专题20 解答压轴题型：二次函数综合题-备战2024年福建中考数学真题模拟题分类汇编含答案

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1．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
2．（2022·福建·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
3．（2021·福建·统考中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点，求的最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等．
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考一模）已知抛物线过点，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知过原点的直线与该抛物线交于，两点（点在点右侧），该抛物线的顶点为，连接，，点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合）．当点的横坐标是4时，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
(3)若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点的坐标是，过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线，分别交直线和直线于点，，求的值．
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
6．（2023·福建莆田·统考二模）已知抛物线，其中是实数．
(1)已知三个点，，，其中有一个点可以是拋物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，点在抛物线上且其横坐标为4，过点作轴于点．点为抛物线的顶点，连接．点为抛物线对称轴左侧上一点，延长线交轴于点，延长线交延长线于点，连接．
①若平分时，求点的坐标；
②设，，判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
7．（2023·福建福州·统考二模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且．直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧），连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若的面积为，求k的值；
(3)求证：不论k取何值，抛物线上都存在定点F，使得是以为斜边的直角三角形．
8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，抛物线y=x2+mx（m