广东省佛山市顺德区广东顺德德胜学校八年级下学期4月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省佛山市顺德区广东顺德德胜学校八年级下学期4月期中考试数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上实心点，空心点及方向的表示规则是解题的关键；根据数轴上表示不等式的解集的方法逐项判断即可．
【详解】解：在数轴上表示不等式的解集为： ，
故选：．
3. 如果，那么下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，选项错误，不符合题意；
B、∵，
∴，选项错误，不符合题意；
C、∵，
∴，选项错误，不符合题意；
D、∵，
∴，选项正确，符合题意；
故选D
4. 平面直角坐标系中，点 A(－1，2)关于原点的对称点是（ ）
A. (1，2)B. (1，－2)C. (－1，－2)D. (－1，2)
【答案】B
【解析】
【分析】坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数.
【详解】根据中心对称的性质,得点(－1，2)关于原点的对称点的坐标为(1，-2).
所以B选项是正确的.
【点睛】这一类题目是需要识记的基础题,解决的关键是结合平面直角坐标系和中心对称的性质对知识点的正确记忆.
5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意；
B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意；
C、，则C不符合题意；
D、符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
6. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（ ）
A. 3B. 4C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
根据题意可得，由作图可得平分，由此可得，由此即可求解．
【详解】解：在中，，过点作于点，如图，
∵，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∴点到的距离为4，
故选：B．
7. 用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（ ）
A. B. a与b不平行C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交，
故选：B
8. 如图，函数图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，
先将代入关系式求出x，从交点向左一次函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出不等式的解集．
【详解】解：当时，，
解得．
当时，两个函数值相等，
∴当时，．
故选：B．
9. 如图，在中，，，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案．
【详解】解：过点作，垂足为，如图
根据题意可知，，
，
，
在，，，
，
，
在，，
，
，
．
故选：D．
10. 如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、轴对称最短问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关的性质与判定、正确作出辅助线是解题的关键．
先证推出，说明点F一定在一条直线上运动，作点D关于的对称点G，连接，根据轴对称可知 ,则，当最小时，最小，根据当G、F、B在同一直线上时最小，得出的最小值为线段的长，再根据勾股定理求解即可即可．
【详解】解：∵是等边三角形，，
，，
∵是等边三角形，
，，
，
在和中，，
∴
∴，
∴的值为定值，点F一定在一条直线上运动，
作点D关于的对称点G，连接，
根据轴对称可知，，
∴，
∴当最小时，最小，
∵当G、F、B在同一直线上时，最小，
∴的最小值为线段的长，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
，，
，
，
,
∴的最小值为，故C正确.
故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．利用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．
所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．”
故答案为：同位角相等，两直线平行．
13. 如图，将沿方向平移得到，若四边形的周长为，则的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平移的性质；由题意得到，再得出周长，即可求出．
【详解】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵四边形的周长为，
∴
∴．
故答案为：．
14. 已知等腰一个内角是，则它的底角度数为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解．
【详解】解：当等腰顶角是，则它的底角的度数为：，
当等腰的底角为，则它的底角度数为，
综上所述：它的底角的度数为或，
故答案为：或．
15. 如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由旋转可证是等边三角形，进而判定，得到，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转可知，，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
16. 在如图所示的钢架结构中，，为加固钢架，在的内部焊上等长的钢条，……，若且恰好用了4根钢条，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查等边对等角及三角形外角的性质，不等式的应用，理解题意是解题关键．
根据等边对等角得出，，，，再由三角形外角的定义得出，，，结合题意得出不等式组即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，，
为的外角，为的外角，为的外角，
∴，，，
∵要使得这样的钢条只能焊上4根，
∴，
∴且，
∴，
故答案为：．
三、解答题（第17，18题，每题6分，第19题8分，第20，21，每题10分，第22题，12分，第23题，14分，共66分）
17. 解不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的求解及在数轴上表示解集，解题的关键是依据不等式的基本性质逐步化简不等式．
按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1步㡠求解不等式，再将解集在数轴上表示．
【详解】解：
去分母得：，
移项：，
合并：，
解得：；
在数轴上表示出来：
18. 劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到．
（1）请判断小路是否与垂直，并说明理由；
（2）求劳动场地的面积．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判定即可；
（2）利用勾股定理先求解，再进一步计算即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，，，
，，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∴劳动场地的面积为．
19. 如图，在中，，平分，且，
（1）过作垂足为，求证：
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解；
（2）2
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质．
（1）根据等腰三角形的性质直接得到结论；
（2）先求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案
【小问1详解】
证明：∵，，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
20. 如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上．
（1）将向左平移4格，画出平移后的对应；
（2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的；
（3）第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可．
（3）首先勾股定理求出，然后得到旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆，进而求解即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
【小问3详解】
根据题意得，
∵绕点顺时针旋转得到
∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆
∴旋转过程中边“扫过”的面积为．
21. 对于三个数，用表示这三个数中最大数，例如：，
解决问题：
（1）如果，则的值为___________；
（2）如果，求的取值范围
（3）如图，在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象：和请观察这三个函数的图象，
①在图中画出对应的图象（加粗）；
②求的最小值．
【答案】（1）或
（2）
（3）①见解析②的最小值为
【解析】
【分析】此题考查的是新定义，一次函数的图象和性质，理解新定义是解题关键．
（1）分情况讨论：，，分别解方程，然后进行验证即可；
（2）根据新定义列不等式组求解即可；
（3）①三个一次函数图象中，处在上方的直线就是对应的图象；
②由图象可以知，的最小值为直线与的交点纵坐标，联立求交点即可得解．
【小问1详解】
解：，
，解得，验证得，成立，
，解得，验证得，成立，
故答案为：或；
【小问2详解】
解：，
解①得：，
解②得：
故不等式组的解为：；
【小问3详解】
解：①如图所示：
②由图象可以知，的最小值为直线与的交点纵坐标，
联立，解得：，
的最小值为．
22. 某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）甲类拼图每盒进价是15元，乙类拼图每盒进价是10元
（2）当甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元
【解析】
【分析】（1）设甲类拼图每盒进价是元，乙类拼图每盒进价是元，根据题意列方程 即可；
（2）设购进甲类拼图盒，则购进乙类拼图盒，根据题意列出不等式，求得的取值范围，设总利润为元，根据利润（售价进价）数量，得到关于的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设甲类拼图每盒进价是元，乙类拼图每盒进价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲类拼图每盒进价15元，乙类拼图每盒进价是10元；
【小问2详解】
解：设购进甲类拼图盒，则购进乙类拼图盒，
根据题意得：，
解得：．
设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：当甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元．
【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的性质，解题的关键是理解题意，正确列出关系式．
23. 在中，，，点D在射线上，点E在射线上，，设．
（1）当时，求的度数；
（2）如图1，当D在线段上时，求证：；
（3）若，将点A绕着点E顺时针旋转得到，直线与直线相交于点F，当为直角三角形时，请求出CD的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）先根据等腰三角形求出，再利用三角形内角和求解即可；
（2）要证，需将线段进行转化，过E作于点H，交于点H，连接并延长交延长线于点M，导角易得，，进而可证出，所以，，即可得证；
（3）分类讨论，当D在线段上或延长线上时，画出符合题意的图形，易证，通过推导角可得出特殊角，再利用特殊角建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，过E作于点H，交于点H，连接并延长交延长线于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：①当点D在上时，
∵点A绕着点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
过E作于点H，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴；
②当在延长线上时，
同理可得，
∴，
当时，，
设，则，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、含的直角三角形的性质等内容，最后一问画出符合题意的图形是解题的关键．