江苏省连云港市连云港高级中学等校2024-2025学年高二下学期第一次阶段测试（3月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省连云港市连云港高级中学等校2024-2025学年高二下学期第一次阶段测试（3月）数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了 若m，n为正整数且，则， 已知等比数列的前n项和为．等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，每题5分）
1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
6 已知 ，则 （ ）
A. 8B. 10C. D.
7. 小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A. 16B. 24C. 166D. 180
8. 正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（共3小题，每题6分）
9. 若m，n为正整数且，则（ ）
A B.
C. D.
10. （多选）用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字四位数和五位数，则（ ）
A. 可组成360个四位数
B. 可组成216个是5的倍数的五位数
C. 可组成270个比1325大的四位数
D. 若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2310
11. 在三棱台中，平面，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 三棱台的体积为D. 直线与所成角的余弦值为
三．填空题（共3小题，每题5分）
12. 若向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_________.
13. 若的二项展开式中常数项为，则常数的值是_______.
14. 某市为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有___．
四．解答题（共5小题）
15. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3.
（1）求正整数n；
（2）若，求.
16. 已知等比数列的前n项和为（b为常数）．
（1）求b的值和数列的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．
17. 已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）函数在区间上存在零点，求的值．
18. 已知直线经过椭圆左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线与斜率的乘积为定值；
（3）求线段的长度的最小值
19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）试在线段上一点，使得与所成的角是．
2024-2025学年第二学期第一次阶段测试
高二数学试卷
一．选择题（共8小题，每题5分）
1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】应用分步乘法计数原理求解即得.
【详解】由题设，每个学生都有3种报名方式，故4名学生共有种报名方式.
故选：A
2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，即可得到，从而得到方程，解得即可.
【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
若直线与平面平行，则，即，即，解得.
故选：C．
3. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果.
【详解】因为，，，且，，共面，
所以，又，得到，解得，
故选：D.
4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C
【点睛】本题考查排列组合应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果.
【详解】根据题意，， ，，
在上的投影向量可为
故选：A.
6. 已知 ，则 （ ）
A. 8B. 10C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数.
【详解】，
其中展开式的通项为，且，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得.
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解.
7. 小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A. 16B. 24C. 166D. 180
【答案】B
【解析】
【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案.
【详解】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果，
故选：B．
8. 正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长．
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为点M在上，点N在上，所以设，
因为是异面直线与的公垂线段，
所以，即，解得，
所以，
所以异面直线与间的距离为，
故选：C．
二．多选题（共3小题，每题6分）
9. 若m，n为正整数且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.
【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确；
对B：，故B错误；
对C：，，左右两边不相等，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：AD
10. （多选）用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则（ ）
A. 可组成360个四位数
B. 可组成216个是5的倍数的五位数
C. 可组成270个比1325大的四位数
D. 若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2310
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题设，逐一分析各个选项的限制条件，再列式计算即可判断作答.
【详解】对于A，可组成四位数的个数为，A错误；
对于B，有两类：个位上的数字是0，有个，个位上的数字是5，有个，则为5的倍数的五位数的个数是，B正确；
对于C，比1325大的四位数可分为三类：第一类，千位上数字比1大的四位数，共个，
第二类，千位上数字是1，百位上的数字是4，5之一的四位数，共个，
第三类，千位上数字是1，百位上的数字是3，十位上的数字是4，5之一的四位数，共个，
则比1325大的四位数的个数是，C正确；
对于D，千位上数字是1的四位数的个数是，千位上数字是2，百位上的数字是0，1之一的四位数的个数是，
于是得第85个数是2301，D错误．
故选：BC
11. 在三棱台中，平面，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 三棱台的体积为D. 直线与所成角的余弦值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用线面垂直性质定理可得A正确，根据棱长与勾股定理并利用线面垂直判定定理可得B正确，再由台体体积公式计算可得C正确，建立空间直角坐标系根据异面直线夹角的向量求法可得D错误.
【详解】对于A，由平面，又平面，所以，
又可得，
又，且平面，
因此平面，平面，
所以，即A正确；
对于B，由可知在四边形中，可知，
又易知，满足，因此；
结合A中，且，且平面，
所以平面，即B正确；
对于C，易知三棱台的上底面面积为，
下底面面积为，高为，
因此三棱台的体积为，即C正确；
对于D，根据平面可知两两垂直，
以所在直线分别为轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由三棱台性质可知，且，
可得，所以；
易知
可知直线与所成角余弦值为，即D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题在求解异面直线所成角的问题时，关键是根据棱台性质建立空间直角坐标系，利用空间向量求解结果.
三．填空题（共3小题，每题5分）
12. 若向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】若与的夹角为钝角，则它们的数量积小于0且两向量不为反向向量，进而列式求解即可.
【详解】若与的夹角为钝角，则它们的数量积小于0且两向量不为反向向量；而，得；
若为反向向量，则，得，解得，所以，
因此实数的取值范围为.
13. 若的二项展开式中常数项为，则常数的值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，再根据常数项为可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】的展开式通项为，
令，得，由题意可得，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用指定项的系数求参数，考查计算能力，属于基础题.
14. 某市为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有___．
【答案】540
【解析】
【分析】本题为不定向分配问题，按照1:1:4的比例、2:2:2的比例、1:2:3的比例，这三种分配方式即可，
【详解】每人只能去一个地方，每地至少派一人，则有三种分配方案：
①按照1:1:4的比例，共种，
②按照2:2:2的比例，共种，
③按照1:2:3的比例，共种，
共540种.
故答案为：540.
四．解答题（共5小题）
15. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3.
（1）求正整数n；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先列出的第5项与第3项的二项式系数，根据二项式系数之比为14：3求 出 的值；
（2）将（1）中求出的值代入原式，根据其展开式的特点，代特值计算.
【详解】解：（1）由第5项与第3项的二项式系数之比为14∶3得
，
，所以，（舍）.
（2）由得，，①
当时，代入①式得；
因为，
所以，令得，，，
所以.
【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数问题及利用赋值法求解项的系数有关问题，难度一般.解答时，注意项的系数与二项式系数的区别、注意利用赋值法求解项的系数和问题.
16. 已知等比数列的前n项和为（b为常数）．
（1）求b的值和数列的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；
【小问1详解】
解：由题设，显然等比数列的公比不为1，
若的首项、公比分别为、，则，
∴且，所以，
故的通项公式为．
当时，；
【小问2详解】
解：令，，解得，所以
数列在中的项的个数为，则，所以，
∵，①
∵②
两式相减得∴．
∴
17. 已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）函数在区间上存在零点，求的值．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据切线确定切点，再由切点在函数图象上求参数值；
（2）对函数求导，研究函数的区间单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间求参数值.
【小问1详解】
因为曲线在处的切线方程为，所以切点为，
所以，得；
【小问2详解】
由（1）得，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，又，
所以在区间上存在一个零点，此时，
因为，，
所以在区间上存在一个零点，此时，
综上，或．
18. 已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线与的斜率的乘积为定值；
（3）求线段长度的最小值
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用直线经过椭圆的左顶点和上顶点，求出的坐标，即可求椭圆的方程；
（2）设可得=，利用点在椭圆上，即可证明为定值；
（3）设直线的方程为，可得的坐标，利用的坐标可以求得，可得直线的方程，从而可得的坐标，求出，利用基本不等式，即可求线段的长度的最小值．
【小问1详解】
易得直线交于轴于交于轴于，
所以椭圆的左顶点为上顶点为，
故椭圆的方程为；
【小问2详解】
设代入椭圆方程得，
由椭圆得右顶点
则；
【小问3详解】
直线的斜率显然存在，且，
故可设直线的方程为，从而，
由得
设则得，从而，
即又，则，
所以直线的方程为，
当时，，所以，
故，又，
当且仅当即时，等号成立，
时，线段的长度取最小值
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）试在线段上一点，使得与所成的角是．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）为线段的中点
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定方法，由线线平行判定线面平行.
（2）法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角.
法二：构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求角即可.
（3）根据空间向量的夹角公式求参数.
【小问1详解】
设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点，
又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE.
【小问2详解】
正方形和矩形所在的平面互相垂直，
平面平面，平面，，
则平面，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
所以，，，
因为，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
因为，
，
所以，所以为平面的一个法向量，
所以，所以与的夹角为．
即所求的二面角的大小为．
法2：在平面中过作于，连接，
，，，
平面，
是在平面上的射影，
由三垂线定理得
是二面角平面角
在中，，，
，，
二面角的大小为；
【小问3详解】
设，（），则，
因为PF与BC所成的角是60°，
所以，
解得或(舍)．
故为线段的中点．