广东省梅州市五校联考2024—2025学年上学期10月月考九年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省梅州市五校联考2024—2025学年上学期10月月考九年级数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A. 当，是矩形B. 当，是矩形
C. 当，是菱形D. 当，是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断
【详解】四边形是平行四边形，
当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 9，，8B. 9，8，C. 9，，D. 9，，
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为．根据一元二次方程的一般形式进行解答即可．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，，．
故选：C．
3. 如图,在矩形ABCD中,AD=10,AB=6,E为BC上一点,DE平分∠AEC,则CE的长为( )

A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质证明∠ADE=∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
又∵∠DEC=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=10，
在直角△ABE中，BE=，
∴CE=BC﹣BE=AD﹣BE=10﹣8=2．
故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质和角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.
4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此结合二次项系数不为0得到，，据此求解即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，
解得，
的取值范围为且
当且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
5. 根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25D. 3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
6. 如图，在矩形中，，在边上适当选定一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上一点处，且的面积是，则的长为（ ）
A B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．根据三角形面积公式可以求出，，设，在中利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：四边形矩形，
，，，
，
，
，
是由翻折
，，
在中，，设，
，
，
，
．
故选：B
7. 如图，以矩形的顶点A为圆心，长为半径画弧交的延长线于E；过点D作交于点F，连接．，则的长是（ ）

A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质得，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
由作图得，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D. 32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可.
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键.
9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可．
【详解】解：在正方形中，，，
将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示：
则，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若，是方程的两根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，再由进行代值求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在直角三角形中，，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边以的速度运动，点从点出发，沿边以的速度运动，点和点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，当点和出发______时，四边形成为矩形．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和解一元一次方程，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．根据矩形的性质得出，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：由题意得：，
四边形是矩形，，
，
要使四边形是矩形，必须，即，
解得；，
当点和出发时，四边形成为矩形．
故答案为：4．
14. 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动__________m.
【答案】
【解析】
【详解】由题意可知，AB=10m，AC=8m，AD=1m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= =6；
当B划到E时，DE=AB=10m，CD=AC-AD=8-1=7m；
在Rt△CDE中，CE= = ，
BE=CE-BC=-6．
即梯子的顶端下滑1米后，底端将水平滑动（-6）米．
15. 如图，在菱形中，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，作于点H，由菱形的性质得，则，由，求得，再证明四边形是矩形，则，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，连接，作于点H，
∵四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
解得，
∵于点F，于点G，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值．
【答案】．
【解析】
【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，根据勾股定理求出BD，求出AO、DO、根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝ ＝10，
∴AO＝OD＝5，
∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，
∴×AO×PE+×DO×PF＝12，
∴5PE+5PF＝24，
∴PE+PF＝.
故答案为.
【点睛】本题考查三角形面积，矩形的性质，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，等底等高的三角形面积相等．
17. 解下列一元二次方程：
（1）；（配方法）
（2）；（公式法）
（3）；（因式分解法）
（4）．（方法自选）
【答案】（1），
（2），
（3）
（4），；
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题得关键．
（1）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）找出，，的值，代入求根公式计算即可；
（3）右边提取公因式，再移项，然后提公因式分解即可得；
（4）先在方程两边同除以2，再配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
，
，
，
，
，
解得：，；
【小问2详解】
，
，，，
，
，
，；
【小问3详解】
，
，
，
，
解得；
【小问4详解】
，
，
，
，
，
解得：，
18. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，从而可得，然后根据菱形的判定即可得证．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，，
，
在中，，
，
是直角三角形，且，
，
四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题关键．
19. 已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）若的长为5，求的值；
（2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
【答案】（1）
（2），平行四边形是菱形，菱形的边长是4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）将代入原方程可求出的值；
（2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长．
【小问1详解】
解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5，
∴把代入，得
解得：；
小问2详解】
解：平行四边形是菱形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
此时方程为，
，
，即菱形的边长为4；
答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
20. 如图，在中，，延长至，使得，过点分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：

（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接，交于点，试判断与有怎样的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2），，见解析
【解析】
【分析】（1）小星：连接，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据垂直的性质可得四边形是矩形，由此即可求证；小红：连接，，可证四边形是平行四边形，再证四边形是平行四边形，根据垂直的性质可得四边形是矩形，由此即可求解；
（2）由（1）的证明可知四边形是矩形，如图所示，连接，交于点，根据矩形的性质可得点是的中点，由此可得是的中位线，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：小星：连接，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，∴；
小红：连接，，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形矩形，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，．理由如下：
如图所示，连接，交于点，

∵四边形是矩形，
∴，即点是的中点，
∵，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围
（2）若满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解一元二次方程；
（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
22. 阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）
∵
∴
∴代数式的最小值为；
（2）
∵
∴
∴代数式的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最小值为______；
（2）已知；，请比较与的大小，并说明理由；
【拓展提高】
（3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方、完全平方公式的几何背景等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由，又对于任意的都有，故．，进而可以判断得解；
（2）依据题意，作差，又对于任意的都有，进而可以判断得解；
（3）依据题意，设，长方形的面积为，从而，进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，，
又对于任意的都有，
．
代数式的最小值为．
故答案为：．
（2），理由如下：
，
又对于任意都有，
．
．
（3）由题意，设，长方形的面积为，
．
当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为．
答：当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为．
23. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．

（1）求证：；
（2）如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②若正方形的边长为，，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题；
（2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明；
②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：①如图，过点E作于，于，

正方形中，，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
②正方形和正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在中，．
，
，
如图，连接，

，
是等腰直角三角形，
．
正方形的边长为．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09

小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．