2024-2025学年广东省东莞市八校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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1．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．将等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点逆时针旋转至△的位置，点的横坐标为2，则点的坐标为
A．B．C．D．
3．已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是
A．B．
C．D．
4．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是
A．B．C．D．
5．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
6．某小区2018年绿化面积为3000平方米，计划2020年绿化面积达到3880平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，设每年的增长率为，下列方程正确的是
A．B．
C．D．
7．用配方法解方程，变形后结果正确的是
A．B．C．D．
8．等腰三角形边长分别为，，2，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为

A．9B．10C．9或10D．8或10
9．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中正确的是
A．B．C．D．
10．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②；③若和是抛物线上两点，则；④对于任意实数，均有．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．抛物线与轴的交点坐标是 ．
13．关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
14．已知，当 时，函数值随的增大而减小．
15．写出一个开口向上的抛物线的解析式 ．
16．如图，直线与抛物线交于点，，且点在轴上，点在轴上，则不等式的解集为 ．
17．如图，将矩形绕点顺时针旋转至的位置，连接，，取，的中点，连接，若，，则 ．
三、计算题：本大题共3小题，共20分．
18．解方程：．
19．解方程：．
20．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果，满足不等式，且为整数，求的值．
四、解答题：本题共5小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21．已知二次函数．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（2）当 时，函数的值大于0．（填的取值范围）．
22．如图，若篱笆（虚线部分）的长度为，当所围成矩形的面积是时（墙足够长）．
（1）求矩形的长是多少？
（2）当矩形的长是多少矩形的面积有最大值？最大值是多少？
23．如图，将△（其中，绕点按顺时针方向旋转到△的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角多少？
24．已知二次函数的图象经过和．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
25．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，若已知点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得△的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）为线段上方抛物线上一点，为线段上的一点，若轴，求的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【答案】
解：、该图不是中心对称图形，不符合题意；
、该图不是中心对称图形，不符合题意；
、该图是中心对称图形，符合题意；
、该图不是中心对称图形，不符合题意，
故选：．
2．将等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点逆时针旋转至△的位置，点的横坐标为2，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
解：如图，过点作于，过点作于，
是等腰直角三角形，点的横坐标为2，
，
△是绕点逆时针旋转得到，
，，
点的坐标为．
故选：．
3．已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
解：、由二次函数的图象可知，此时直线应经过二、四象限，故可排除；
、由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，此时直线应经过一、三、四象限，故可排除；
、由二次函数的图象可知，，此时直线应经过一、二、四象限，故可排除；
、观察图象可知，，符合题意．
故选：．
4．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是
A．B．C．D．
【答案】
解：抛物线向上平移3个单位，
平移后的解析式为：．
故选：．
5．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
解：由抛物线可知，
抛物线顶点坐标为．
故选：．
6．某小区2018年绿化面积为3000平方米，计划2020年绿化面积达到3880平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，设每年的增长率为，下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
解：由题意得：．
故选：．
7．用配方法解方程，变形后结果正确的是
A．B．C．D．
【答案】
解：，
则，即，
故选：．
8．等腰三角形边长分别为，，2，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为

A．9B．10C．9或10D．8或10
【答案】
解：三角形是等腰三角形，
①，或，②两种情况，
①当，或时，
，是关于的一元二次方程的两根，
，
把代入得，，
解得：，
当，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故不合题意，
②当时，方程有两个相等的实数根，
△
解得：，
故选：．
9．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中正确的是
A．B．C．D．
解：、由函数图象可知二次函数的开口向上，即，交于轴的负半轴，，故本选项错误；
、由函数图象可知对称轴，所以，即，故本选项错误；
、由函数图象可知二次函数与轴有两个交点，则．故本选项正确；
、由函数图象可知当时，，，故本选项错误．
故选：．
10．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②；③若和是抛物线上两点，则；④对于任意实数，均有．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
解：由所给函数图象可知，
，，，
所以，
故①正确．
抛物线经过点，且对称轴是直线，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，
则．
故②错误．
因为，，
又抛物线开口向上，
所以抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小，
故．
故③错误．
因为抛物线的对称轴是直线，
所以，
即．
又抛物线经过点，
所以，
将代入得，
．
又当时，
函数取得最小值为：．
所以当时的函数值不小于，
即．
故④正确．
所以正确的结论有：①④．
故选：．
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
解：点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为：．
12．抛物线与轴的交点坐标是 ．
【答案】．
解：令，
得，
抛物线与轴的交点坐标是，
故答案为：．
13．关于的一元二次方程有一个根为0，则 1 ．
解：方程有一个根为0，
将代入方程得：，
即，
解得：，，
又原方程为关于的一元二次方程，，即，
则．
故答案为：1
14．已知，当 时，函数值随的增大而减小．
解：抛物线，可知，开口向上，
对称轴，
当时，函数值随的增大而减小．
故答案为：．
15．写出一个开口向上的抛物线的解析式 ．
【答案】．
解：一个开口向上的抛物线的解析式，抛物线的开口向上．
故答案为：（答案不唯一，只要二次项系数为正数即可）．
16．如图，直线与抛物线交于点，，且点在轴上，点在轴上，则不等式的解集为 ．
【答案】．
解：抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，
点，
当时，，
，，
点，
不等式的解集为，
故答案为．
17．如图，将矩形绕点顺时针旋转至的位置，连接，，取，的中点，连接，若，，则 ．
解：连接、，
在中，利用勾股定理可得，
为中点，
．
矩形绕点顺时针旋转至的位置，
，且，
．
故答案为．
三、计算题：本大题共3小题，共20分．
18．解方程：．
解：分解因式得：，
可得或，
解得：，．
19．解方程：．
解：，，，
，
，．
20．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果，满足不等式，且为整数，求的值．
【答案】（1）；（2），．
解：（1），是一元二次方程的两个实数根，
△，
解得；
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
即，
，
解得，
由（1）知：，
，
为整数，
的值为，．
四、解答题：本题共5小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21．已知二次函数．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（2）当 或 时，函数的值大于0．（填的取值范围）．
【答案】（1）见解答；
（2）或．
解：（1）列表得：
描点，连线．
（2）由图象可知，当或时，函数的值大于0．
故答案为：或．
22．如图，若篱笆（虚线部分）的长度为，当所围成矩形的面积是时（墙足够长）．
（1）求矩形的长是多少？
（2）当矩形的长是多少矩形的面积有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）矩形的长是；
（2）当矩形的长是时，矩形的面积有最大值，最大值是．
解：（1）设矩形的一条边长为，则另一条边长为，
由题意得：，
解得：，，
或6．
，
矩形的长为．
答：矩形的长是．
（2）根据题意，得：，
，
有最大值，
当时，取得最大值64，
答：当矩形的长是时，矩形的面积有最大值，最大值是．
23．如图，将△（其中，绕点按顺时针方向旋转到△的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角多少？
【答案】．
解：，，
．
点、、在同一条直线上，
，
，
旋转角为．
24．已知二次函数的图象经过和．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）；
（2）．
解：（1）把和代入，
得，
解得，
所以此抛物线的解析式为；
（2）
，
此抛物线的顶点坐标为．
25．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，若已知点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得△的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）为线段上方抛物线上一点，为线段上的一点，若轴，求的最大值．
解：（1）抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）存在．如图1，设交抛物线的对称轴直线于点，连接，
则，
当点、、三点共线时，△周长最小，即△周长取得最小值，
设点，直线表达式为，
将点、代入，
得，
解得：，
则直线表达式为，
当时，，
，
故点，
（3）根据题意：点为线段上方抛物线上的一点，点为线段上的一点，若轴，
设，其中，则，
，
，
当时，的值最大，最大值为．
0
3
0
0
3