，
所以对恒成立，
令，则，
则当 时，，当 时，，
故在上递减，在上递增，
则，
依题意，需使，即，故得：，
所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
由，得，
因为，若，则无零点，
当时，，故在上递增，
注意到，，
由零点存在定理，在上有唯一的零点；
所以有个零点；
小问3详解】
不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
令，
又，所以在上恒成立，
当时，，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，
即，
所以函数在上单调递增，
所以，
故时，符合题意；
当时，函数在上单调递增，
则，，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，
所以，使得，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，与题意矛盾，
综上所述，.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．