2025年上海市中考数学一轮复习 练习题 专题21：二次函数与反比例函数（含答案+解析）

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1.下列函数是二次函数的是( )
A. y=1x2B. y=x2−x−22
C. y=2x+3D. y=x2−5x
2.下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是( )
A. y=6xB. y=−6xC. y=6xD. y=−6x
3.二次函数y=x2+4x+a的最小值是2，则a的值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.抛物线y=ax2+bx+c(其中a>0，b>0，c>0)，一定不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y(米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y=−32x2+6x(0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是( )
A. 1米B. 2米C. 5米D. 6米
6.抛物线y=−2x2+1上有两点x1,y1、x2,y2，下列说法中，正确的是( )
A. 若x1y2B. 若x1>x2，则y1>y2
C. 若x1y2
7.下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b(a≠0)的图象，它是( )
A. B. C. D.
8.下列函数中，能同时满足以下三个特征的是( )①函数图象经过点1,−1：②图象经过第二象限；③当x>0时，y随x的增大而增大．
A. y=−xB. y=x−2C. y=−1D. y=−1x
9.反比例函数y=kx的图象如图所示，则二次函数y=2kx2−4x+k2的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：
10.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是______．
11.某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为x(x>0)，如果12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为__________．
12.在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴，y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024，”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是______．
13.将二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为______．
14.二次函数y=x+12−3的图像与y轴的交点坐标为 ．
15.已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点−3,5，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
16.若函数y=mx2−4x+1的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ．
17.已知y=k+1x2+8k，当x>0时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ．
18.已知点A0,m和B−1,n都在抛物线y=x2−4x+c(c是常数)上，那么m n(填“>”，“=”，“x2>0，那么y1 ______y2.(填“>”、“=”、“0,x>0)的图像上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，▵AOC的面积为6，则k值为
24.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3.若点B，E在同一个反比例函数的图像上，则这个反比例函数的表达式是 ．
三、解答题：
25.已知y关于x的函数y=(t+2)xt2−2−2tx−3是二次函数．
(1)求t的值并写出函数解析式；(2)用配方法把该二次函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．
26.在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线经过A(0,−53)和B(5,0)．
(1)求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
27.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知AO=OC=12OB．
(1)求b、c的值；
(2)将抛物线y=−12x2+bx+c平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P．
①如果平移后的新抛物线经过D4,1点，且它的对称轴与以O为圆心，OP长度为半径的⊙O相切，求平移后新抛物线的解析式；
②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得∠OCE=∠CBA，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且OP=3OB，求平移后的新抛物线的顶点坐标．
28.在平面直角坐标系xOy中，已知A(−1,n)，B(5,n)是抛物线y=a(x−m)2+k(a>0)上的两点．
(1)m= ______；
(2)如果该抛物线与x轴交于点C、D(点C在点D的右侧)，且CD=4，四边形ABCD的面积是25，求这个抛物线的表达式．
29.已知：y=y1+y2，并且y1与x−1成正比例，y2与x成反比例．当x=2时，y=5；当x=−2时，y=−9
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)求当x=8时的函数值．
30.电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1=km+b(其中k，b为常数，0≤m≤120)，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m.温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=UR②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求R1关于U0的函数解析式；
(2)用含U0的代数式表示m；
(3)若电压表量程为0∼6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
31.“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离s(单位：米)与滑行时间t(单位：秒)之间的关系式，测得一些数据(如下表)：
为观察s与t的之间的关系，以t为横轴，s为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们(如图所示)，小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分．
(1)由上述信息，设这条曲线的表达式为s=at2+bt+ca≠0，求s与t的函数关系式；
(2)若将拋物线s=at2+bt+ca≠0先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式．
32.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，连接CD，且CD//x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
33.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)经过点P(3,0)、Q(1,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的函数是二次函数．
根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．y=1x2不是二次函数，故该选项不符合题意；
B.y=x2−x−22=4x−4，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C.y=2x+3是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D.y=x2−5x是二次函数，故该选项符合题意；
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：A选项，y=6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y=−6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y=6x的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y=−6x的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3.【答案】C
4.【答案】D
【解析】根据已知条件a>0，b>0，c>0判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第四象限．
【详解】解：∵a>0、c>0，
∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；
∵a>0，b>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴是直线x=−b2a