广东省佛山市三水区 十三校联考八年级下学期4月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省佛山市三水区 十三校联考八年级下学期4月期中数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. △ABC中，AB＝AC，顶角是100°，则一个底角等于（ ）
A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°
【答案】A
【解析】
【详解】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解．
【分析】解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，
∴一个底角等于（180°﹣100°）÷2＝40°．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2. 下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：3＞0；4x+3y＞0；x+2≤3是不等式．
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
3. 数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ）
A. 国旗上升的过程B. 在笔直的公路上行驶的汽车
C. 工作中的风力发电机叶片D. 传输带运输的东西
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意；
B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意；
C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意；
D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意．
故选：C．
4. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A. 9B. 12C. 9或12D. 以上都不是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰为5时，周长；
当腰长为2时，，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．
故选：B．
5. 一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）

A. x＞1B. x≥1C. x＞3D. x≥3
【答案】C
【解析】
【详解】解：由图可知，该不等式组的解集是x＞3
故选：C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．
6. 平面直角坐标系中，把点向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度到达点处，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】让P1的横坐标加3，纵坐标减5即可得到所求点的坐标．
【详解】解：∵点P1（-2，3）向右平移3个单位长度再向下平移5个单位长度到达点P2处，
∴P2的横坐标为-2+3=1，纵坐标为3-5=-2，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标平移的性质；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加．
7. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中，错误的（ ）
A. EC＝CFB. ∠A＝∠DC. ACDFD. ∠DEF＝90°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向，据此即可求解．
【详解】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，
∴，，，
∴
∴B，C，D选项正确，不能得出，故A选项不正确，符合题意
故选A．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的判定，掌握平移的性质是解题的关键．
8. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等
C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D. 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
【答案】BCD
【解析】
【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SSS、AAS、ASA、HL四种，对每个选项依次判定解答．
【详解】解：A、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA，不能判定全等；故本项错误；
B、斜边及一锐角对应相等，构成了AAS，能判定全等；故本项正确；
C、两条直角边对应相等，构成了SAS，能判定全等；故本项正确；
D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等，可得另一直角边也相等，构成了SAS，能判定全等；故本项正确；
故选BCD．
【点睛】本题主要考查两个直角三角形全等的判定，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定.
9. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（ ）
A. 直角三角形中两个锐角都大于45°
B. 直角三角形中两个锐角都不大于45°
C. 直角三角形中有一个锐角大于45°
D. 直角三角形中有一个锐角不大于45°
【答案】A
【解析】
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10. 如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E，若AB=3，则△AEC的面积为（ ）
A. 3B. 1.5C. 2D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，
则DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD=AB·tan30°=×3=，
根据勾股定理得：，
解得：x=2，
∴EC=2，
则S△AEC=EC•AD=．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据三边相等得出等边三角形的周长，即可作答．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，
∴，
∴等边三角形的周长为，
故答案为：9
12. 用不等式表示：的2倍与的3倍的差是负数______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列不等式，根据的2倍与的3倍的差是负数，得，即可作答．
【详解】解：∵的2倍与的3倍的差是负数，
∴，
故答案为：
13. 在平面直角坐标系内，将点向右平移2个单位长度得到的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了平移确定点的坐标，根据横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减进行作答即可．
【详解】解：依题意，在平面直角坐标系内，将点向右平移2个单位长度得到的点的坐标是，
故答案为：．
14. 三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴三角形为直角三角形，
设斜边上的高为h，
∵三角形的面积，
∴．
故答案为：．
15. 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝3，则PE+PF＝__________．
【答案】3
【解析】
【分析】连接AP，则S△ABC=S△ACP+S△ABP，依据S△ACP=AC×PF，S△ABP=AB×PE，代入计算即可得到PE+PF=3．
【详解】解：如图所示，连接AP，
则S△ABC=S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACP=AC×PF，S△ABP=AB×PE，
又∵S△ABC=3，AB=AC=2，
∴3=AC×PF+AB×PE，
即3=×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算．
三、解答题（16-18题每题8分，19-21每题9分，22-23每题12分）
16. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，见详解
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，先算出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：∵，
∴由得；
∴由得；
∴不等式的解集为，
在数轴上表示出来，如图所示：
17. 如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）利用全等三角形的判定方法证明，即可得证；
（2）利用勾股定理求出的长，利用全等三角形的性质得到，得出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的周长公式即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
在和中，
，
，
．
【小问2详解】
解：，，，
，
，
由（1）得，，
，
，
，
，，
，
的周长．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：
（1）画出关于原点对称的图形．
（2）画出向左平移3个单位长度后的
（3）的面积为
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图以及画关于原点对称的图形，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据关于原点对称的点的性质，分别找出点，然后依次连接，得出，即可作答．
（2）根据平移性质，分别找出点，然后依次连接，得出，即可作答．
（3）运用割补法进行求面积，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示：
小问3详解】
解：的面积．
故答案为：．
19. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由题设可知△ABC，△ABD是等腰三角形，证明AD∥BC，再由基本图形“平行线+等腰三角形→角平分线”求证.
（2）可条件可证∠BAC=90°，又因为BD平分∠ABC，故联想过点O作OE⊥BC，得等腰直角△ECO，由角平分线的性质定理得OE=OA，即可求解.
【详解】解：（1）因为AB=AC，AB=AD，
所以∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB.
因为∠DAC=∠ABC，
所以∠DAC=∠ACB，
所以AD∥BC，
所以∠ADB=∠CBD，
所以∠ABD=∠CBD，
所以BD平分∠ABC.
（2）过点O作OE⊥BC于点E.
因为∠DAC=45°，
所以∠ABC=∠ACB=45°，
所以∠BAC=90°.
因为BD平分∠ABC，
所以OA=OE.
在Rt△OCE中，OE=CE=OA=1，
所以OC=.
20. 如图，直角中，，将沿AB方向平移至，cm，cm．
（1）AC和DF的数量关系为______，位置关系为______；
（2）______°；
（3）求沿AB方向平移距离；
（4）若cm，求四边形AEFC的周长．
【答案】（1）AC＝DF，ACDF；
（2）90； （3）3cm；
（4）18cm
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质得出AC＝DF，ACDF即可；
（2）根据平移的性质和平行线的性质解答即可；
（3）根据平移的性质可得AD＝BE，然后根据AE＝8cm，DB＝2cm求出AD＝BE的值即可；
（4）根据勾股定理求出BC，可得EF的长，然后根据平移的性质得到CF＝AD＝3cm，再根据四边形周长的计算方法解答即可．
【小问1详解】
解：∵△ABC沿AB方向平移至△DEF，
∴AC＝DF，ACDF，
故答案为：AC＝DF，ACDF；
【小问2详解】
由平移的性质得出ACDF，
∴∠ACB＝∠DGB＝90°，
∴∠BGF＝180°−90°＝90°，
故答案为：90；
【小问3详解】
由平移得AD＝BE，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝＝3cm，
∴平移的距离为3cm；
【小问4详解】
∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，AB＝AD＋DB＝3＋2＝5cm，
∴BC＝cm，
∴EF＝BC＝3cm，
又∵CF＝AD＝3cm，
∴四边形AEFC的周长＝AC＋AE＋EF＋CF＝4＋8＋3＋3＝18cm，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的性质和平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
21. 我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算、求一元一次不等式的解集，理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义得到，再解不等式即可；
（2）根据新定义得到，求出不等式的解集为，再根据解集与（1）中的不等式解集相同，即可求出的值．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，
，
解得：，
不等式的解集为．
【小问2详解】
解：由题意得，，
，
，
解得：，
关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，
，
解得：，
的值为．
22. 接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗
（2）共有三种运输方案，方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆；其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）根据2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，可以列出相应的不等式组，然后根据车辆数为整数和租用A型车越少，费用越低，即可得到相应的运输方案和所需费用最少的方案，进而计算出最少费用即可．
【小问1详解】
解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得，，
解得，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
【小问2详解】
设A型车a辆，则B型车辆，
由题意可得，，
解得，
∵a正整数，
∴，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为：（元），
答：共有三种运输方案，方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆；其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
23. 如图，等腰直角中，，点P在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到．
（1）求的度数；
（2）当时，求大小；
（3）当点P在线段上运动时（P不与A重合），请写出一个反映之间关系的等式，并加以证明．
【答案】（1）
（2）2
（3）．理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质即可求出答案；
（2）当时，求出，由得到，，得到，由勾股定理即可得到答案；
（3）由是等腰直角三角形得到，由勾股定理得到，即可证明结论．
【小问1详解】
解：∵将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到．
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，是直角三角形；
【小问2详解】
解：由（1）知是直角三角形，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：存在，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，