江苏省无锡市江阴市第二中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析）

这是一份江苏省无锡市江阴市第二中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设函数在处的导数存在，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的定义求得正确答案.
【详解】.
故选：D
2. 若函数的导数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则即可求解.
【详解】由函数，
则.
故选：B
【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，需熟记公式以及导数的运算法则，属于基础题.
3. 已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导函数的正负及变化规律即可判断.
【详解】由的图象可知，，所以的图象单调递增，
因为的值先增大后减小，所以的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确.
故选：A.
4. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可
【详解】由球的体积公式可得，得，
所以时，体积关于半径的瞬时变化率为，
故选：.
5. 是函数的导数，函数是增函数（是自然对数的底数），与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数是增函数，可得，化简后可得答案
【详解】令，则，
因为是增函数，
所以，
所以，所以，
故选：D
6. 已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则下列判断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知等式构造新函数，利用新函数的单调性逐一判断即可.
【详解】设，
所以函数是实数集上的增函数.
A：因为函数是实数集上的增函数，
所以有，所以本选项判断正确；
B：因为函数是实数集上的增函数，
所以有，所以本选项判断正确；
C：因为函数是实数集上的增函数，
所以有，所以本选项判断正确；
D：因为函数是实数集上的增函数，
所以有，
因为不能判断的正负性，所以不能判断之间的大小关系，因此本选项判断不正确，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用构造新函数，进而利用新函数的单调性进行判断.
7. 已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可．
【详解】∵函数在区间上为单调递增函数，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
由于函数在上单调递减，所以，
即实数的取值范围是，
故选：D
8. 设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．
【详解】因为，，
故构造函数，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又因为，，
所以，．
因为，又，
所以，即，故，
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据求导公式、运算法则和简单复合函数的求导依次计算，即可求解.
【详解】A：，故A正确；
B：，故B错误；
C：，故C正确；
D：，故D正确.
故选：ACD
10. 下列命题中是真命题有（ ）
A. 若，则是函数的极值点
B. 函数的切线与函数可以有两个公共点
C. 函数在处的切线方程为，则当时，
D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用极值点定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利用单调性解不等式.
【详解】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；
B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；
C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；
D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；
故选：BD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 的最小值为
C. 方程的解有个D. 导函数的极值点为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项.
【详解】因为，该函数的定义域为，，
令，可得，列表如下：
且当时，；当时，，
作出函数的图象如下图所示：
对于A选项，在区间上单调递增，A对；
对于B选项，的最小值为，B对；
对于C选项，方程的解只有个，C错；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，令，可得；令，可得.
所以，函数的单调递减区间为，递增区间为，
所以，函数的极值点为，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知曲线与直线相切，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，根据导数的几何意义求出的值，代入曲线即可得切点坐标，将切点代入切线即可得的值.
【详解】设切点坐标为，∵，∴，
又∵曲线与直线相切，
∴，解得，
∴，即切点坐标为，
可得，解得，故答案为.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义、切线方程，即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，切点既在曲线上又在切线上，即切点坐标满足曲线方程，切点坐标满足切线方程，属于基础题．
13. 函数的单调递增区间是__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间.
【详解】因为，则其定义域为，
，令，
即可得，解得，
结合函数定义域可知，函数的单调增区间为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域.
14. 三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任意一个三次函数都有“拐点”，任意一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.将这一发现作为条件，则对于函数，它的图象的对称中心为_______；_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】解方程可求得函数的对称中心坐标，计算出，利用倒序相加法可求得结果.
【详解】，，则.
令，得，
又，故函数的图象的对称中心为，
设为函数的图象上任意一点.
因为函数的图象的对称中心为，
所以，点P关于的对称点也在的图象上，
所以，，则，
因此，
.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象在点处的切线为．
（1）求函数的解析式;
（2）若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可；
（2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可；
【小问1详解】
函数，
，
在点处的切线为，
解得，
所以
【小问2详解】
设，则由题可知，即，
所以P的横坐标为2．
16. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1）单调递增区间为；递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数判断函数的单调性；
（2）根据函数的单调性求最值.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
令，得或，
令，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴函数的单调递增区间为；递减区间为.
【小问2详解】
由（1）得，当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以.
17. 设函数的导数满足，.
（1）求的单调区间；
（2）在区间上的最大值为，求的值.
（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；
（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.
（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.
【小问1详解】
由可得，
因为，，
所以，解得：，，
所以，，
由即可得：，
由即可得：或，
所以的单调递增区间为，单减区间为和.
【小问2详解】
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，
，
，
则在区间上的最大值为，
所以.
【小问3详解】
由（1）知当时，取得极小值，
当时，取得极大值
，
若函数的图象与轴有三个交点，
则得，解得，
即的范围是.
18. 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
（1）当a＝时，求f(x)的极值；
（2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【答案】（1）f(x)极大值＝ln 2－1，无极小值；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）当a＝时，f(x)＝ln x－x，求导得到f′(x)＝－＝，然后利用极值定义求解.
（2）由（1）知，函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)，然后分a≤0和a>0两种情况讨论求解.
【详解】（1）当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
（2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝ (x>0).
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
【点睛】本题主要考查导数与函数的极值以及极值点的个数问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
减
极小值
增
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
ln 2－1