广东省珠海市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省珠海市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了 一元二次方程， 下列说法正确的是， 如图，点在等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝x﹣3根是（ ）
A. 0B. 3或﹣1C. 3D. 3或0
【答案】D
【解析】
【分析】先移项得到（x+1）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】∵（x+1）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件
B. “太阳从西方升起”是必然事件
C. “明天会下雨”描述的事件是随机事件
D. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】A. “翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
B. “太阳从西方升起”是不可能事件，故该选项不正确，符合题意；
C. “明天会下雨”描述的事件是随机事件，故该选项正确，不符合题意；
D. 射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
4. 若抛物线经过第一、第二、第三、第四象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的函数解析式可得，图像开口向上，再根据图像经过第一、第二、第三、第四象限，可确定抛物线轴有两个交点，且在轴的两侧，即，由此即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，且抛物线的开口向上，
∵抛物线经过第一、第二、第三、第四象限，
∴抛物线与轴有两个交点，且在轴的两侧，即
∴，且，
∴且，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根与系数的关系，韦达定理，解一元一次不等式的方法等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
5. 如图，是的直径，点C，D在上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，首先根据直径得到，然后求出，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
6. 如图，点在（）的图象上，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交（）的图象于点，连接．若，四边形的面积为7，则，的值正确的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据，得到，进而得到，根据四边形的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∵轴，轴，点在（）的图象上，点在的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
而
∴，
∵四边形的面积等于，
∴，
∴；
故选：D．
7. 手工兴趣小组的同学们将自己制作的书签向本组的其他成员各赠送1个，全组共互赠了30个，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A. x（x+1）＝30B. 2x（x+1）＝30C. x（x﹣1）＝30D. x（x﹣1）＝30×2
【答案】C
【解析】
【分析】先求每名同学赠的书签，再求x名同学赠的书签，而已知全组共互赠了30个，故根据等量关系可得到方程．
【详解】设全组有x名同学，
则每名同学所赠的书签为：（x﹣1）件，
那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，
∴x（x﹣1）＝30．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找到题目中的等量关系，是解题的关键.
8. 如图，是直径，弦于E，连接，．若，，则的长为（ ）
A. 4B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理等知识，先根据垂径定理得出，再由圆周角定理得出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论， 熟知在同圆或等圆中，同孤或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
【详解】解：∵是直径，弦于，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9. 如图，在中，，以斜边为边向外作等腰直角三角形，连接，则的长为（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】过点D作DE⊥CA，交CA的延长线于点E，借助等腰直角三角形的性质，证明△ADE≌△BAC，得到CE和DE的长，再利用勾股定理计算出CD．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥CA，交CA的延长线于点E，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠DAE+∠BAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∴∠DAE=∠CBA，
∵DE⊥AE，
∴∠DEA=90°，
在△ADE和△BAC中，
，
∴△ADE≌△BAC（AAS），
∴BC=AE=7，AC=DE=8，
∴CE=AE+AC=7+8=15，
在△CED中，
CD==17,
故选C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
10. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值，如表格给出了以下结论：
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴的两侧；
④当时，y随x的增大而减小．
则其中正确结论有（ ）
A. ②④B. ③④C. ②③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数性质，抛物线与轴的交点问题，根据题意，利用和时，，可判断抛物线与轴有两个交点，可判断③，利用表中数据得到当当时，，可判断②，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线，可判断①，根据二次函数的性质可判断④，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵和时，，
∴抛物线与x轴有两个交点坐标为，，且它们分别在y轴的两侧，故③符合题意；
∵点与为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线，
由图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴，
∴当时，，
∴时，，故②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴当时，二次函数有最小值，故①不符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故④符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
【答案】24
【解析】
【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.
【详解】12÷=36（个），
36-12=24（个），
答：黄球个数为24个.
故答案是：24.
【点睛】本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.
12. 如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（-3，1），C（1，4），则点A的坐标为________．

【答案】（-3，6）
【解析】
【分析】作于，由和的坐标得出，，，由勾股定理求出，由菱形的性质得出，即可得出点的坐标．
【详解】解：作于，与轴交于点，如图所示，
，，
，，，，
，
四边形是菱形，
，
轴，
点的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
13. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把解析式设为顶点式，即，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，据此可得答案．
【详解】解：设此抛物线解析式为，
∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴，
∴此抛物线解析式为，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，绕所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据题意可得圆锥的底圆半径为，母线长为，然后用公式求解即可，熟记圆锥侧面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得，圆锥的底圆半径，母线长，
∴圆锥侧面积为，
故答案为：．
15. 若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则方程x2﹣2x+c＝0的两根为 _____．
【答案】x1=-1，x2=3## x1=3，x2=-1
【解析】
【分析】将(-1，0)代入y=x2-2x+c即可求出c的值，将c的值代入x2-2x+c=0，再求出方程的两个根即可．
详解】解：将(-1，0)代入y=x2-2x+c得，0=1+2+c，
解得c=-3，
∴x2-2x-3=0，
∴(x+1)(x-3)=0，
∴x1=-1，x2=3．
故答案为：x1=-1，x2=3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线上的点符合函数的解析式，同时要知道一元二次方程的解法．
16. 如图，为的直径，、是的弦，且，，，图中阴影部分的面积为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算，根据平行线的性质将图1中阴影部分1的面积与扇形的面积相等，图1中阴影部分的面积与扇形的面积相等，由图1中阴影部分面积为，圆面积为得到图2，再根据圆周角定理以及勾股定理进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法，勾股定理，圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
即图1中阴影部分①的面积与扇形的面积相等，图1中阴影部分②的面积与扇形的面积相等，
∵图1中，圆的面积为，而图1中阴影部分的面积为，
∴图1中阴影部分的面积占圆面积的一半，
如图2，扇形的面积与图1中阴影部分①的面积相等，扇形的面积与图1中阴影部分②的面积相等，
在图2中，
∵是直径，
∴，
中，，，
∴，
即，
故答案为：．
三．解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分）
17 （1）解方程：．
（2）桌面上有4张卡片，正面分别标有数字2，，4，4．除数字外完全相同，将卡片背面朝上且打乱摆放顺序，随机抽取2张卡片，求抽取两张卡片的数字都为方程的解的概率．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程和列表法和树状图法求概率，解题的关键是掌握列树状图，求出所有等可能的结果数．
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）列树状图，求出所有等可能的结果数，再用概率公式可得答案．
【详解】解：（1），
∴，
∴或，
解得：，；
（2）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽取的2张都为方程的解的有4种，
∴抽取的2张都为方程的解的概率是：．
18. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(单位：)是气体体积V(单位：)的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式．
（2）求当气球的体积是时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米．
【答案】（1）
（2）当气球的体积是时，气球内的气压是120千帕
（3）为了安全起见，气球的体积应不小于立方米
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将，代入解析式即可求解；
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，则当千帕时，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设反比例函数的解析式，根据图象得在该函数图象上，
，
解得：，
反比例函数的解析式；
【小问2详解】
把代入，
得（千帕），
∴当气球的体积是时，气球内的气压是120千帕；
【小问3详解】
由题意知，，
解得，
∴为了安全起见，气球的体积应不小于立方米．
故答案为：．
19. 如图，是的弦，过点O作，交于点P，．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，点Q是上一点．
①求的度数；
②若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，再根据，继而得出，问题得证；
（2）①根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；②根据弧长公式进行计算即可得．
【小问1详解】
证明：如解图，连接，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：①∵，
∴．
∴．
∴；
②∵，
∴，
∴弧的度数，
∵m在弧上，
∴的长为：．
四．解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分）
20. 如图，是等腰直角三角形，，，为边上一点，连接，将绕点旋转到的位置．
（1）若，求的度数；
（2）连接，求长的最小值．
【答案】（1）；
（2）长的最小值．
【解析】
【分析】（）首先根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据三角形内角和定理得到，最后根据旋转性质和全等三角形的性质求解即可；
（）由旋转的性质得到，，当时，的值最小，即的值最小，根据等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理即可；
此题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质，垂线段最短和勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【小问1详解】
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
由旋转性质可知：，
∴；
【小问2详解】
由绕点旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
即长的最小值．
21. 阅读材料，完成下列各题：
对于不与轴、轴平行或重合直线，其中叫做直线的斜率．若在直线上有不重合的两点，则斜率的计算公式为，此公式叫做斜率公式．
（1）新知运用：已知点和点，求过两点的直线的斜率；
（2）拓展迁移：若直线上有不重合四点，，，．
①求出的值；
②比较与的大小．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，正确理解斜率公式是解题关键．
（1）直接利用斜率公式计算即可得；
（2）①根据点、，利用斜率公式可得；②根据一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵点和点，
∴过两点的直线的斜率为：
．
【小问2详解】
解：①∵、在直线上，
∴．
②∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，为直线y=kx+bk≠0上不重合的两点，，
∴．
22. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本 元，试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
（1）若日销售量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，求y与x之间的函数关系式．
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元）；
①求w与x之间的函数关系式；
②要使这种土特产每日销售利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【答案】（1）；
（2）①；②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为元，每日销售的最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可；
（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．
【小问1详解】
解：依题意，根据表格的数据，
设日销售量袋与销售价元的函数关系式为得
，解得，
故日销售量袋与销售价元的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：①依题意，设利润为元，得
，
且解得，
∴；
；
∴当时，取得最大值，最大值为
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为元，每日销售的最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润等于一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
五．解答题（三）（共2小题，每题12分，共24分）
23. 如图1，在等腰中，，，点D，E分别在，上，，连结，，取中点F，连结．
（1）求证：，；
（2）将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：______；
②求证：
【答案】（1）证明见解析；
（2）①，理由见解析；②证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
（1）证明得出，再根据直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半得出 ，再利用等角转化即可求证；
（2）①延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点，利用倍长中线证，再证，得到，再证明是中位线，得到，进一步得到，即可得出答案；
②利用倍长中线证，再证，即可得证．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
∴，
∴，，
∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
①解：，理由如下：
延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点，如图：
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是中点，是中点，
∴是中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②证明：延长到点，使，连结，如图：
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
24. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）6；（3）
【解析】
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，然后解方程组求出b、c的值即可；
（2）根据抛物线解析式求得点C的坐标，易得线段OC，AB的长度，所以由三角形面积公式解答即可；
（3）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3．
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，即△ABC的面积是6；
（3）设BC的解析式为y＝kx+t，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得 ,
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
∴PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝．
【点睛】此题考查待定系数法确定函数关系式，图象与坐标轴交点的坐标，函数最大值的求法，（3）是此题的难点，根据垂直x轴得到P、M两点的横坐标相等，故两点间的距离是两点纵坐标的差，由此得到解题的思路.
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
0
5
…
x（元）

…
y（袋）
…