福建省2025中考数学专题五二次函数与几何综合高效拆分特训

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专题五 二次函数与几何综合高效拆分特训 特训26　二次函数中的线段问题 模型解读 典题训练 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的顶点A的坐标为(0，－1)，顶点B的坐标为(4，－1)，顶点C在第一象限内，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点P为正方形对角线AC上一动点． (1)当抛物线经过A，B两点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线与直线AC相交于另一点Q(Q非抛物线顶点，且Q在第一象限内)， 求证：PQ的长是定值； (3)根据(2)的结论，取BC的中点N，请直接写出NP＋BQ的最小值为________． 特训27　二次函数中的面积求值 模型解读 典题训练 1．如图，二次函数y＝－(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，连接BC.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(3，0)及点C.在直线AC下方的抛物线上存在点Q，使S△ACQ＝S△ACB(点Q不与点B重合)，则点Q的坐标为________． 2．如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.连接AC，CD，BD，则四边形ACDB的面积为________． 特训28　二次函数中的面积最值 方法整合 典题训练 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2－2x＋c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C.D为直线AB上方抛物线上一动点，连接DA，DB，DC，BC，设△DAB的面积为S1，△DBC的面积为S2，求S1＋S2的最大值，并求出此时点D的坐标． 【变式题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋x＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP.设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，当eq \f(S1,S2)最大时，点P的坐标为________． 特训29　二次函数中角的关系 模型解读 典题训练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.M是抛物线在第一象限上的点，∠MAB＝∠ACO，则点M的横坐标为________． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2－3x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，作直线AC.D为直线AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线AC于点E.当∠ACD＝2∠BAC时，求点D的坐标． 02二次函数压轴题高效拆分特训 专题五 二次函数与几何综合高效拆分特训 特训26　二次函数中的线段问题 (1)解：把A(0，－1)，B(4，－1)的坐标代入y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(c＝－1，,－8＋4b＋c＝－1，))) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－1，))) ∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋2x－1. (2)证明：∵四边形ABCD为正方形，AB＝4， ∴C(4，3)． 设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 把A(0，－1)，C(4，3)的坐标代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(n＝－1，,4m＋n＝3，))) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－1，))) ∴直线AC的解析式为y＝x－1. ∵y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c＝－eq \f(1,2)(x－b)2＋c＋eq \f(1,2)b2， ∴顶点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，c＋\f(1,2)b2))， 把Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，c＋\f(1,2)b2))代入y＝x－1，得c＋eq \f(1,2)b2＝b－1，即b2－2b＝－2c－2， 设P(x1，x1－1)，Q(x2，x2－1)，则x1，x2为方程－eq \f(1,2)x2＋bx＋c＝x－1的两根， 整理为x2－2(b－1)x－2－2c＝0， ∴x1＋x2＝2(b－1)，x1x2＝－2－2c， ∴PQ2＝2(x1－x2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2[4(b－1)2－4(－2－2c)]＝8(b2－2b＋1＋2＋2c)＝8， ∴PQ＝2eq \r(2)，即PQ的长是定值． (3)2eq \r(5) 特训27　二次函数中的面积求值 1．(－1，－8)　 2.eq \f(35,4) 特训28　二次函数中的面积最值 解：∵直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝3， ∴B(0，3)， 当y＝0时，x＋3＝0，解得x＝－3， ∴A(－3，0)． 将点A，B的坐标代入y＝ax2－2x＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a＋6＋c＝0，,c＝3.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝3.)) ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1， ∴C(1，0)． 如图，过点D作DE∥y轴交AB于点E， 设点D(m，－m2－2m＋3)，则点E(m，m＋3)， S1＋S2＝S△DAB＋(S△DAB＋S△ABC－S△ADC) ＝2S△ADB＋S△ABC－S△ADC ＝DE×OA＋eq \f(1,2)×AC×OB－eq \f(1,2)×AC×yD ＝(－m2－2m＋3－m－3)×3＋eq \f(1,2)×4×3－eq \f(1,2)×4×(－m2－2m＋3) ＝－m2－5m ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,4)≤eq \f(25,4)，当m＝－eq \f(5,2)时取等号， 则S1＋S2的最大值为eq \f(25,4)，此时m＝－eq \f(5,2)，点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(7,4))). 【变式题】(2，4) 特训29　二次函数中角的关系 1.eq \f(8,3) 2．解：令y＝0，得－x2－3x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝－4. ∴A(－4，0)，B(1，0)． 令x＝0，得y＝4， ∴C(0，4)． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k＋b＝0，,b＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝4.)) ∴直线AC的解析式为y＝x＋4. 如图，过点C作CG⊥DF于点G，易得四边形OCGF是矩形， ∴GF＝OC＝4，CG∥AB， ∴∠ACG＝∠BAC. ∵∠ACD＝2∠BAC， ∴∠ACG＝∠DCG， ∴90°－∠ACG＝90°－∠DCG， 即∠CED＝∠CDE， ∴CD＝CE. 又∵CG⊥DF， ∴DG＝EG. ∵D为直线AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，DF⊥x轴于点F， ∴－4