广东省佛山市顺德区京师励耘学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市顺德区京师励耘学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在各题的四个选项中，只有一项最符合题意要求）
1. 已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（ ）
A. -3a＞﹣3bB. C. 3﹣a＜3﹣bD. a﹣3＜b﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】∵a＞b，
A、-3ab﹣3，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的解集，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此可得答案．
【详解】解：不等式的解集在数轴上表示正确的是
，
故选：D．
3. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）
A. 有两个角是直角B. 有两个角是钝角
C. 有两个角是锐角D. 一个角是钝角，一个角是直角
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断．
解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A．
点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2012﹣2013赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（ ）
A. 2x+（32﹣x）≥48B. 2x﹣（32﹣x）≥48
C. 2x+（32﹣x）≤48D. 2x≥48
【答案】A
【解析】
【详解】这个队在将要举行的比赛中胜x场，则要输（32﹣x）场，胜场得分2x分，输场得分（32﹣x）分，根据胜场得分+输场得分≥48可得不等式．
解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，则要输（32﹣x）场，
由题意得：2x+（32﹣x）≥48，
故选A．
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D.CD＝3，则BC的长为（ ）
A. 6B. 9C. 6D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD,可得∠DAE=,易得∠ADC=, ∠CAD=,则AD为∠BAC的角平分线,由角平分线的性质得DE=CD=3,再根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE,得结果.
【详解】解:DE是AB的垂直平分线,AD=BD,
∠DAE=∠B=,
∠ADC=,
∠CAD=,
AD为∠BAC的角平分线,. ∠C=,DE⊥AB,
DE=CD=3,
∠B=,
BD=2DE=6,
BC=9,
所以B选项是正确的.
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键.
6. 若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ）
A. m＞1B. m≤﹣1C. m＜1D. m≥1
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知不等式的解集，利用不等式的基本性质求出m的范围即可．
【详解】解：∵（m-1）x＞m-1的解集为x＜1，
∴m-1＜0，
解得：m＜1，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
7. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD，问题得解.
【详解】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
8. 如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A. 三条中线的交点处B. 三条角平分线的交点处
C. 三条高线的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
9. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，然后观察函数图象得到在点的左边，直线都在直线的下方，据此求解．
【详解】解：直线与直线相交于点，
，
解得：，
观察图象可知：关于的不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
10. 若不等式组无解，求的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分．
【详解】由题意，得,
解得．
∴不等式组无解时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】
【分析】本题主要考查命题与定理，对顶角的定义，先根据原命题的题设得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，
此逆命题为假命题．
故答案为：假．
12. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为_______．
【答案】##40度
【解析】
【分析】由于等腰三角形的一个内角为，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当这个角是顶角时，底角；
②当这个角底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件．
13. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，若，已知的周长为，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
由垂直平分，可得，由题意知，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵的周长为，，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，D为上一点，交于点F，且，连接，，求______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可得，继而得，再利用等腰三角形性质得，继而得到本题答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图所示，的面积为，平分，过点A作于P，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，注意：等底等高的三角形的面积相等；延长交于E，先证明，根据全等三角形的性质得到，得出，，进而推出，即可得出答案．
【详解】解：延长交于E，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，第16-18题各8分，其中16题（1）4分、（2）4分；第19、20题各10分；第21题12分；第22题14分，共计70分）
16. 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）
（2）
【答案】（1），数轴表示见解析
（2），数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组或不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键。
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
【小问2详解】
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为；，
数轴表示如下所示：
17. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40°
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法．
18. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
（1）求证：；
（2）连接，请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到为中点，再结合得，又，即可得解．
【小问1详解】
解：连接，如图所示：
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
在中，，
；
【小问2详解】
解：是等边三角形，理由如下：
连接，如图所示：
是的垂直平分线，
为中点，
，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
19. 某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？
【答案】（1）型号衣服每件90元，型号衣服每件100元
（2）有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键；
（1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据等量关系：A种型号衣服9件进价B种型号衣服10件进价，A种型号衣服12件进价B种型号衣服8件进价建立方程组求解即可；
（2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元，
由题意得
解得
答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元；
【小问2详解】
解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，
由题意得
解得，
为正整数，
或，当时，，当时，．
∴有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件.
20. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明．
（2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设，则，
∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，即，
解得，即．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键．
21. 已知一次函数，．
（1）若求x的取值范围；
（2）若关于x的一元一次不等式组的解集为，求的值；
（3）若，对于任意的，都有，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据不等式组的解集求参数等等，正确根据题意建立不等式和不等式组是解题的关键：
（1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案；
（2）根据题意可得不等式组13−2x+3−2b3②，分别求出不等式组中两个不等式解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值即可得到答案；
（3）求出不等式的解集，再根据对于任意的，都有进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，且，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵13y1−2b3，
∴13−2x+3−2b3②，
解不等式①得：x>−6b+32，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组13y1−2b3的解集为，
∴，
∴
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴当时，有，
∴，
∵对于任意，都有，
∴，
∴．
22. 如图，P为等边外一点，垂直平分于点H，的平分线交于点D．
（1）①直接写出与的位置关系为______．
②与的数量关系为______，并写出证明过程．
（2）求证：；
（3）若等边边长为，连接，当为等边三角形时，请直接写出的长度．
【答案】（1）①；②，证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定和勾股定理等等，熟知等边三星级的性质与判定方法是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质可证明，再由三线合一定理即可得到结论；②根据（1）①所证结合线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）在上取一点Q使得，连接，可证明，得到，再导角证明，进而证明是等边三角形，得到，据此可证明；
（3）设，则，，，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：①∵为等边三角形，
∴，
∵垂直平分于点H，
∴，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴垂直平分，
∴；
②，证明如下：
∵垂直平分，
∴；
【小问2详解】
证明：如图所示，在上取一点Q使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，连接，
∵为等边三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴．