2025年河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试卷（完全解析）

这是一份2025年河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试卷（完全解析），共16页。

2025年河北省普通高等学校对口招生文化考试
数学试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 直线与轴的交点坐标为 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的定义域为 （ ）
A. B. C. D.
7. 如图，函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知向量，，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
9. 已知，，则 （ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
10. 已知数列均为等差数列，，，则（ ）
A. 9B. 11C. 12D. 13
11. 如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（ ）

A. B.
C. D.
12. 已知是一次函数，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
13. 已知数列是首项为1的等比数列，，则的前6项和为（ ）
A. 15B. 31C. 63D. 127
14. 在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ）
A. B.
C D.
15. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
16. 已知随机变量的分布列如下：
则ξ的期望为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
17. 过圆内一点 ，且被圆截得的弦长最短的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
18. 《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
19. 已知函数，则函数（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递减
C. 在上单调递增D. 在上单调递增
20. 已知奇函数在上单调递减，，若实数满足，则取值范围是（ ）
A. B.
C D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
21. 已知函数，则______.
22. 计算 ______.
23. 已知，则______.
24. 生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______.
25. 某圆锥的侧面展开图是一个半圆，其体积的值与侧面积的值之比为，则该圆锥的高为______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 45 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤）
26. （8分）已知集合，，若且，求实数a 的取值范围.
27. （8分）记的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）求.
28. （9分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面.
（1）求证：平面；
（2）若点分别为的中点，点在棱上，且，求证：平面.
29. （10分）某企业从一批产品中随机选取部分产品检测质量指标值，并将其作样本，已知质量指标值范围为，将所得数据分成6组：，，…，，，并绘制出如下频率分步直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）已知样本质量指标值在内产品频数为20，求样本容量；
（3）该企业计划从这一批产品中随机选取3件进一步检测，视样本频率为概率，求其中恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率．
30. （10分）已知双曲线中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在双曲线上，点是双曲线的一个焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求点到双曲线的渐近线的距离；
（3）过点作与双曲线的渐近线平行的直线，交双曲线于点，求直线的斜率．
----【答案完全解析】----
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 【答案】A
【解题指南】根据交集的定义求解．
【解析】集合，，则，故选A．
2. 【答案】D
【解题指南】将代入直线方程中即可得解.
【解析】直线，令，则，解得，
所以与轴交点坐标为，故选.
3. 【答案】D
【解题指南】根据复数的运算求解即可.
【解析】复数，，所以，故选D.
4. 【答案】A
【解题指南】根据题意解一元二次不等式即可得解.
【解析】不等式，解得或，解集为或，
用数轴表示为
.
故选.
5. 【答案】C
【解题指南】根据诱导公式求解即可.
【解析】因为，则，故选C.
6. 【答案】B
【解题指南】根据真数大于零及二次根式的性质列出不等式组即可得解.
【解析】函数，则，解得，所以定义域为，故选.
7. 【答案】D
【解题指南】根据指数函数的图像与性质判断．
【解析】∵函数在上单调递增，过点，且，∴函数在上单调递减，且过点，且，故ABC不符，D符合，故选D．
8. 【答案】B
【解题指南】根据题意结合平面向量内积的坐标表示即可得解.
【解析】向量，，
则，故选.
9【答案】C
【解题指南】根据题意结合对数的定义求出的值即可得解.
【解析】，，所以，故选.
10. 【答案】A
【解题指南】利用等差中项的性质求解．
【解析】数列均为等差数列，则，，两式相加得，即，解得．故选A．
11. 【答案】C
【解题指南】根据三视图作出该几何体的直观图即可判断.
【解析】由题意，作出该几何体的直观图如下图，

则ABD不符，C符合，故选C.
12. 【答案】A
【解题指南】利用待定系数法求出，进而可得的值．
【解析】由题意，设，∵，
∴，即，∴且，解得，
∴，∴．故选A．
13. 【答案】C
【解题指南】利用等比数列通项公式求出公比，然后利用等比数列的前项和公式求解．
【解析】设数列的公比为，首项，
∵，∴，解得，
∴的前6项和为，故选C．
14. 【答案】B
【解题指南】根据题意结合共面直线与异面直线的定义即可得解.
【解析】选项中，如图所示，连接，因为，
所以四点共面，所以与共面，故正确；选项中，与为异面直线，故选.
15. 【答案】B
【解题指南】根据椭圆的性质，结合已知条件求出椭圆方程中的的值即可．
【解析】∵椭圆的焦距为，∴，即，
∵离心率为，∴，可得，∴，
∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，∴椭圆的标准方程为．故选B．
16. 【答案】C
【解题指南】根据题意结合分布列的性质及期望公式即可得解.
【解析】由分布列可知，，
期望，故选.
17. 【答案】D
【解题指南】根据过圆内一点的所有直线中，与该点和圆心连线垂直的直线被圆截得的弦长最短即可得解.
【解析】令圆，则圆心，
设所求直线为，则，，所以，则直线，化为一般式方程为，故选.
18. 【答案】C
【解题指南】利用捆绑法来计算满足条件的排法种数．
【解析】确定《九章算术》与《孙子算经》的排列顺序，有种方法；从剩下3部著作中选2部放在《九章算术》与《孙子算经》之间进行排列，有种方法；将《九章算术》、中间2部著作、《孙子算经》看作一个整体与剩下1部著作进行排列，有种方法，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为种．故选C．
19. 【答案】A
【解题指南】根据角的范围，结合正弦函数的单调性判断各选项．
【解析】令，．当时，，此时单调递减，
则在上单调递减，故A正确；当时，，
当时，单调递减，即当时，在单调递减；
当时，单调递增，当时，在单调递增，故B错误；
当时，，
当时，单调递减，即当时，在单调递减；
当时，单调递增，当时，在单调递增，故C错误；
当时，，
当时，单调递增，即当时，在单调递增；
当时，单调递减，当时，在单调递减，故D错误，
故选A．
20. 【答案】A
【解题指南】根据奇函数的性质求出，根据题意结合奇函数的性质列出不等式即可得解.
【解析】函数为奇函数，，则，因为函数在上单调递减，
则，所以，解得，所以的取值范围是，故选.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
21. 【答案】2
【解题指南】由内向外代入求值即可．
【解析】函数，则故．
22. 【答案】0
【解题指南】根据组合数的计算，特殊的三角函数值及指数幂的运算法则即可得解.
【解析】原式.
23. 【答案】
【解题指南】先根据已知条件求出的值，进而得到的值，最后利用两角和的正切公式计算出结果．
【解析】∵，∴，
∴，∴.
24. 【答案】
【解题指南】由分步计数原理及古典概型概率公式计算即可.
【解析】由题意，甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，总的基本事件数为，
由分步计数原理，甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的基本事件数为，故概率为.
25. 【答案】4
【解题指南】根据圆锥侧面展开图性质建立圆锥底面半径、母线长与高之间的关系，再结合体积与侧面积的比值求解．
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴半圆的弧长等于圆锥底面的周长，即，可得，∴，
圆锥的体积为，圆锥的侧面积为，
∵圆锥体积的值与侧面积的值之比为，∴，化简可得，解得，
∴圆锥的高．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 45 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤）
26. 【解题指南】根据题意结合元素与集合的关系列出不等式即可得解.
【解析】集合，，则，解得，
集合，，所以满足，即，解得，综上所述，，所以实数a 的取值范围为.
27. 【解题指南】（）根据题意结合正弦定理得出即可得解.
（）根据余弦定理求出，代入正弦定理公式即可得解.
【解析】（1）的内角的对边分别为，
由正弦定理可知，，
由题意可知，所以，
因为，则当时，此时（舍）；
当时，，
综上所述，.
（2）因为，，，由余弦定理可知，，
整理可得，，解得或（舍），
由正弦定理可知，，解得.
28. 【解题指南】（1）由条件可得，，由直线与平面垂直的判定定理证得结论；
（2）设与交于点，由条件可证得，所以，由直线与平面平行的判定定理证得结论．
【解析】（1）因为底面是菱形，所以．
因为平面，平面，所以．
又，平面所以平面．
（2）设与交于点，连接，设与交于点，
因为点分别为的中点，即为的中位线，
所以为的中点，从而，
因为，所以，
则，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
29. 【解题指南】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求解；
（2）根据频数，频率与样本容量的关系求解；
（3）根据独立重复试验的概率公式求解．
【解析】（1）的频率为；的频率为；
的频率为；的频率为；
的频率为；的频率为，
∵频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，
∴，解得．
（2）设样本容量为，∵内产品频数为20，频率为0.2，
∴，解得．
（3）∵质量指标值不低于60的频率为，
∴从这批产品中随机选取1件，质量指标值不低于60的概率为，
∴从这批产品中随机选取3件，恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率为
．
30. 【解题指南】（1）根据双曲线的性质，利用已知的点和焦点信息确定双曲线方程中的参数即可；
（2）先求出双曲线渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算点到渐近线的距离；
（3）先求出过点且与渐近线平行的直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程求出点的坐标，最后根据两点间的斜率公式计算直线的斜率．
【解析】（1）因为点是双曲线的一个焦点，所以半焦距，焦点在轴上．
设双曲线的标准方程为，由点在双曲线上可知，
所以，所以双曲线的标准方程为．
（2）因为双曲线的标准方程为，
所以渐近线方程为，即．
所以点到渐近线的距离为．
（3）双曲线的渐近线方程为，
过点且与渐近线平行的直线方程为．
若取直线，
联立直线与双曲线方程，解得，得，
又，可得；

若取直线，
联立直线与双曲线方程，解得，得，
又，可得，

综上，直线的斜率为．
题型
题号
分
值
试题难度
考查的主要知识点
预估
得分率
易
中
难
选择题
1
3
√
集合的交集运算
0.85
选择题
2
3
√
直线与 x 轴交点坐标求解
0.85
选择题
3
3
√
复数的基本运算
0.80
选择题
4
3
√
一元二次不等式的解集及数轴表示
0.75
选择题
5
3
√
三角函数诱导公式的应用
0.70
选择题
6
3
√
函数定义域（二次根式、分式约束条件）
0.85
选择题
7
3
√
函数图像的单调性与特殊点判断
0.70
选择题
8
3
√
平面向量的数量积运算
0.80
选择题
9
3
√
指数与对数的混合运算
0.75
选择题
10
3
√
等差数列的下标和性质
0.70
选择题
11
3
√
三视图还原几何体直观图
0.55
选择题
12
3
√
一次函数解析式求解及函数值计算
0.80
选择题
13
3
√
等比数列的公比求解与前 n 项和公式
0.70
选择题
14
3
√
正方体中直线的位置关系（共面判断）
0.50
选择题
15
3
√
椭圆的焦距、离心率与标准方程
0.75
选择题
16
3
√
随机变量分布列性质与数学期望计算
0.80
选择题
17
3
√
圆的最短弦所在直线方程求解
0.65
选择题
18
3
√
排列组合（指定元素间隔固定个数的排列）
0.65
选择题
19
3
√
复合函数的单调性判断
0.50
选择题
20
3
√
奇函数的单调性与不等式求解
0.45
填空题
21
3
√
分段函数的函数值计算
0.85
填空题
22
3
√
三角恒等变换（诱导公式、同角三角函数关系）
0.70
填空题
23
3
√
三角函数二倍角公式的应用
0.65
填空题
24
3
√
古典概型（不放回抽样、分步计数原理）
0.60
填空题
25
3
√
圆锥的侧面展开图、体积与侧面积公式综合应用
0.50
解答题
26
8
√
集合的并集、补集运算与参数取值范围求解
0.70
解答题
27
8
√
正弦定理、余弦定理的综合应用（求角、求边）
0.65
解答题
28
9
√
立体几何证明（线面垂直、线面平行）
0.55
解答题
29
10
√
频率分布直方图（参数求解、样本容量计算）、二项分布概率计算
0.60
解答题
30
10
√
双曲线的标准方程、渐近线、点到直线距离、直线与双曲线交点问题
0.45
ξ
3
5
7
P
a
b
a