2023年河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试卷（完全解析）

这是一份2023年河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试卷（完全解析），共17页。
----【命题多维细目表】---
2023年河北省普通高等学校对口招生文化考试
数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1. 设集合M=，N=，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ）
A B.
C. D.
3. 下列函数在定义域内是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点P在第三象限，则终边在第（ ）象限.
A. 一B. 二C. 三D. 四
7. 在中，分别为的对边，，，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
8. 已知A点坐标，B点坐标，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 和向量都单位向量D. 线段中点坐标是
9. 已知，其中，则、、从小到大顺序为（ ）
A. B.
C D.
10. 在等差数列中，=2m+1，=m，，则=（ ）
A. 2n-1B. 2n-3C. 2n-5D. 2n-7
11. 已知两直线与直线平行，则两直线距离为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知双曲线一顶点为，中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线过点则此双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
13. 在二项式的展开式中，第8项的系数是（ ）
A. B. C. D.
14. 已知直线，直线，且，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则α//βB. 若，则
C. 若α//β，则D. 若，则
15. 现有语、数、外、历史四本书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的方案有（ ）种.
A. 6B. 9C. 12D. 24
二、填空题（本大题有15个小空，每空2分，共30分.请将正确答案填在答题卡中对应题号后面的横线上，不填、填错不得分）
16. 已知函数，则 _______.
17. 若不等式的解集为，则_______.
18. 已知，则a，b，c按由小到大的顺序排列为_______.
19. 在中，a、b、c分别为的对边，且满足则_______.
20. 求值:_______.
21. 若，，且，则_______.
22. 已知是幂函数，则此函数的单调递增区间为_______.
23. 已知数列是等比数列,, 则数列前4项和___.
24. 函数的定义域是_______.（用区间表示）
25. 函数的最大值是_______.
26. 已知圆被直线所截，则所截得弦的弦长为_______.
27. 已知直线过椭圆两个顶点，则该椭圆的离心率为_______.
28. 已知在三棱锥中PA、AB、AC两两互相垂直，则二面角的正切值为_______..
29. 已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______.
30. 已知，则_______..
三、解答题（本大题共7小题，共45分.请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
31. （6分）已知集合集合，若求a的取值范围.
32. （6分） 如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少?
33. （6分）已知数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
34. （6分）已知正弦型函数的图像如图所示.

（1）求函数解析式；
（2）求函数取得最小值时x的集合.
35. （7分）已知抛物线直线l经过抛物线的焦点F和点，且交抛物线于A、B两点.
（1）求AB;
（2）求三角形OAB的面积.
36. （7分）已知圆的直径为AB，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO.
（1）求证：点为的中点;
（2）若平面平面，求证：.
37. （7分）一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球.
（1）求取到不同颜色球的概率；
（2）有放回的取3次，求至少两次取到不同颜色球的概率.
----【答案完全解析】----
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1. 【答案】C
【解题指南】根据解一元二次方程可以求出集合N，再根据集合并集运算易得答案.
【解析】因为，所以.故选C
2. 【答案】C
【解题指南】根据不等式的性质和指数函数，对数函数的单调性逐个解题指南即可.
【解析】A选项，当时，则有，所以A错误.B选项，当时，则有，所以B错误.C选项，由于为增函数，且，则，所以C正确.D选项，由于为增函数，当时，，且，则，所以D 错误. 故选C.
3. 【答案】D
【解题指南】根据偶函数的性质解题指南即可.
【解析】A项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
，所以不是偶函数，
B项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
，所以不是偶函数，
C项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
，所以不是偶函数，
D项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
，所以是偶函数.故选D.
4.【答案】B
【解题指南】根据三角函数值求角和特殊角的三角函数值来进行判断.
【解析】因为当时，或，
而当时，成立，所以是的必要不充分条件.故选B.
5. 【答案】B
【解题指南】换元法得到函数解析式即可.
【解析】设，则，代入原函数得．即．故选B.
6. 【答案】C
【解题指南】根据各象限三角函数值的正负即可求解.
【解析】因为点P在第三象限，所以.即终边在第三象限.故选C.
7. 【答案】B
【解题指南】根据正弦定理求得的值，进而求得A，再由三角形内角和为，即可求得B.
【解析】由正弦定理可得，所以，解得，
因为，所以或，当时，，
当时，.故选B.
8. 【答案】D
【解题指南】根据向量线性运算的坐标表示和向量模长的计算公式以及线段中点坐标公式判断每个选项即可.
【解析】由向量可知A错误.由可知B错误.
由于单位向量是指模为1的向量，，所以不是单位向量，所以C错误.
线段的中点坐标为，即，所以D正确.故选D.
9. 【答案】D
【解题指南】根据指数函数的单调性比较大小即可.
【解析】因其中，所以在为减函数，
因为，且有，所以即.
故选D.
10. 【答案】D
【解题指南】这是一道关于等差数列应用的题目，关键是掌握等差数列的通项公式.
【解析】因为，，公差，所以，.，，
所以.故选D
11. 【答案】D
【解题指南】先根据两条直线平行求解参数，再求解直线间的距离求解即可.
【解析】由题意得，解得，所以两直线方程为与，即与，所以两直线间的距离为．
故选D.
12. 【答案】D
【解题指南】设双曲线的渐近线方程为，因为渐近线过点，则，再根据已知条件即可求解.
【解析】设双曲线的渐近线方程为，因为渐近线过点，则，
又因为双曲线一顶点为，中心在原点，对称轴为坐标轴，所以，焦点在x轴上，
所以双曲线方程为.故选D.
13. 【答案】D
【解题指南】根据二项式定理，求解指定项的系数即可.
【解析】二项式的展开式中，第8项为，第8项的系数为.故选D.
14. 【答案】D
【解题指南】利用线面平行、垂直的知识判断.
【解析】选项A中，要证明α//β，需要一个平面上两条相交直线与另一个平面平行，错误；
选项B中，要证明，一个平面上的一条直线垂直于另一个平面上的两条相交直线，条件不足，错误；选项C中，若α//β，仅能证明，或，条件不足，错误；选项D中，直线，直线，且，，则，证明成立，正确.故选D.
15. 【答案】C
【解题指南】首先分情况讨论，然后运用排列和分类计数原理计算出方案的种数.
【解析】当甲分到两本书时，则甲分到数学书的方案有种.当甲分到一本书时，乙丙二人中需有一人分到两本书，则甲分到数学书的方案有种.所以甲分到数学书的方案共有种.故选C.
二、填空题（本大题有15个小空，每空2分，共30分.请将正确答案填在答题卡中对应题号后面的横线上，不填、填错不得分）
16. 【答案】
【解题指南】根据分段函数和复合函数的概念求函数值即可.
【解析】当时，，当时，，所以，
17. 【答案】
【解题指南】根据不等式的解集可得方程的根，代入即可求解.
【解析】因为是不等式 的解集，所以和是方程的两个根.
则，解得.所以.
18. 【答案】
【解题指南】根据指数函数的性质和对数的运算性质解题指南即可.
【解析】因为，又在定义域上单调递增，
所以，因为在上单调递增，又因为，
所以a，b，c按由小到大的顺序排列为.
19. 【答案】
【解题指南】利用余弦定理表示出，将已知等式代入计算求出的值，由∠A是的内角，利用特殊角的三角函数值即可求解.
【解析】因为即所以
因为∠A是的内角，所以.
20. 【答案】
【解题指南】根据特殊角的三角函数值，指数幂的运算即可求解.
【解析】.
21. 【答案】
【解题指南】根据向量平行关系，求出m的值，再计算的值即可.
【解析】由题意得, 解得，所以，，
所以，所以，
22. 【答案】
【解题指南】先由函数是幂函数求解m的值，再由幂函数的图像即可求解函数的单调递增区间.
【解析】因为函数是幂函数，所以，所以幂函数为，
图像如下，
所以该函数的单调递增区间为.
23. 【答案】15
【解题指南】利用等比数列的通项公式，求出和,再用等比数列求和公式求出.
【解析】设数列an的首项为，公比为,因为,，所以解得,
所以数列an的前项和.
24. 【答案】
【解题指南】根据对数的真数大于0结合解含绝对值的不等式的方法即可求解.
【解析】由题意得，，则，即.所以函数的定义域为.
25. 【答案】
【解题指南】首先根据诱导公式和正弦的二倍角公式化简，然后根据正弦函数的最值求出的最大值.
【解析】由，可得，
因为的最大值为1，所以的最大值为.
26. 【答案】
【解题指南】根据弦长公式求弦长即可.
【解析】已知中，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长为.
27. 【答案】
【解题指南】利用直线方程得到直线与坐标轴的交点坐标，结合椭圆方程的长轴长大于短轴长的性质得到长半轴和短半轴的值，应用的关系计算出半焦距的值，从而得到椭圆的离心率.
【解析】直线与坐标轴的交点为和，结合椭圆的性质可得,，
所以，所以椭圆的离心率为,
28. 【答案】5
【解题指南】运用二面角平面角及求法，直线与平面垂直的性质解题即可.
解析】作，并连接PH.
因为，平面，平面，.
所以平面，
因为平面，所以.
因为，平面，平面，，
则平面，因为平面，所以.
故二面角为，
因为两两相互垂直，所以，则，
根据等面积法，可得，即，则.
二面角的正切值为.
29. 【答案】
【解题指南】先由平行直线找到异面直线所成的角，再由边的关系求解即可.
【解析】取AB中点记H，连接CH，DH，EH，因为G，H分别为CD，AB中点，
因为为矩形，所以，，所以为平行四边形，所以，
所以为直线CE与AG所成角，因为ABCD是矩形，为正方形，，
所以，，因为矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，
所以可知面ABCD，面ABCD，所以，所以为直角，即，因为在三角形EHC中有，，
所以三角形EHC为直角三角形，所以在直角三角形EHC中有，，
所以，所以直线CE与AG所成角为.
30. 【答案】
【解题指南】根据组合数的性质求出的值，然后根据排列数的计算公式求出即可.
【解析】因为，所以或，
解得或（舍去），则.
三、解答题（本大题共7小题，共45分.请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
31. 【解题指南】由可知A、B有重合部分，然后利用集合端点值间的关系列不等式得答案.
【解析】，，
因为，则，所以或，且，
即或，且，所以.故a的取值范围为：.
32. 【解题指南】根据矩形的面积公式即可求出矩形的面积，再根据二次函数的性质即可求出最大面积.
【解析】设矩形的长FG为x米，宽EF为y米，因为切去的三个角都是等腰直角三角形，
所以，因为，所以，
所以矩形的面积，
所以当时，函数有最大值，
即当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米.
33. 【解题指南】（1）由数列的与的关系求解通项公式即可.
（2）由数列的通项公式，先求解，再根据前n项和公式求解即可.
【解析】（1），，
所以，
当时，，，相等满足题意，
所以数列的通项公式为.
（2），因为，，
所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
数列的前n项和.
34. 【解题指南】（1）观察图像找出正弦型函数的最值，周期等求出解析式.（2）根据（1）中解析式求出函数取得最小值时x的集合.
【解析】（1）由图像可以看出的最大值为，最小值为，
所以，且，则，所以，
将代入中，可得，
即，所以，
即，且由图像可知，所以.
所以函数解析式为
（2）当函数取得最小值时，令，
则有，
即
35. 【解题指南】（1）根据抛物线的标准方程求出焦点，再求得直线方程，联立方程组结合两点间的距离公式即可求解.
（2）根据点到直线的距离公式结合三角形的面积公式即可求解.
【解析】（1）由题意得，抛物线的焦点F0,1.则直线的斜率为.
由斜截式方程可得，直线方程为.联立方程，则.
设点，则.
所以
.
（2）由（1）得，，直线的方程为.
则点O到直线的距离为三角形的高，即.
所以三角形的面积为.
36. 【解题指南】（1）由线面平行的性质证出线线平行即，再由中点得到为的中位线即可证明为中点.
（2）由圆的直径所对圆周角为直角证出，再根据面面垂直性质证明平面，即可证明平面，进而证明.
【解析】（1）证明：因为平面，且平面，
平面平面，所以，
又因为为直径AB的中点，所以为的中位线，所以为中点.
（2）因为AB为圆O的直径，C为圆周上一点，所以，所以.
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
又由（1）知，，所以平面.
又因为平面，所以.
37. 【解题指南】（1）运用组合和古典概型的公式求概率.
（2）至少两次取到不同颜色球，即取到两次或三次，利用独立重复试验的概率公式分别求出，再相加即可.
【解析】（1）一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球，
设取到不同颜色球为事件，则
（2）一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球，
有放回的取3次，为任取两球的独立重复试验，每次取到不同颜色球的概率为，
则至少两次取到不同颜色球的概率为
题型
题号
分值
试题难度
考查的主要知识点
预期
得分率
易
中
难
选择题
1
3
√
集合的并集运算（一元二次方程求解）
0.85
选择题
2
3
√
不等式性质与指数、对数函数单调性
0.75
选择题
3
3
√
函数的奇偶性判断（定义域对称性）
0.80
选择题
4
3
√
充分条件与必要条件（三角函数值对应关系）
0.70
选择题
5
3
√
函数解析式求解（换元法）
0.80
选择题
6
3
√
三角函数终边象限判断（点坐标符号）
0.85
选择题
7
3
√
正弦定理应用（三角形内角多解问题）
0.65
选择题
8
3
√
平面向量运算、模长与线段中点坐标
0.80
选择题
9
3
√
指数函数单调性（大小比较）
0.70
选择题
10
3
√
等差数列通项公式（公差与首项求解）
0.65
选择题
11
3
√
直线平行的参数求解与两直线距离公式
0.70
选择题
12
3
√
双曲线的顶点、渐近线与标准方程推导
0.65
选择题
13
3
√
二项式定理（指定项系数计算）
0.70
选择题
14
3
√
立体几何线面、面面关系命题判断
0.65
选择题
15
3
√
排列组合（分组分配问题，每人至少 1 本）
0.55
填空题
16
2
√
分段函数的函数值计算（复合函数）
0.85
填空题
17
2
√
一元二次不等式解集与方程根的关系
0.70
填空题
18
2
√
指数、对数的大小比较（函数单调性应用）
0.65
填空题
19
2
√
余弦定理（已知边的关系求内角）
0.70
填空题
20
2
√
三角函数、指数幂的混合运算
0.65
填空题
21
2
√
平面向量平行的性质与模长计算
0.80
填空题
22
2
√
幂函数的定义与单调递增区间
0.80
填空题
23
2
√
等比数列的通项公式与前 n 项和
0.85
填空题
24
2
√
函数定义域（对数真数、绝对值不等式）
0.80
填空题
25
2
√
三角函数化简（诱导公式、二倍角）与最值
0.70
填空题
26
2
√
圆的弦长计算（圆心距、半径关系）
0.70
填空题
27
2
√
椭圆的顶点与离心率计算
0.65
填空题
28
2
√
二面角的平面角与正切值计算
0.50
填空题
29
2
√
异面直线所成角的求解（平行转化）
0.50
填空题
30
2
√
组合数性质与排列数计算
0.65
解答题
31
6
√
集合的交集运算与参数取值范围
0.70
解答题
32
6
√
二次函数的实际应用（矩形面积最值）
0.75
解答题
33
6
√
数列通项公式（前 n 项和与通项关系）、等比数列前 n 项和
0.70
解答题
34
6
√
正弦型函数解析式（最值、周期、相位）与最小值条件
0.70
解答题
35
7
√
抛物线焦点、直线方程、弦长公式与三角形面积
0.55
解答题
36
7
√
立体几何证明（线面平行推导中点、面面垂直推导线线垂直）
0.50
解答题
37
7
√
古典概型（不同颜色球概率）、独立重复试验概率
0.60