广东省湛江市九年级上学期期末数学模拟卷（解析版）-A4

这是一份广东省湛江市九年级上学期期末数学模拟卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了 下列说法中，正确的是， 如果反比例函数等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别等知识点，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐一分析判断即可得解．
【详解】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意，
故选：．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 要了解某校是否存在新冠无症状感染者，适合采用抽样调查
B. 打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件
C. 两人多次数学测试的平均成绩相等，则方差越大，测试成绩越稳定
D. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查和全面调查的概念，随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，方差的意义，概率的意义分析判断即可．
【详解】解：A. 要了解某校是否存在新冠无症状感染者，适合采用全面调查，本选项不符合题意；
B. 打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件，本选项符合题意；
C. 两人多次数学测试的平均成绩相等，则方差越大，测试成绩越不稳定，本选项不符合题意；
D. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票不一定有1张会中奖，本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的概念，随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，方差的意义，概率的意义，解题的关键是理解上述概念及意义，并结合实际情况理解分析判断．
3. 已知点与点关于原点对称，则点一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】再根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，写出Q点坐标，再判断位置即可．
【详解】解：∵点P（m2+1，-1）与点Q关于原点对称，
∴Q（-m2-1，1），
∵-m2-1＜0，1＞0，
∴点Q一定在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了关于原点对称，掌握关于原点对称，横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是、，下列各组点中，都在以线段为直径的圆上的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，90°圆周角所对的弦与直径的关系，先计算出的长，由直径所对的圆周角为直角可知，若所给点与构成以为斜边的直角三角形，则这些点必在以为直径的圆上，根据勾股定理逐个点计算，分析，即可得答案．
【详解】解：、，
，，，
为圆的直径，
由直径所对的圆周角为直角可知，若所给点与构成以为斜边的直角三角形，
则这些点必在以为直径的圆上，
以下根据勾股定理计算：
选项A：显然符合题意；
，
故不符合要求，A不符合题意；
选项B：，
故点没法与点、点构成以为斜边的直角三角形，B不符合题意；
选项C：，
，故点符合题意；
，．
故不在以为直径的圆上，C不符合题意；
选项D：，
，故点符合题意；
，
，故点符合题意，故选项D符合题意；
故选：D．
5. 关于的一元二次方程的根的情况，说法最恰当的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】先确定a、b、c的值，再根据一元二次方程的根的判别式的值（当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根）进行判断即可．
【详解】解：∵，，，
∴
∴方程有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，是常见考点，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
6. 将抛物线沿y轴对称，得到抛物线，则拋物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据将抛物线沿y轴对称时，前后抛物线的开口方向和大小不变，对称轴互为相反数，与y轴的交点不变，即可得到抛物线的解析式．
【详解】解：将抛物线沿y轴对称时，前后抛物线的开口方向和大小不变，对称轴互为相反数，与y轴的交点不变，
∴将抛物线沿y轴对称，得到抛物线，则拋物线的解析式为，
故选：D．
【点睛】此题考查了抛物线的对称性，抛物线的性质，正确理解将抛物线沿y轴对称时的特征是解题的关键．
7. 如果反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，那么k的值可以是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数（是常数）的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，根据反比例函数图象所在象限，可确定的符号，即可确定的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，
∴，
∴，
∴的值可以是0，
故选：D．
8. 如图，圆上有A，B，C，D四点，其中，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形可得是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，，
∴．
故选：B．
9. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，故A选项正确，不符合题意；
B、∵，，
∴，故B选项正确，不符合题意；
C、∵，，
∴，故C选项正确，不符合题意；
D、当时，无法得到，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
10. 在平面直角坐标系中，已知点和都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴令，则
∴△=＞0
∴
①当a＜0时，
解得：a≤-2
∴
又∵
∴
②当a＞0时，
解得：
又∵
∴
综上所述：或
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11. 如图，一段长管中放置着三根同样绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，把所有可能出现的结果用表格表示出来，即可求解．
【详解】解：所有可能出现的结果用表格表示为：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有3种，
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为：，
故答案为：13．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出所有可能出现的结果．
12. 设实数是一元二次方程两根，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，根据题意，得到，，整体代入代数式进行计算即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
∴，
故答案为：2．
13. 我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为，相当于排开的水．若已知圆锥体体积可近似看成，那么当这些水恰好充满高为的圆锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为__________．（取3）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，圆锥端点体积公式等知识，利用公式求出，可得结论．
【详解】解：，，，
∴，
圆锥展开后的扇形弧长．
故答案为：300．
14. 如图点P为弦AB上一点，连接，过P作，交圆O于点C，若，，则线段的长为_______
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理与相交弦定理．首先交于点D，由，根据垂径定理，即可得，又由相交弦定理，即可得，继而求得的长．
【详解】解：延长交于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为6，
故答案为：6．
15. 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．若直线与这个新图象有个公共点，则的值为______．
【答案】-13或-4##-4或-13
【解析】
【分析】如图所示，过点A作直线y＝x＋m，将直线向下平移到恰好相切位置，根据一次函数y＝x＋m在这两个位置时，两个图象恰好有3个交点，即可求m的值．
【详解】解：如图所示，直线、在图示位置时，直线与新图象有个交点，

，令，则或，则点，
将点的坐标代入即可解得：，
二次函数在轴下方的图象对应的函数表达式为：，
令，
整理得：，
，解得：，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
16. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则的值为________．
【答案】-7
【解析】
【分析】根据整个函数图象的特点可知，每隔个单位长度，函数值就相等，再根据可得时的函数值与时的函数值相等，由此即可得答案．
详解】解：由题意得：每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴时的函数值与时的函数值相等，
即的值等于时的纵坐标，
对于函数，
当时，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正确发现整个函数的图象规律是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】方程移项变形后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：方程变形得：，
分解因式得：，
，
可得或，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18. 如图，在中，，，．点M从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，点N从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．经过几秒，与相似？
【答案】秒或秒
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出两种情况，再求出即可．
【详解】解：设经过秒，与相似，则，，，
，
可分为以下两种情况：
①当时，
，
∴，
解得；
②当时，
，
∴．
解得．
∴经过秒或秒，与相似．
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系
(1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．
(2)以原点O为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1请在网格内画出△A1B1C1，并写出点A1和B1的坐标 ， ．
【答案】（1）（2，8），（6，6）；（2）作图见解析，（﹣8，2），（﹣6，0）
【解析】
【分析】（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；
（2）直接依据旋转中心，旋转方向以及旋转角度，即可得到△A1B1C1．
【详解】（1）如图所示，A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；
故答案为：
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1和B1的坐标分别为（﹣8，2），（﹣6，0）．
故答案为：（﹣8，2），（﹣6，0）．
【点睛】本题考查了旋转变换作图，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点．旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
四．解答题（共4小题）
20. 已知：关于的方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程行两根分别为，，且满足，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键．
（1）根据根的判别式进行计算即可．
（2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：由题意得：，，
，
，
∴
∴
即
∴
解得：
21. 突尼斯软籽石榴，原产于突尼斯，于1986年引入我国，在河南、安徽、山东等地均有栽培．突尼斯软籽石榴粒大籽甜，软籽可食，非常适合儿童、老年人食用，更有助于消食化积，因此受到人们的喜欢．从8月份开始，软籽和硬籽两种石榴开始上市，根据市场调查，软籽石榴售价为20元/千克，硬籽石榴售价为15元/千克
（1）湛江某水果店抓住商机，开始销售这两种石榴．若第一周软籽石榴的销量比硬籽石榴的销量多100千克，要使该水果店第一周销售这两种石榴的总销售额不低于9000元，则第一周至少销售软籽石榴多少千克？
（2）若该水果店第一周按照（1）中软籽和硬籽的最低销量销售这两种石榴，并决定第二周继续销售这两种石榴，第二周软籽石榴售价降低了，销量比第一周增加了，硬籽石榴的售价保持不变，销量比第一周增加了，结果两种石榴第二周的总销售额比第一周增加了，求a的值．
【答案】（1）第一周至少销售软籽石榴300千克
（2）a的值为20
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，解题的关键是找出题中的不等关系或者等量关系列方程．
（1）设第一周销售软籽石榴x千克，销售硬籽石榴千克，根据“该水果店第一周销售这两种石榴的总销售额不低于9000元”列不等式解题即可；
（2）由题可得第二周软籽石榴售价为元，销量为，硬籽石榴销量为，第二周的总销售额为，然后列方程解题即可．
【小问1详解】
解：设第一周销售软籽石榴x千克，则销售硬籽石榴千克，
依题意，得：，
解得：．
答：第一周至少销售软籽石榴300千克．
【小问2详解】
解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍去），．
答：a的值为20．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点P为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数表达式为：
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集．
（1）利用一次函数求出，问题随之得解；
（2）反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可；
（3）设，先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：函数的图象经过，
，解得：，
，
，
反比例函数表达式为：；
【小问2详解】
解：函数的图象经过，
，
，
由图可得，不等式的解集是：或；
【小问3详解】
解：如下图，
设，
在中， 当时，得，
解得：，
，
，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴或．
23. 山西物产丰富，在历史传承与现代科技进步中，特色农林牧业、农产品加工业、传统手工业不断发展革新，富有地域特色和品牌的士特产品愈加丰富.根据市场调查，下面五种特产比较受人们的青睐：山西汾酒、山西老陈醋、晋中平遥牛肉、山西沁州黄小米、运城芮城麻片，某学校老师带领学生在集市上随机调查了部分市民对“我最喜爱的特产”进行投票，将票数进行统计.绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整).

请根据图中的信息解答下列问题.
直接写出参与投票的人数，并补全条形统计图；
若该集市上共有人，请估计该集市喜爱运城芮城麻片的人数；
若要从这五种特产中随机抽取出两种特产，请用画树状图或列表的方法，求正好抽到山西汾酒和晋中平遥牛肉的概率.
【答案】（1）50人，补图见解析；（2）人；（3）.
【解析】
【分析】⑴ 根据两个统计图形对比可以得到A占总数的40%共20人，得出总人数，再根据B的占比求出B的人数，最后总数减去ABCD的人数即可，在图上补全.
⑵ 求出统计中C的占比比率，然后乘以总人数3200即可.
⑶ 画出树状图，共有种等可能的结果，正好抽到山西汾酒和晋中平通牛肉的结果有种，根据概率公式求出即可.
【详解】解： 参与投票的人数为人，
补全的条形统计图如图所示，
（人）
估计该集市人群对运城芮城麻片比较喜爱的人数为人
根据题意画树状图如下
共有种等可能的结果，正好抽到山西汾酒和晋中平通牛肉的结果有种，故其概率为.
【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图及概率，熟练掌握知识是解题的关键.
五．解答题（共2小题）
24. 如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于D，C在⊙O上，PC＝PD.
（1）求证：PC是⊙O的切线.
（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径.
【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】
【分析】（1）连接OC、OD，证明∠OCP＝90°；
（2）可证明∠COP＝2∠CAP＝2∠CPA，从而得∠CPA＝30°，继而求得答案
【详解】（1）连接OC、OD，
在中，
，
所以，
∴∠PDO=∠PCO，
又因为PD是圆的切线，
∴∠PDO=90°，
所以∠OCP＝90°，
∴PC是⊙O的切线．
（2）因为AC＝PC，
所以又因为，
又因为°，所以∠CPA＝30°，所以OP=2OC，因为PB＝1，所以r＝1．
25. 如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．
①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；
②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．
【答案】（1）y＝x²﹣2x﹣3
（2）①t＝4﹣2或4﹣；②t＝或3或2或
【解析】
【分析】（1）由直线BC求出B、C的坐标，再待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①由OB＝OC得出∠OBC＝∠OCB＝45°，所以∠CBP＝15°就可以分别得到∠PBE＝30°或60°，再由tan30°或tan60°求出EP，进而求出DP，又因为P的速度为1，求出t即可；
②设出P的坐标，根据两点距离公式求出AP²、AC²和PC²，分三种情况：∠APC＝90°或∠PCA＝90°或∠PAC＝90°分别讨论，求出P的坐标，进而求出DP，求出t即可．
【小问1详解】
解：令y＝x﹣3＝0，x＝3，
∴B的坐标为（3，0），
令x＝0，y＝0﹣3＝﹣3，
∴C的坐标为（0，﹣3），
将B、C代入y＝x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x²﹣2x﹣3；
【小问2详解】
由（1）知，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
记抛物线对称轴交x轴于E，
∵y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）²﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴EB＝2，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4），
若∠CBP＝15°，则分两种情况，
①如图，当P在直线BC下方时，
此时∠EBP＝60°，
∴tan∠EBP＝＝，
∴EP＝2，
∴DP＝4﹣2，
∴t＝＝4﹣2，
当P在直线BC上方时，
此时∠EBP＝30°，
∴tan∠EBP＝＝，
∴EP＝，
∴DP＝4﹣，
∴t＝＝4﹣，
综上，t＝4﹣2或4﹣；
②设P的坐标为（1，n），
令y＝x²﹣2x﹣3＝0，
x＝3或﹣1，
∴A的坐标为（﹣1，0），
此时PC²＝1+（n+3）²＝n²+6n+10，
PA²＝（1+1）²+n²＝4+n²，
AC²＝1+3²＝10，
当∠PCA＝90°时，PC²+AC²＝AP²，
n²+6n+10+10＝4+n²，
解得：n＝，
∴P的坐标为（1，），DP＝4＝，
∴t＝，
当∠APC＝90°时，AP²+PC²＝AC²，
4+n²+n²+6n+10＝10，
解得：n＝﹣1或﹣2，
∴P的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣2），
DP＝4﹣1＝3或DP＝4﹣2＝2，
∴t＝3或2，
当∠PAC＝90°时，PA²+AC²＝CP²，
n²+4+10＝n²+6n+10，
解得：n＝，
∴P的坐标为（1，），
DP＝4+＝，
∴t＝，
综上，t＝或3或2或．
【点睛】本题时二次函数综合题，考查了待定系数法，角度15°的处理，直角三角形存在性问题，勾股定理，画出图形将15°转化成特殊角30°或60°是关键，直角三角形分三种情况讨论是关键．