广东省汕头市潮阳区六校2024-2025学年九年级上学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省汕头市潮阳区六校2024-2025学年九年级上学期期末联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．，是一元二次方程；
B．不是方程；
C．，未知数x的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程；
D．不是整式方程，所以不是一元二次方程．
故选：A．
2. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 平行四边形D. 正方形
【答案】D
【解析】A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；
B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；
D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确，符合题意．
故选D．
3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7，
故选A．
4. 已知抛物线的顶点在第四象限，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴，，
∴，，
故选：D．
5. 如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】∵反比例函数，
∴函数图像在二、四象限，并且在每个象限内y随x的增大而增大，
，
A、B两点在第四象限，C在第二象限，
，，
，
故选：C．
6. 将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ）
A. y=2(x+1)2+1B. y=2(x+1)2+3
C. y=2(x-3)2+1D. y=-2(x-3)2+3
【答案】A
【解析】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2-4x+4配方成的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得以新的抛物线的表达式是y=2(x+1)2+1，
故选：A．
7. 边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（）cm．
A. B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】如图所示：
△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，
∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，
∵CD=CE，BE=BF，AF=AD，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，
∴四边形ODCE是正方形，即CD=CE=R，
∴AC﹣CD=AB﹣BF，即6﹣R=10﹣BF①，
BC﹣CE=AB﹣AF，即8﹣R=BF②，
①②联立得，R=2cm．
故选B．
8. 已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ）
A. 48B. 24
C. 24或D. 48或
【答案】B
【解析】，，
解得，，，
如图，，，则，
∴，∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故选：B．
9. 若一个圆锥的底面积为，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵圆锥的底面积为4πcm2，
∴圆锥的底面半径为2cm，
∴底面周长为4π，
圆锥的高为4cm，
∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm，
设侧面展开图的圆心角是n°，
根据题意得：=4π，
解得：n=120．
故选：C．
10. 某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( )
A. 5000元B. 8000元
C. 9000元D. 10000元
【答案】C
【解析】设单价定x，总利润为W，
则可得销量为：500-10（x-100），单件利润为：（x-90），
由题意得，W=（x-90）[500-10（x-100）]=-10x2+2400x-135000=-10（x-120）2+9000，
故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，
故选C．
二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．
11. 点关于原点的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．
12. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______．
【答案】
【解析】∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则时，x的取值范围________．
【答案】或
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（-4，0），
对称轴为x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜-4或x＞2．
故答案为：x＜-4或x＞2．
14. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为_____度．
【答案】55．
【解析】连接BC
∵AB是⊙O的直径.
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝35°，
∴∠CBA＝55°，
∵∠ADC＝∠CBA，
∴∠ADC＝55°．
故答案为55．
15. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则______．
【答案】
【解析】设点的坐标为，
∵…，
∴点，，，，…，，
∴，，，，，…，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分．
16. 已知关于x的方程．若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．
解：将代入方程得，，
解得，
将代入方程得，即，
解得，，方程的另一个根为.
17. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本，请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？
解：把论语孟子大学中庸分别记 为、、、，画树状图如下：
共有种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是论语和大学的结果有种，即、，所以抽取的两本恰好是论语和大学的概率是．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，点A坐标为（2，4），解答下列问题．
（1）画出△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）若△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，直接写出点A2的坐标．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（−2，−4）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（−4，2）．
四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分．
19. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
解：（1）∵关于x的方程总有两个实数根，
∴ ，
解得：．
（2）∵为方程的两个根，
∴．
∵，
∴，
∴，
整理，得：，即，
解得：（不合题意，舍去），，
∴m的值为1．
20. 已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：△BAP≌△CAQ．
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，，
∴△BAP≌△CAQ（SAS）；
（2）解：∵由（1）得△APQ等边三角形，
∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，
∵PB＝QC，
∴QC＝4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC＝＝＝5．
21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线
（2）若，，则的长
（1）证明：连接，如图，
为直径，
，即，
又，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
解得：．
五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22. 如图，E是正方形边上不与B，C重合的一动点，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于G，交于H，连接．
【知识技能】（1）写出和的数量关系，并证明你的结论：
【数学理解】（2）①若．求面积的最大值．
②若，，则正方形边长为______．
【拓展探索】（3）求证：．
解：（1），
由旋转得：
如图1，将绕点顺时针旋转得到，
则，，，
，
，
，，，
∴L、B、E三点在同一条直线上，∴，
在和中，，
∴，∴，
∴．
（2）解：①如图1，作交的延长线于点，则，
，
在和中，，
∴，
，
，
设，
，
，
，
，
当时，，
∴面积的最大值是．
②如图1，设正方形的边长为，则，
，，
，，，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
正方形的边长为，
故答案为：．
（3）证明：如图2，作交于点，作交的延长线于点，则，
由（2）得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形平行四边形，
，，
，，
，，
，
在和中，，
∴，
，
，且，
．
23. 如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、．
（1）一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ；
（2）在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）将沿射线方向平移一定的距离后，得到．
①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标；
②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．
解：（1）一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点，，，解得，，
一次函数表达式为；反比例函数表达式为；
故答案为：；．
（2）存在，
点C的横坐标为3，
，即，
轴，且在反比例函数上，
，，即，
点E在线段上，
设（），
，，
记点E到的距离，
有，
即，
解得，
点E到的距离等于它到x轴的距离，
或，
解得或（不合题意，舍去），
；
（3）①记点O到对应点向右平移了个单位长度，
点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上，，
由平移的性质可知，，，
在一次函数图象上，
，
解得或（不合题意，舍去），
，；
②，
设直线的解析式为，，解得，
直线的解析式为，
记直线向右平移个单位长度得到直线，
由平移的性质可知，直线的解析式为，
射线与x轴交于点F，
，即，
联立与，有，
整理得，
将代入中有：，
即，
，，
，，，
以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，
①当、为菱形的边时，
有，即，
解得或（不合题意，舍去），
即；
②当、为菱形的边时，
有，即，
整理得，解得，即；
③当、为菱形的边时，
有，即，解得，即；
综上所述，点的坐标为或或．