2022年河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试卷（完全解析）

这是一份2022年河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试卷（完全解析），共17页。
----【命题多维细目表】---
2022年河北省普通高等学校对口招生文化考试
数学试卷
说明：
一、本试卷共6页，包括三道大题37个小题，共120分.其中第一道大题（15个小题）为选择题.
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.
三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案.四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题所给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
1. 已知全集，，则集合M的补集为（ ）
A B.
C. D.
2. 设,为实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 下列函数为偶函数且在内是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 函数的图像关于轴对称B. 函数与函数为同一函数
C. 函数在其定义域内是增函数D. 函数的图像关于原点对称
6. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设点在角α终边上，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 55B. 56C. 57D. 58
9. 已知等比数列中，，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
10. 不等式的解集为，则（ ）
A －2B. －1C. 1D. 2
11. 过圆外一点向圆引切线，则点P与切点的距离为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
12. 设事件A与B为互斥事件，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
13. 展开式中含项与含项的系数之比为（ ）
A B. C. D.
14. 已知动点P与，的距离之和为4，则动点P的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
15. 下列命题正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线
C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β
D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
16. 设，则_______________.
17. 函数的定义域为_______________.（用区间表示）
18. _______________.
19. 不等式的解集为_______________.（用区间表示）
20. 已知向量，，且与垂直，则_______________.
21. 已知，且，则_______________.
22. 已知，且，则_______________.
23. 过抛物线的焦点且与直线平行的直线方程为_________________.
24. 设，，，，则由小到大的排列顺序为_______________.
25. 已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________.
26. 将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有___________种.
27. 已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则_______________.
28. 方程的解为_______________.
29. 已知抛物线上一点M到准线的距离等于3，则点M与点的距离为_______________.
30. 在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为_______________.
三、解答题（本大题共7小题，共45分.请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
31. 设集合，，且，求实数a的取值范围.
32. 如图，已知，米，米，动点和同时从点分别沿路径和方向匀速移动.已知动点的速度为米/秒，动点的速度为米/秒.在动点向点移动过程中，当移动时间为多少时，的面积最大，最大面积是多少？
33. 已知数列，，，令.
（1）证明数列等比数列；
（2）求数列的通项公式.
34. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）当x取何值时，函数取得最大值，最大值为多少？
35. 已知椭圆的一个顶点为，离心率.以椭圆的焦点为顶点作等轴双曲线，该双曲线上一点P与椭圆两个焦点，连线的斜率分别为，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：.
36. 在棱长为2的正方体中，已知E，F分别是BC，的中点.
（1）求证：；
（2）求点F到直线的距离.
37. 从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教，表示选到的语文教师人数，求随机变量的概率分布.
----【答案完全解析】----
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题所给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
1. 【答案】B
【解题指南】根据补集的定义即可求解.
【解析】已知全集，，根据补集的定义可知：补集中的元素x满足且所以集合M的补集为.故选B.
2. 【答案】D
【解题指南】由不等式的性质解答即可.
【解析】由于，不妨设，，此时，选项、、都错误；
选项由不等式性质可知，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变方向，因此正确.故选.
3. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题指南】由充分条件,必要条件的定义及平行四边形与菱形的性质即可得解.
【解析】因为菱形是特殊的平行四边形.所以四边形是平行四边形四边形是菱形,不成立.
四边形是菱形四边形是平行四边形,成立.所以为必要不充分条件.故选.
4. 【答案】A
【解题指南】由单调性及奇偶性的图像特点定义即可得解.
【解析】如图所示为的图像,由图可知为偶函数且在内为增函数,选项正确.
如图所示为图像,由图像可知为偶函数,在内不是增函数,故选项错误.
如图所示为的图像,由图可知为既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误.
如图所示为的图像,由图可知既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误.故选.
5. 【答案】B
【解题指南】由题奇函数和偶函数图像的对称性，指数函数的单调性，以及相等函数的判定等可得结果.
【解析】由题知奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，
指数函数为其定义域内的增函数，而函数与函数虽然对应法则相同，定义域却不同，故两个函数不是同一个函数.故选B.
6. 【答案】B
【解题指南】由向量的坐标运算即可得解.
【解析】因为.所以.所以.故选.
7. 【答案】B
【解题指南】根据角α终边上一点可求出，再利用二倍角公式求解.
【解析】因为点在角α的终边上，所以
，
故选B.
8. 【答案】C
【解题指南】根据等差数列的性质可得，从而可求.
【解析】因为，，所以.
..故选C
9.【答案】C
【解题指南】先根据等比数列通项公式求出，再代入到对数函数即可求解.
【解析】在等比数列中，，，所以，
则，故选C
10. 【答案】D
【解题指南】将含绝对值不等式求解即可.
【解析】，当时，，
又因为不等式的解集为，则，解得；
当时，，
则， 前后不一致，故舍.所以故选D
11. 【答案】C
【解题指南】根据图像找到切点坐标，再根据两点的坐标求距离.
【解析】已知圆心，半径，
如图所示
∵圆心在轴上，半径为，过圆心做轴且与圆交于点,∴
又∵点横坐标为，∴轴，即轴，∴故为圆的切线，切点为，
∵点横坐标为3，代入圆的标准方程可得的坐标为又∵故，又因为两条切线相等，故选C.
12. 【答案】D
【解题指南】根据互斥事件的概率计算公式解答.
【解析】事件A与B为互斥事件，若随机试验中只有和两个可能，即和为对立事件则若随机试验中有多个互斥事件，则综上可得
故选D.
13. 【答案】D
【解题指南】由题可知，此二项式展开通项为，即可得所求结果.
【解析】解：由题可知此二项式展开通项为，的系数为当时，即为，的系数为当时，即为，且知，故可得结果为，故选D.
14. 【答案】A
【解题指南】由椭圆的定义即可得结果.
【解析】解：由题可知，平面内一动点到两个定点的距离为一常数，且满足，故可知此动点的轨迹为一椭圆，且由于知椭圆焦点在轴上，即知，即知其标准方程为.故选A.
15. 【答案】B
【解题指南】根据点、线、面特殊关系的性质定理解答.
【解析】A、不共线的三点确定一个平面，故A错误；B、根据线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线，则B说法正确；
C、若一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则两平面平行，故C说法错误；
D、若两条直线a，b没有公共点，两直线可能是异面直线，也可能是平行线，故D说法错误.故选B.
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
16. 【答案】1
【解题指南】根据自变量的取值范围代入即可求解.
【解析】，.
17. 【答案】
【解题指南】由分式的性质及对数的定义即可得解.
【解析】由分式的性质可知分母不为.由对数的定义可知.所以.
解得.用区间表示为.
18. 【答案】
【解题指南】由题利用度数转化为弧度，对数运算公式，指数幂的化简运算可得结果.
解析】解：由题可知，，
，，，
即知原式为.
19. 【答案】
【解题指南】先将不等式变形，转换成解一元二次不等式，即可求解.
【解析】解不等式即为解，或，
20. 【答案】3
【解题指南】先根据向量的加法运算法则，求出，又与垂直，根据横纵坐标的关系，即可求解.
【解析】由题意可知，，又因为与垂直，
所以，
21. 【答案】
【解题指南】根据诱导公式可将原式化为，从而求解.
【解析】由得，且，.
22. 【答案】
【解题指南】由三角函数公式及象限角的符号即可得解.
【解析】因为.所以.所以.
所以..
因为为第一象限角.所以.所以.
23. 【答案】
【解题指南】求抛物线的焦点，并代入所设方程可求解.
【解析】易知抛物线的焦点为，设与直线平行的直线方程为，由代入可得，故所求方程为.
24. 【答案】
【解题指南】由幂函数,指数函数,对数函数的性质即可得解.
【解析】因为.所以..
.因为,所以.
综上所述:.
25. 【答案】
【解题指南】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解.
【解析】作于点,连接如图所示.线段即为点到平面的距离,是在平面的射影.
所以为直线与平面所成的角.所以.又因为.
所以.所以点到平面的距离为.
26. 【答案】72
【解题指南】先将除去山楂树和梨树之外的三棵树进行排列，再用插空法排列山楂树和梨树，用分步计数原理求解.
【解析】第一步，先将桃树、苹果树、杏树进行全排列，共有种排列方法；
三棵树共有4个空，第二步，将山楂树和梨树用插空法排列，共有种排列方法；
利用分步计数原理，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有种.
27. 【答案】
【解题指南】根据已知可以得到三条边的比例关系，再利用余弦定理即可求解.
【解析】因为，所以，可设
利用余弦定理： .
28. 【答案】
【解题指南】根据对数函数的运算公式即可求解.
【解析】由题意可知，
.
29. 【答案】
【解题指南】由抛物线的定义及点与点之间的距离公式即可得解.
【解析】因为抛物线方程为.所以准线为.因为点到准线的距离为.
设点的坐标为.所以.解得.
又因为点在抛物线.所以.
解得或.
所以点或.
所以点与点的距离为或.
综上所述:点与点的距离为.
30. 【答案】
【解题指南】根据已知条件推导出即为二面角的平面角，进而求解.
【解析】设平面PAB与a交于O,连接由题意可知，，，
所以，，，，又因为，
所以面，所以，，所以即为二面角的平面角，
如图所示，，
所以，
则二面角的大小为.
三、解答题（本大题共7小题，共45分.请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
31. 【解题指南】由可知无解，即可解答.
【解析】由题解题指南可知，若那么方程组无解，
即无解，
即，那么有，
解得.
32. 【解题指南】由题设移动时间为秒时，知米，米，由面积可得二次函数，二次函数在对称轴处取得最值即可得结果.
【解析】解：由题可知移动时间为秒时，知米，米，由三角形面积公式知
，可知当时，
面积最大，最大为.
33. 【解题指南】（1）计算，由等比数列的定义可得为等比数列；
（2）由为等比数列可得的通项公式，从而可求数列的通项公式.
【解析】（1）,，.
故数列是以首项2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，即，故.
34. 【解题指南】(1)由三角函数诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简后，利用周期公式解答即可；
(2)利用三角函数值域求解即可.
【解析】（1）由三角函数周期性可将函数化简为，
再由二倍角公式化简为，再由辅助角公式化简为，
所以函数的最小正周期为.
（2）当时，即时，函数取得最大值，且最大值为2.
35. 【解题指南】（1）根据题意求出a,b,c,即可求出椭圆方程.
（2）结合双曲线和椭圆方程求出，，进而可证.
【解析】（1）因为椭圆的一个顶点为，所以，
又因为离心率，已知，得，
故椭圆的标准方程为；
（2）证明：因为双曲线是以椭圆的焦点为顶点的等轴双曲线，
所以在双曲线中，，等轴双曲线方程为，
已知椭圆焦点为，
设双曲线上一点P坐标为，则，
所以，
将点P代入双曲线方程得，
综上所述，.
36. 【解题指南】（1）根据正方形的对角线垂的关系，以及中位线平行来证明.
（2）先找到点到直线的距离线段，再根据关系求长度.
【解析】(1)证明：连接、
∵为正方形，、为对角线，∴，
∵E，F分别是BC，的中点，∴在中为中位线，∴，在平面中，，，∴①，
∵正方体，∴平面，
∵平面，∴②，，∴平面，
∵平面，∴.
（2）连接与交点为，则正方体中为与的中点，
∵为的中点，∴中为中位线，
∴，且，∵，∴，
∵平面，平面，∴，∴
∵，∴平面，
∵平面，∴，∴到直线的距离为，
∵，∴，∴，
故点F到直线的距离为.
37. 【解题指南】先根据题意得出可能的取值并求出对应的概率，即可画出概率分布列.
【解析】
所以的概率分布列为：
题型
题号
分值
试题难度
考查的主要知识点
预期
得分率
易
中
难
选择题
1
3
√
集合的补集运算
0.85
选择题
2
3
√
不等式的性质（实数比较）
0.75
选择题
3
3
√
充分条件与必要条件判断（平行四边形与菱形关系）
0.70
选择题
4
3
√
函数的奇偶性与单调性（区间内增函数判断）
0.70
选择题
5
3
√
函数性质综合判断（同一函数、奇偶性、单调性）
0.65
选择题
6
3
√
平面向量的坐标运算（加减、数量积）
0.80
选择题
7
3
√
三角函数定义（终边上点）与二倍角公式
0.70
选择题
8
3
√
等差数列的性质与前 n 项和公式
0.85
选择题
9
3
√
等比数列通项公式与对数运算
0.75
选择题
10
3
√
绝对值不等式的解集与参数求解
0.80
选择题
11
3
√
圆的切线性质与点到切点距离计算
0.65
选择题
12
3
√
互斥事件的概率性质
0.80
选择题
13
3
√
二项式展开式的指定项系数计算
0.70
选择题
14
3
√
椭圆的定义与标准方程推导
0.85
选择题
15
3
√
立体几何命题判断（平面确定、线面垂直、面面平行、异面直线）
0.65
填空题
16
2
√
分段函数的函数值计算
0.85
填空题
17
2
√
函数定义域（分式、对数约束条件）
0.80
填空题
18
2
√
指数、对数、三角函数与弧度制的混合运算
0.70
填空题
19
2
√
一元二次不等式的解集（转化法）
0.80
填空题
20
2
√
平面向量垂直的性质（数量积为 0）
0.85
填空题
21
2
√
三角函数求值（同角三角函数基本关系）
0.70
填空题
22
2
√
三角函数的二倍角公式应用（象限角约束）
0.65
填空题
23
2
√
抛物线的焦点坐标与平行直线方程求解
0.70
填空题
24
2
√
指数、对数、幂函数的大小比较（单调性应用）
0.65
填空题
25
2
√
直线与平面所成角的定义与距离计算
0.60
填空题
26
2
√
排列组合（不相邻问题：插空法）
0.70
填空题
27
2
√
正弦定理与余弦定理的综合应用（内角计算）
0.65
填空题
28
2
√
对数方程的求解（运算公式应用）
0.80
填空题
29
2
√
抛物线的准线、焦半径与点到点距离计算
0.65
填空题
30
2
√
二面角的求解（线面垂直推导平面角）
0.50
解答题
31
6
√
集合的交集运算与参数取值范围（无解条件）
0.70
解答题
32
6
√
二次函数的实际应用（三角形面积最值问题）
0.75
解答题
33
6
√
等比数列的证明与通项公式推导
0.70
解答题
34
6
√
三角函数化简（诱导公式、二倍角、辅助角）、周期与最值
0.80
解答题
35
7
√
椭圆标准方程（顶点、离心率）、等轴双曲线、斜率乘积证明
0.55
解答题
36
7
√
立体几何证明（线线垂直）、点到直线的距离计算
0.50
解答题
37
7
√
古典概型（组合计数）与随机变量的概率分布
0.60
0
1
2
P