江苏省南菁高级中学2024−2025学年高二创新班下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析）

这是一份江苏省南菁高级中学2024−2025学年高二创新班下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数表达式是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量与是非零向量，，，与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知圆，点.若圆上存在点使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）（参考数据：，，，）

A．40米B．14米
C．48米D．52米
6．函数，，的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
7．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（ ）
A．B．2C．D．
8．在锐角中，，，分别为三边，，所对的角，若，且满足关系式，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为虚数B．若，则
C．D．若，则的最小值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
B．直线的倾斜角为120°
C．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
11．已知是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知，，则的值为 ．
13．若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 .
14．如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，，分别为两半圆上的动点（不含端点，，），且，则的最大值为 ．
四、解答题
15．如图，在中，已知D，E分别是的中点，，与交于点O.
（1）若，求的值；
（2）若，求的长.
16．如图，与存在对顶角，，，且．
(1)证明：为中点；
(2)若，求的长．
17．已知圆O：和点
（1）过点M作圆O的切线，求切线的方程；
（2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；
18．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
19．设正的边长为为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点.
（1）当时，求的值；
（2）当时.
（i）求的值（用表示）；
（ii）求的最大值与最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】根据题意：将函数的图象向右平移个单位长度得，
将的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍得，
故选A.
2．【答案】A
【详解】由题意有，
根据由投影向量定义可得在上的投影向量为：，
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为直线恒过点，
直线与坐标轴的交点分别为，
直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选B.
4．【答案】B
【详解】若，则点P在以AB为直径的圆上，即圆，即两圆存在公共点,
由两圆位置关系可得
即的最小值为，
故选:B
5．【答案】C
【详解】在中，由题意可得，
则，
，
由正弦定理可得，
在中，可得，
所以该铁塔的高度约为48米.
故选C.
6．【答案】D
【详解】因为，则是的一条对称轴，且由图象知，
又由的图象与性质知①，②
②①得到，解得，所以，故，
故选D.
7．【答案】D
【详解】连接，，且，
在上取一点，使得，
则四边形为平行四边形，.
设，则，
由图可知，
故.
故选D.
8．【答案】D
【详解】先通过，利用辅助角公式可得，再根据条件，利用正弦定理边化角，可得，进而将利用正弦定理边化角可得，进而可得取值范围.
【详解】解：得，又，所以.
在锐角中，，
由正弦定理得：
所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
故选D.
9．【答案】CD
【详解】对于A：设，，，故A错误；
对于B：设，若有，
如满足题意，但，故B错误；
对于C：设，，
，所以，故C正确；
对于D：若，设，则，
所以，
当时，取最小值，故D正确.
故选CD.
10．【答案】BCD
【分析】考虑直线截距为0时可以判断A项；先求出斜率，进而求出倾斜角，然后判断B项；先求出直线与直线垂直的等价结论，进而判断C项；设出原直线方程，再求出平移后的直线方程，进而通过两条直线重合求出答案，进而判断D项.
【详解】对于A项，若直线过原点，则方程为：，所以A错误；
对于B项，直线斜率为：，则倾斜角为120°，所以B正确；
对于C项，直线与直线垂直，等价于或a=3，所以C正确；
对于D项，若直线斜率不存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，
再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，不与原来重合，舍去；
若直线斜率存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，
再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，
因为它回到原来的位置，所以，所以D正确.
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】因为是边长为2的正三角形，
所以，故A不正确；
，故B正确；
根据重心的性质可得，
所以，
所以，故C正确；
因为，
，
故D不正确.
故选BC
12．【答案】
【详解】由有，
又，所以，
所以.
13．【答案】8
【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以.
14．【答案】
【详解】分析：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．
详解： 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得
以为直径的半圆方程为
以为直径的半圆方程为（ ，
设
可得BM⋅BN=（−12+12csα，12sinα）⋅（csβ，sinβ）=0，
即有
即为
即有 可得 ，即 ，
则AM⋅CN=（12+12csα，12sinα）⋅（−1+csβ，sinβ）
可得 即β时，
的最大值为，
故答案为．
点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．
15．【答案】（1）；（2）2.
【详解】解：（1）在中，，
由正弦定理可得，所以.
设.
因为D为中点，所以.
又因为，
所以.
（2）因为D，E分别是的中点，且与交于点O，
所以O为的重心，所以.
又因为，
.
所以
，
所以.
因为，，所以.
即，解得或（舍去），
所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设，，则，.
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：.
故为中点.
（2）如图：
过点做，交与.
则.
由（）.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，.
所以.
由，
所以.
又，所以，所以.
所以.
即.
在中，根据正弦定理，可得：.
17．【答案】（1）和
（2）存在，定点，定值或定点，定值
【详解】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切，
当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，
所以，解得，
则，整理得，
综上，切线的方程为和；
（2）设，由得，
即，
若存在，使为定值，
又，，
则，
整理得，
将代入得，
整理得，
要使为定值，则，
解得，，或，，，
综上，存在定点，定值或定点，定值.
18．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）函数的“源向量”为，
所以，，
则，则当时，
则当时，，
所以函数的值域为
（2）因为，则，则，
又，所以），
且，从而，
，
则
；
因此可得为定值.
（3）如下图所示：
函数的“源向量”为，
则，则
则
则又，
即，
所以，
因为，即，当且仅当时取等号，
又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0，
综上所述，
令，则
从而，其中，
所以，
即的取值范围．
19．【答案】（1）
（2）（i）；（ii）最大值为，最小值为．
【详解】（1）
当时，，，……，，

又为等边三角形，且边长为，为外接圆的圆心，
，且，
，
则，
；
（2）
(ⅰ)为等边三角形，为外接圆的圆心，，
则，，
又，分别为，的等分点，又，
，；

（ⅱ），
；
同理可得：；；
；
令
①当时，
时，，
，时取最大值，则；
时，，
，时取最小值，则，
则当时，；
②当时，
时，，
，时取最大值，则；
时，，
，时取最小值，则，
则当时，；
综上所述：的最大值为，最小值为．