2025中考复习数学考点专题探究课件：专题9　二次函数与几何综合

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专题9　二次函数与几何综合
1. [2023宁夏中考，中]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C. 已知点A的坐标是(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝1.
(1)直接写出点B的坐标；
【解】(1)点B的坐标为(3，0).∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的对称轴是 直线x＝1，
(2)在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小.求点P的坐标和PA＋PC的最 小值；
【解】(3)补全图形如图(2).由(1)得抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3，由(2)得直线CB的解析式为y＝－x＋3，故设M(t，－t2＋2t＋3)，则Q(t，－t＋3)，∴MQ＝－t2＋3t.
设出点的坐标，根据两点间距离公式表示出需要的线段长，有时要利用 锐角三角函数、相似三角形将线段进行转化.若已知线段数量关系，则 可列方程求解；若求最值，则可利用二次函数性质求解.
与y轴平行的线段长度等于两端点的纵坐标之差的绝对值，即PE＝｜yP －yE｜(如图(1)).
利用锐角三角函数可将PE转化为PF(如图(2))，即PF＝PE· cs ∠EPF ＝PE· cs ∠OBC.

2. [2023湖北荆州中考，较难]已知：y关于x的函数y＝(a－2)x2＋(a＋1)x ＋b.
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　　　　　.
②当a－2≠0时，y关于x的函数为二次函数.∵抛物线与坐标轴有两个公共点，
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A(－2，0)，B(4， 0)，并与动直线l：x＝m(0＜m＜4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC， 其中PA交y轴于点D，交BC于点E. 设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2.
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1－S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.
②S1－S2存在最大值.
如图，设直线l：x＝m交x轴于H.
(1)如图(2)，若抛物线经过原点O.
①求该抛物线的函数解析式；
如图(1)，过点B作BF∥x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵 坐标相同.
①当t＞2时，如图(2).
【解】(2)∠CPE与∠BAO能相等.设点P的横坐标为t.
(2)连接PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐 标；若不能，试说明理由.
设∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，则∠APD＝α＋β.
∵∠PCD＝∠PAO＋∠APC＝α＋β，由抛物线的对称性易知PC＝PD，
∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD，∴AP＝AD＝2(t－2)＋4＝2t.
过点P作PF⊥x轴于点F，则AF＝t＋2.
②当0＜t≤2时，如图(3)，过点P作PF⊥x轴于点F.
③当－2＜t≤0时，如图(4)，过点P作PF⊥x轴于点F.
二次函数问题中涉及角度相等时，一般考虑构造平行线或全等三角形或 相似三角形或辅助圆(同弧或等弧所对的圆周角相等)，也可以考虑将角 放在直角三角形中，利用锐角三角函数求解.

(1)求抛物线的解析式.
令x＝0，可得D(0，－4).
∴Rt△BEG≌Rt△DFH(HL)，∴BG＝DH.
设BN＝OE＝NP＝5m，则易得PQ＝3m，QN＝4m，∴BQ＝m.
∵RQ∥x轴，∴△BRQ∽△BON，
设RQ＝n，则EP＝NO＝5n.∵PQ⊥BM，PS⊥RS，BR⊥RS，
∴∠BRQ＝∠QSP＝∠BQP＝90°，∴∠BQR＋∠PQS＝90°，∠BQR ＋∠QBR＝90°，
∴∠PQS＝∠QBR，
∴PS＝3n，QS＝3，则RS＝3＋n，
∴xE＝TE＝TP－EP＝RS－EP＝3＋n－5n＝3－4n，
yE＝TO＝TR＋RO＝PS＋RO＝3n＋4，
5. [2023四川内江中考，中]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx ＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2).
(1)求该抛物线的函数解析式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边 的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
∵AM2∥BM1，且直线AM2经过A(0，－2)，∴直线 AM2的函数解析式 为y＝－2x－2，
∴当x＝1时，y＝－2×1－2＝－4，∴M2(1，－4).
综上所述，在抛物线的对称轴上存在一点M，使得△MAB是以AB为一 条直角边的直角三角形，点M的坐标为(1，6)或(1，－4).
6. [2023山东枣庄中考，中]如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)， C(0，3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴 交于点D.
(1)求该抛物线的解析式；
【解】(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴M(1，4).
设直线AM的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH＋DH的最小值；
【解】(3)存在.当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q(1，3)或Q(1，1)或Q(1，5).
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴对称轴为直线x＝1.
设P(p，t)，Q(1，n).
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M， P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的 点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
∴p＝2，n＝t－2.
当p＝2时，t＝－22＋2×2＋3＝3，∴n＝1，∴Q(1，1).
如图(2)，当DM为对角线时，1＋p＝0＋1，t＋n＝4＋2，∴p＝0，t ＋n＝6.当p＝0时，t＝3，∴n＝3，∴Q(1，3).
如图(3)，当DP为对角线时，0＋p＝1＋1，2＋t＝4＋n，
如图(4)，当MP为对角线时，1＋p＝0＋1，4＋t＝2＋n，∴p＝0，n －t＝2.当p＝0时，t＝3，∴n＝5，∴Q(1，5).
综上，当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q(1，3) 或Q(1，1)或Q(1，5).
坐标系中的平行四边形存在性问题