2024年河北省中等职业学校对口升学文化考试数学试卷（完全解析）

这是一份2024年河北省中等职业学校对口升学文化考试数学试卷（完全解析），共18页。
----【命题多维细目表】---
2024年河北省普通高等学校对口招生文化考试
数学试卷
一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. “是锐角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 函数在其定义域内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6. 关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 图像过点B. 的图像过点
C. 在其定义域上为增函数D. 为偶函数
7. 已知角的终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是等比数列，若，，则（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 48
9. 若，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
10. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. B. C. 9D.
11. 已知m是直线，，是两个不同平面，下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
12. 已知椭圆的中点为原点，对称轴为坐标轴，左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于M，N两点，若的周长为28，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
13. 已知动点，分别在圆与直线上，当，之间的距离最小时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（ ）
A. B.
C. 在上单调递增D. 在上单调递减
15. “回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（ ）
A. 100B. 125C. 225D. 250
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
16. 设函数，则________．
17. 函数的定义域为______．
18. ________．
19. “斐波那契数列”又称黄金分割数列、兔子数列，由数学家莱昂纳多·斐波那契提出，该数列满足，，则________．
20. ________．
21. 已知函数，则________．
22. 若双曲线的一个焦点坐标为，则________．
23. 若不等式的解集为，则________．
24. 已知在中，，，，则________．
25. 设向量，，且，则实数x的取值范围是________．
26. 已知直线与直线平行，且原点到直线，的距离相等，则直线的方程为________．
27. 已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________．
28. 已知，，则________．
29. 在正方体中，二面角的余弦值为________．
30. “这么近，那么美，周末到河北”，某家庭计划从保定市的古莲花池、直隶总督署、狼牙山和石家庄市的西柏坡纪念馆、赵州桥、正定古城、苍岩山七个地点中任意选取两个游览，则选取的两个地点在同一城市的概率为________.
三、解答题（本大题共7小题，共45分.请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
31. （6分）设集合，，若，求实数的取值范围.
32. （6分） 某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时，阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？
33. （6分）设为等差数列，其前n项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求值．
34. （6分）已知函数，将的图像沿x轴向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像．
（1）写出函数的解析式；
（2）求函数的最小值及取得最小值时x的集合．
35. （7分）已知抛物线，斜率为2直线l交抛物线于不同于原点O的A，B两点，若，求直线l的方程．
36. （7分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，．
（1）求证：平面平面PCD；
（2）求直线BD与平面PBC所成角正弦值．
37. （7分） 某职业学校的3名学生可以到A，B，C，D四个实训基地实习，若每名学生只能选择一个基地实习，且选择其中任何一个基地是等可能的，求：
（1）3名学生选择同一基地实习的概率；
（2）选择A基地实习的学生人数的概率分布．
----【答案完全解析】----
一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 【答案】D
【解题指南】根据并集的定义即可得解.
【解析】集合，，则.故选.
2. 【答案】C
【解题指南】根据不等式的基本性质结合举反例逐项解题指南即可.
【解析】设为实数，由，若，，满足，故A错误，
若，，满足，故B错误，因为，所以成立，故C正确，
若，则，满足，故D错误，故选C.
3. 【答案】B
【解题指南】根据向量的坐标的混合运算求解即可.
【解析】已知点，，，则，
进而.故选B.
4.【答案】A
【解题指南】根据条件的充分性和必要性分别进行证明讨论，从而得出结论.
【解析】若“是锐角”，则，故，充分性成立；
若，则可能是第一或第二象限角或角的终边在y轴正半轴，，即必要性不成立；
所以“是锐角”是“”的充分不必要条件.故选A.
5. 【答案】B
【解题指南】分类讨论的取值范围，结合二次函数的单调性即可得解.
【解析】对于，当时，，对于，其图象开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故AC错误；当时，，对于，其图象开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，故D错误；而选项B满足上述函数的性质描述，故B正确.
故选B.
6. 【答案】D
【解题指南】根据题意，利用凑配法，先求得函数解析式，结合幂函数的图像和性质，即可判断求解.
【解析】因为函数，所以，
所以，所以函数的图像过点，故选项A正确，不符合题意；
所以，所以函数图像过点，故选项B正确，不符合题意；
所以幂函数在其定义域上为增函数，故选项C正确，不符合题意；
因为函数的定义域为，不关于原点对称，故函数不是偶函数，故选项D错误，符合题意；
故选D.
7. 【答案】A
【解题指南】根据正切函数的定义求出值，代入余弦函数的定义即可得解.
【解析】角的终边经过点，且，解得，
所以，所以，故选.
8. 【答案】C
【解题指南】根据等比数列的通项公式结合题意即可求解.
【解析】由题意得，在等比数列中，设公比为，则，
，两式相除可得，
解得，则.故选C.
9. 【答案】D
【解题指南】利用指数函数与对数函数、正弦函数的单调性即可得解.
【解析】因为，，又，即，所以.故选D.
10. 【答案】D
【解题指南】首先列出二项式的通项公式，再使的指数等于4，的指数等于2求出的值，代回通项公式即可.
【解析】已知的通项公式为，令，即，
得，所以含项的系数为，故选D.
11. 【答案】B
【解题指南】根据线面，面面的位置关系判断ACD；根据线面垂直的性质可判断B.
【解析】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，根据线面垂直的性质可得，故B正确；
对于C，若，，则或相交，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.故选B.
12. 【答案】B
【解题指南】利用椭圆的定义及条件可求得，由焦点求出，进而利用椭圆的离心率公式求出结果.
【解析】∵过的直线与椭圆交于M，N两点，
∴，，，
∴的周长为，
∴，∴椭圆离心率为，故选B.
13. 【答案】A
【解题指南】先判断圆与直线的位置关系，然后由题意可得直线与直线垂直且过圆心，求出直线的方程，与直线的方程联立，即可求出点的坐标.
【解析】∵圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
∴直线与圆相离.
∵动点，分别在圆与直线上，
∴当，之间的距离最小时，直线与直线垂直且过圆心，
∵直线的斜率为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
联立方程，解得，∴点的坐标为. 故选A.
14. 【答案】A
【解题指南】根据偶函数的定义，结合函数解析式代入求值可判断AB；结合偶函数及二次函数的性质可判断CD.
【解析】∵函数是定义在上的偶函数，∴，
∵当时，，
∴，，
，，
∴，，故A正确，B错误；
当时，，其对称轴，开口向下，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∵函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在上不是单调函数，在上单调递增，故CD错误，故选A.
15. 【答案】C
【解题指南】根据偶数数字的位置分类讨论，结合计数原理计算求解.
【解析】由题意，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”，则有以下情形：
（1）第一位和第五位数字相同且为偶数，第二位和第四位数字相同且为奇数，第三位为奇数，
此时满足条件的“回文数”的个数为；
（2）第二位和第四位数字相同且为偶数，第一位和第五位数字相同且为奇数，第三位为奇数，
此时满足条件的“回文数”的个数为，
故满足条件的“回文数”的个数为，故选C．
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
16.【答案】1
【解题指南】根据分段函数的解析式，由内到外代入求值即可.
【解析】函数，则，所以，
17. 【答案】
【解题指南】根据函数解析式，结合指数函数的单调性求解不等式即可.
【解析】因为函数.所以.即.因为函数在上是增函数.
所以.所以函数的定义域为.
18.【答案】
【解题指南】根据指数幂及对数的运算性质、特殊角的三角函数值可得结果.
【解析】.
19.【答案】8
【解题指南】根据数列的递推公式，对赋值计算即可.
【解析】∵数列满足，，
∴；；
；，
20.【答案】
【解题指南】根据诱导公式及两角和的正弦公式计算.
【解析】
.
21.【答案】2【解题指南】令，可得的值.
【解析】∵函数，∴令，可得.
22.【答案】1
【解题指南】将方程转换成双曲线的标准方程，根据焦点坐标列出关于的方程，求解即可．
【解析】因为双曲线的焦点在y轴，所以双曲线的标准方程为（），即，因为其中一个焦点为，即，所以由，得，
解得．
23.【答案】
【解题指南】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系，列方程即可求得参数.
【解析】若不等式的解集为，
则是方程的根，且，
所以，且，解得，
24.【答案】
【解题指南】根据同角的三角函数关系式求得，然后利用正弦定理求解.
【解析】在中，，可知，则，
又，，由正弦定理得，即，解得.
25.【答案】
【解题指南】由题意可得，结合数量积的坐标表示，解不等式即可.
【解析】∵向量，，且，
∴，即，∴，解得，
∴实数x的取值范围是.
26.【答案】
【解题指南】根据已知条件，利用直线平行条件和距离公式即可求解.
【解析】由题意，设直线的方程为，
又原点到直线，的距离相等，
则，解得，又，所以，所以直线的方程为
27. 【答案】
【解题指南】连接，作，由线面垂直的判定与性质定理可得，在中，用等面积法求解即可.
【解析】如图，连接，作，垂足为，
在边长为的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角，所以，
如图，则为折叠成的二面角的平面角，即，
所以为等边三角形，则，
又平面，所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
在中，，
由等面积法可得，，即，
解得，即点C到BD的距离为.
28.【答案】
【解题指南】首先由同角三角函数的平方关系求出，再由二倍角的余弦公式和同角三角函数的商数关系求值即可.
【解析】已知，，
则，，
，
所以.
29.【答案】
【解题指南】取BD的中点O，连接，可得为二面角的平面角，利用余弦定理，即可求解．
【解析】如图所示，取的中点，连接.
因为是等边三角形，所以.
为二面角的平面角.
设正方体的棱长为 1 ，则，.
同理.
30.【答案】
【解题指南】该题可先求出七个地点任意两个的所有选法，再求出选取的两个地点在同一城市的选法，最后根据古典概率公式计算概率.
【解析】由题意得，在7个景点中任选2个，组合数为种.
其中选取的两个地点在同一城市的选法有种，
故选取的两个地点在同一城市的概率为.
三、解答题（本大题共7小题，共45分.请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
31.【解题指南】先解绝对值不等式与对数不等式化简集合，再利用集合交集的结果得到，进而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【解析】由，得，则，
所以，
因为在单调递增，
由，得，则，
所以，
因为，所以，易知，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
32. 【解题指南】设阴影部分的面积为，根据题意列出阴影部分面积的函数，根据二次函数的性质即可求解.
【解析】设阴影部分的面积为，
则，
所以当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米.
33. 【解题指南】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，列方程求解即可.
（2）根据裂项相消法求和即可.
【解析】（1）设等差数列的首项公差为，其前n项和为，
由，可得，解得，
由等差数列前项和公式，
由，可得，
化简得，解得.
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则.
则.
34. 【解题指南】（1）根据题意，结合正弦型函数的变换规律，即可求解；
（2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得函数的最小值，及对应x的集合.
【解析】（1）函数，
将的图像沿x轴向右平移个单位，再向上平移1个单位，
可得，
（2）由（1）知，因为
所以当时，函数取得最小值，即，
此时，即，
所以函数取得最小值时x的集合为.
35. 【解题指南】根据题意设出直线方程，联立方程组结合韦达定理求出与的值，利用即可得解.
【解析】直线l斜率2，设直线方程为，
联立方程组得，
设，，则，，
所以，，
所以，
若，则，
化简得，解得或，由题意可知时，不成立，
所以，直线方程为化为一般式方程为.
36.【解题指南】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可.
（2）首先找到直线BD与平面PBC所成角，再根据余弦定理以及同角三角函数的关系求解.
【解析】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以.
又因为，平面PCD.所以平面PCD.
又因为平面，所以平面平面PCD
（2）如图所示，取的中点E，连接.
因为是等边三角形，E是的中点，所以.
由（1）知平面PCD，平面PCD，所以.
因为，，平面，
所以平面.
从而是直线BD与平面PBC所成角.
因为四边形ABCD是正方形，是等边三角形，是直角三角形
所以，，.
则.
进而.
37. 【解题指南】（1）所有可能有种，3名学生选择同一基地实习有种，根据概率公式即可求解.
（2）可能取值为，分别求出相应的概率，即可列出分布列.
【解析】（1）3名学生从A，B，C，D四个实训基地中进行选择，每名学生有4种选法，
根据分步计数原理可知，共有种选法，
3名学生选择同一基地实习的情况共有种，
所以3名学生选择同一基地实习的概率为.
（2）选择A基地实习的学生人数可能取值为，
所以，
，
所以的概率分布为：
题型
题号
分值
试题难度
考查的主要知识点
预期
得分率
易
中
难
选择题
1
3
√
集合的并集运算
0.85
选择题
2
3
√
不等式的基本性质（举反例判断）
0.75
选择题
3
3
√
平面向量的坐标混合运算
0.80
选择题
4
3
√
充分条件与必要条件（锐角与正弦值关系）
0.70
选择题
5
3
√
分段函数的图像性质（单调性判断）
0.70
选择题
6
3
√
幂函数的性质（过点、单调性、奇偶性）
0.65
选择题
7
3
√
三角函数定义（终边过点求余弦值）
0.80
选择题
8
3
√
等比数列的通项公式（公比求解）
0.75
选择题
9
3
√
指数、对数、正弦函数的大小比较（单调性）
0.70
选择题
10
3
√
二项式定理（指定项系数计算）
0.65
选择题
11
3
√
立体几何线面、面面位置关系判断
0.65
选择题
12
3
√
椭圆的定义（周长）与离心率计算
0.70
选择题
13
3
√
圆与直线上点的最小距离（垂线过圆心）
0.55
选择题
14
3
√
偶函数的性质（函数值、单调性）
0.65
选择题
15
3
√
排列组合（五位回文数、仅有两位偶数）
0.50
填空题
16
2
√
分段函数的函数值计算（复合代入）
0.85
填空题
17
2
√
函数定义域（指数不等式求解）
0.80
填空题
18
2
√
指数、对数、三角函数的混合运算
0.70
填空题
19
2
√
斐波那契数列（递推公式求值）
0.85
填空题
20
2
√
三角恒等变换（诱导公式、两角和正弦）
0.65
填空题
21
2
√
函数解析式求解（换元法）
0.80
填空题
22
2
√
双曲线的标准方程与焦点坐标（参数求解）
0.70
填空题
23
2
√
一元二次不等式解集与方程根的关系
0.70
填空题
24
2
√
正弦定理的应用（已知边角求边）
0.65
填空题
25
2
√
平面向量垂直的坐标条件（不等式求解）
0.65
填空题
26
2
√
直线平行的性质与点到直线距离公式
0.70
填空题
27
2
√
折叠问题（二面角与点到直线距离）
0.50
填空题
28
2
√
二倍角公式与同角三角函数关系
0.65
填空题
29
2
√
正方体中二面角的余弦值计算
0.55
填空题
30
2
√
古典概型（同一城市景点选取概率）
0.70
解答题
31
6
√
集合的交集运算与参数取值范围
0.70
解答题
32
6
√
二次函数的实际应用（阴影部分面积最值）
0.75
解答题
33
6
√
等差数列通项公式、裂项相消法求和
0.70
解答题
34
6
√
三角函数图像变换（平移）与最值
0.70
解答题
35
7
√
抛物线与直线的交点、向量垂直求直线方程
0.55
解答题
36
7
√
面面垂直证明、直线与平面所成角的正弦值
0.50
解答题
37
7
√
古典概型（同一基地概率）、随机变量概率分布
0.60
0
1
2
3