2025年上海市中考数学一轮复习 练习题 专题19：四边形（含答案+解析）

这是一份2025年上海市中考数学一轮复习 练习题 专题19：四边形（含答案+解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是( )
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
2.已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
3.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. ∠ADB=∠CBD，AB/​/CD
B. ∠ADB=∠CBD，∠DAB=∠BCD
C. ∠DAB=∠BCD，AB=CD
D. ∠ABD=∠CDB，OA=OC
4.已知四边形ABCD中，AB//CD,AC=BD，下列判断中的正确的是( )
A. 如果BC=AD，那么四边形ABCD是等腰梯形
B. 如果AD//BC，那么四边形ABCD是菱形
C. 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形
D. 如果AC⊥BD，那么四边形ABCD是正方形
5.如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若□ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A. 14B. 13C. 12D. 10
6.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了其中两块碎玻璃，其编号应该是( )
A. ①③B. ①②C. ③④D. ②④
7.如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，如果适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形，那么这个条件可以是( )．
A. BA=BCB. AC=BD
C. AB/​/CDD. AC，BD互相平分
8.如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案( )
A. 甲、乙、丙都是B. 只有甲、乙才是C. 只有甲、丙才是D. 只有乙、丙才是
9.如图，在Rt▵ABC中，∠CAB=90 ∘，AD是斜边BC的中线，AE是斜边BC的高，如果AE恰好是DC边上的中线，下列结论错误的是( )
A. AD=CDB. AD=2CEC. AB=2AED. AB=3DE
10.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( )
A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
11.小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具(如图1)，测得对角线AC=10 2cm，将正方形学具变形为菱形(如图2)，∠DAB=60°，则图2中对角线AC的长为( )
A. 20cmB. 10 6cmC. 10 3cmD. 10 2cm
二、填空题：
12.在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC= ______°.
13.如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是__________度．
14.如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ACB= °.
15.如图，E，F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．
16.图形的密铺(或称图形的镶嵌)指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图①所示的是一种五边形密铺的结构图，图②是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C=∠E=90°，∠A=∠B=∠D，则∠A的度数是 ．
17.将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形(图中阴影部分)的一个锐角顶点在另一个三角形内，含30°角的直角三角形的30°角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角α和β之间的数量关系是______．
18.我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形.如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边AD的长为 ．
19.如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°，点E是AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则CF的长度为______．
20.在▵ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B=42 ∘，则∠EPF的度数为 ．
21.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF=2AE=2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DE并延长交BC于点N，连接MN，则MB= ．
22.如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
23.在菱形ABCD中，点E为边BC的中点．联结AE，将▵ABE沿着AE所在的直线翻折得到▵AFE，点B落在点F处，延长AF交边CD于点G.如果EF的延长线恰好经过点D，那么AFAG的值为 ．
三、解答题：
24.如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形．
25.如图，在▱ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
26.同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形(直角三角板互不重叠)．
(1)求：①两个直角三角形的直角边(结果用ℎ表示)；
②平行四边形的底、高和面积(结果用ℎ表示)；
(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
27.如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形
(2)如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长
28.如图，已知在Rt▵ABC中，∠ABC=90 ∘，E为AC的中点，在图中作点D，使AD/​/BE，且∠ADC=90 ∘，在AD上取点F，使得FD=BE，分别联结EF、ED、BD，试判断EF与BD之间的位置关系，并证明．
29.簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
(1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 (填序号)①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形
(2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由
30.已知在Rt▵ABC中，∠C=90 ∘，AC=BC=4，斜边AB的中点为P点，动点D、E分别在边AC、CB上，且∠DPE=90 ∘．
(1)求证：PD=PE；
(2)设CD=x，PE2=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3)若▵PBE为等腰三角形，请直接写出CD的长．
31如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，连接BD交AP于点E，连接CE．
(1)如果AE=CE．
ⅰ.求证：▱ABCD为菱形；
ⅱ.若AB=5，CE=3，求线段BD的长；
(2)分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE= 2AE，求ABBC的值．
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】
解：如图所示：
A、∵∠ADB=∠CBD，
∴AD/​/BC，
∵AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠CBD，
∴AD/​/BC，
∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠DAB=∠BCD，
∴∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∠DAB=∠BCD，AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵∠ABD=∠CDB，∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
4.【答案】C
【解析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A.如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误；
B.如果AD//BC，那么四边形ABCD是矩形，错误；
C. 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确；
D.如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误；
故选：C．
5.【答案】C
6.【答案】A
【解析】解：∵①，③两块含有原平行四边形的一组对角，角的两边互相平行，且只有①，③两块玻璃中间部分相连，
∴一组对角的两边延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，从而可以确定平行四边形的形状和大小，
故选：A．
根据图形可知只有①，③两块玻璃中间部分相连且含有原平行四边形的一组对角，再结合平行四边形的判定，即可解答．
本题考查了平行四边形的判定，结合图形分析是解题的关键．
7.【答案】D
8.【答案】A
【解析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由▵ABN≌▵CDM，可得BN=DM，即可得ON=OM，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案：方法同乙方案．
【详解】连接AC,BD交于点O
甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,BO=DO
∵BN=NO,OM=MD
∴ON=OM
∴ 四边形ANCM为平行四边形．
乙方案：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD，AO=CO,BO=DO
∴∠ABN=∠CDM
又∵AN⊥BD,CM⊥BD
∴∠ANB=∠CMD
∴△ABN≌△CDM(AAS)
∴BN=DM
∵BO=DO
∴ON=OM
∴ 四边形ANCM为平行四边形．
丙方案：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD，AO=CO,BO=DO，∠BAD=∠BCD
∴∠ABN=∠CDM
又∵AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD
∴12∠BAD=12∠BCD，即∠BAN=∠DCN
∴△ABN≌△CDM(ASA)
∴BN=DM
∵BO=DO
∴ON=OM
∴ 四边形ANCM为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
9.【答案】D
【解析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得到AD=BD=CD，即可判断A选项；然后证明出△ADC是等边三角形，得到AD=CD=2CE，即可判断B选项；然后利用含30 ∘角直角三角形的性质即可判断C选项；然后根据勾股定理即可判断D选项．
【详解】解：∵在Rt▵ABC中，∠CAB=90 ∘，AD是斜边BC的中线，
∴AD=BD=CD，故 A正确；
∵AE恰好是DC边上的中线，
∴DE=CE
∵AE是斜边BC的高，
∴∠AED=∠AEC=90 ∘
∴AE垂直平分CD
∴AD=AC，
∴AD=AC=CD
∴△ADC是等边三角形
∴AD=CD=2CE，故 B正确；
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=12∠ADC=30 ∘
∴AB=2AE，故 C正确；
∵△ADC是等边三角形，AE⊥CD
∴AD=AC=2DE
∴AE= AD2−DE2= 3DE
∴AB=2AE=2 3DE，故 D错误．
故选：D．
10.【答案】A
11.【答案】C
【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AC=10 2cm，
∴AB=AD= 22AC=10cm，
在图2中，连接BD交AC于O，
∵∠DAB=60°，AB=AD=10cm，
∴△ABD是等边三角形，则BD=10cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=12BD=5cm，AO=CO，AC⊥BD，
∴AO= AB2−BO2= 102−52=5 3(cm)，
∴AC=2AO=10 3(cm)，
故选：C．
先利用正方形的性质得到AB=AD=10cm，在图2中，连接BD交AC于O，证明△ABD是等边三角形得BD=10cm，再根据菱形的性质和勾股定理求得AO的长即可求．
本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．
12.【答案】57
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠ABC=66°，
∴∠BAC=12×(180°−66°)=57°．
故答案为：57．
由菱形的性质得到AB=BC，推出∠BAC=∠BCA，而∠ABC=66°，由三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数．
本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出AB=BC．
13.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和，熟记公式是解题的关键．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列出方程求出n，再求出中心角
【解析】
解：设它的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=720°，
解得n=6．
中心角为：360°6=60°
14.【答案】24
【解析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108 ∘和正六边形的内角120 ∘，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
【详解】解：由题意可得，正五边形的每个内角为5−2×180 ∘÷5=108 ∘，正六边形的每个内角为6−2×180 ∘÷6=120 ∘，
则∠BAC=360 ∘−108 ∘−120 ∘=132 ∘，
∵AB=AC，
∴∠ACB=180 ∘−132 ∘2=24 ∘．
故答案为：24．
15.【答案】BE=DF
/BF=DE
/∠BAE=∠DCF
16.【答案】120°
【解析】∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(5−2)×180°=540°，∠A=∠B=∠D，∠C=∠E=90°，∴3∠A+2×90°=540°，则∠A=120°.故答案为120°．
17.【答案】α+β=75°
【解析】解：如图，
由题意知，∠A=30°，∠C=45°，∠ADC=180°−β，∠ABC=180°−α，
∴180°−β+45°+180°−α+30°=360°，
∴α+β=75°，
故答案为：α+β=75°．
根据四边形内角和为360度列式求解即可．
本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形是关键．
18.【答案】 13或1
【解析】解：如图：
AD= 32+22= 13，
如图：
AD=1．
故答案为： 13或1．
根据定义可以画出两个图，进而得出答案．
本题主要考查新定义问题，多边形和勾股定理，理解新定义是解题的关键．
19.【答案】72
【解析】解：如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．
∵∠ABC=60°，BC=4，
∴∠BCK=30°，
∴BK=2，CK= 42−22=2 3，
∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，
∴点E到CD的距离是2 3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠ABC，∠A=∠BCD，
由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，
∴BC=GC，∠ABC=∠G，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠GCF，
在△BCE和△GCF中，
∠ABC=∠G∠BCE=∠GCFBC=GC，
∴△BCE≌△GCF(ASA)；
∴CE=CF，
∵∠ABC=60°，∠EPB=90°，
∴∠BEP=30°，
∴BE=2BP，
设BP=m，则BE=2m，
∴EP= BE2−BP2= 3m，
由折叠可知，AE=CE，
∵AB=6，
∴AE=CE=6−2m，
∵BC=4，
∴PC=4−m，
在Rt△ECP中，
由勾股定理得(4−m)2+( 3m)2=(6−2m)2，
解得m=54，
∴EC=6−2m=6−2×54=72，
∴CF=EC=72．
故答案为：72．
如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P.可得CK= 42−22=2 3，可得点E到CD的距离是2 3，证明△BCE≌△GCF(ASA)；可得CE=CF，设BP=m，则BE=2m，EP= BE2−BP2= 3m，由勾股定理得(4−m)2+( 3m)2=(6−2m)2，再求解m即可，可得CF=EC=72．
本题考查翻折变换(折叠问题)，平行四边形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键．
20.【答案】96 ∘
【解析】本题考查的是直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角．根据直角三角形两个锐角互余求出∠BCE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到PF=12AC=PC，PE=12AC=PC，根据等边对等角可得∠PFC=∠PCF，∠PEC=∠PCE，再根据三角形的外角的性质可得：∠EPF=2∠BCE=96 ∘．
【详解】解：∵CE⊥BA，∠B=42 ∘，
∴∠BCE=48 ∘，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF=12AC=PC，PE=12AC=PC，
∴∠PFC=∠PCF，∠PEC=∠PCE，
∵∠APF是▵PFC的外角，
∴∠APF=∠PFC+∠PCF=2∠PCF，
同理可得：∠APE=∠PEC+∠PCE=2∠PCE，
∴∠EPF=2∠PCF+2∠PCE=2∠BCE=96 ∘，
故答案为：96 ∘．
21.【答案】23
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟知全等三角形的判定和性质相似三角形的判定与性质等知识．首先根据全等三角形的判定定理证出▵DAE≌▵DCF，得出∠ADE=∠CDF，再证出▵DAM≌▵DCN，得出AM=CN，再根据CN//AD证出▵DAF∽▵NCF，并得出CNAD=CFAF=13，由此即可得出MB的值．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠DCF=45 ∘，
∠DAM=∠DCN=90 ∘，
∵EF=2AE=2CF，
在▵DAE和▵DCF中，
AD=CD∠DAE=∠DCFAE=CF,
∴▵DAE≌▵DCFSAS，
∴∠ADE=∠CDF，
在▵DAM和▵DCN中，
∠ADE=∠CDFAD=CD∠DAM=∠DCN,
∴▵DAM≌▵DCNASA，
∴AM=CN，
∵AB=BC，
∴BM=BN，
∵CN//AD，
∴∠DAE=∠FCN,∠ADN=∠CNF，
∴▵DAF∽▵NCF，
∴CNAD=CFAF=13，
∵AD=1，
∴CN=13,BN=1−13=23，
∴MB=BN=23．
故答案为：23．
22.【答案】3或32
【解析】【分析】
分当∠B′EC=90°时和当∠EB′C=90°时两种情况分别画出图形，利用折叠的性质和勾股定理求解即可；
本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及直角三角形的概念，能根据题意正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
【解答】
解：当∠B′EC=90°时，如图，
∴∠BEB′=90°，
∵长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠BEA=∠B′EA=45°，
∴BE=AB=3；
当∠EB′C=90°时，如图，
在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠B=∠AB′E=90°，EB=EB′，AB′=AB=3，
又∵∠EB′C=90°=∠AB′E，
∴点A、B′、C共线，即点B′在AC上，CB′=AC−AB′=5−3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，
在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=(4−x)2，解得x=32，
即BE=32，
综上所述，BE的长为3或32．
23.【答案】34
/0.75
【解析】延长AG、BC交于点M，由菱形的性质得AB=AD=DC=BC，AB/​/DC，AD/​/BC，则∠DCE+∠ABE=180 ∘，由折叠得∠ABE=∠AFE，AB=AF，则∠DCE+∠AFE=180 ∘，AD=AF，而∠AFD+∠AFE=180 ∘，所以∠DCE=∠AFD=∠ADF，推导出DE=DC=BC=AD，可证明▵DCE≌▵ADF，得CE=DF，则CE=BE=12BC，所以DF=12DE，则DF=EF，再证明▵ADF≌▵HEF，得AD=HE，再证明▵HCG∽▵ADG，得HGAG=ACAD=12，则AG=23AH，而AF=HF=12AH，即可求得AFAG=34，于是得到问题的答案．
【详解】解：延长AG、BC交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC，AB/​/DC，AD/​/BC，
∴∠DCE+∠ABE=180 ∘，
由折叠得∠ABE=∠AFE，AB=AF，
∴∠DCE+∠AFE=180 ∘，AD=AF，
∵∠AFD+∠AFE=180 ∘，
∴∠DCE=∠AFD，
∵∠ADF=∠AFD=∠DEC，
∴∠DCE=∠ADF=∠DEC，
∴DE=DC=BC=AD，
在△DCE和▵ADF中，
∠DCE=∠ADF∠DEC=∠AFDDC=AD,
∴▵DCE≌▵ADFAAS，
∴CE=DF，
∵点E为边BC的中点，
∴CE=BE=12BC，
∴DF=12DE，
∴DF=EF，
∴在▵ADF和▵HEF中，
∠ADF=∠HEFDF=EF∠AFD=∠HFE,
∴▵ADF≌▵HEFASA，
∴AD=HE，AF=HF，
∴CE=12BC=12AD=12HE，
∴HC=CE=12AD，
∵HC//AD，
▵HCG∽▵ADG，
∴HGAG=ACAD=12，
∴AG=23AH，
∵AF=HF=12AH，
∴AFAG=12AH23AH=34，
∴AFAG的值为34．
故答案为：34
24.【答案】证明：在▵ABC和▵CDA中，∠B=∠D,∠1=∠2,AC=CA,
∴▵ABC≌▵CDAAAS.∴AB=CD，BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形．

25.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，且AB=CD，
又∵AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，
即BE=DF，
∴BE/​/DF且BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质的有关知识，在平行四边形ABCD中，易得AB/​/CD，BE=DF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形BFDE为平行四边形．
26.【答案】解：(1)①如图，△ABC为等腰直角三角板，∠ACB=90°，则AC=BC=ℎsin45∘= 2ℎ，
如图，△DEF为含30°的直角三角形板，∠DEF=90°，∠F=30°，D=60°，则EF=2ℎ，DE=ℎsin60∘=2 33ℎ；
综上，等腰直角三角板直角边为 2ℎ，含30°的直角三角形板直角边为2ℎ和2 33ℎ；
②由题意可知∠MNG=∠NGH=∠GHM=∠HMN=90°，
∴四边形MNGH是矩形，
由图可得，MN= 2ℎ−2 33ℎ=3 2−2 33ℎ，MH=2ℎ− 2ℎ=(2− 2)ℎ，
∴S矩形MNGH=MN⋅MH=3 2−2 33ℎ×(2− 2)ℎ=6 2−6−4 3+2 63ℎ2，
故平行四边形的底为(2− 2)ℎ，高为3 2−2 33ℎ，面积为6 2−6−4 3+2 63ℎ2，
(2)如图，即为所作图形．

【解析】(1)①解直角三角形即可求解；②由题意可知四边形MNGH是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积；
(2)根据题意画出图形即可．
本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键．
27.【答案】(1)∵∠ADE=∠BAD，
∴AB//ED，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90º，
∵BC垂直平分AC，
∴∠BFA=90º，
∴∠EAC=∠BFA，
∴AE//BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
(2)∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADB，
∵∠ADE=∠BAD，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BA=BD，
∵AB=5，
∴BD=5
过B作BH⊥AD，
∴AH=HD=3，
∴BH=4，
∵DA×BH=DB×AF，
∴AF=245，
∴AC=485．

【解析】【分析】(1)分别证明AB//ED，AE/​/BD，得出结论；
(2)利用勾股定理求出BH=4，再利用等积法求出AF=245，得出结论．
本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
28.【答案】解：EF⊥BD，证明如下：
∵在Rt▵ABC中，∠ABC=90 ∘，E为AC的中点，
∴BE=12AC，
∵在Rt▵ACD中，∠ADC=90 ∘，E为AC的中点，
∴DE=12AC，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵AD//BE，
∴∠EBD=∠ADB，
∴∠EDB=∠ADB，即BD平分∠ADE，
又∵BE=DE，FD=BE，
∴DE=FD，
∴EF⊥BD(等腰三角形的三线合一)．

【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=12AC=DE，根据等腰三角形的性质可得∠EBD=∠EDB，再根据平行线的性质可得∠EBD=∠ADB，从而可得∠EDB=∠ADB，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论．
29.【答案】【小题1】
③
【小题2】
解：n=6，理由如下：
由题意得，这n个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图2可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是120 ∘，
∴n−2⋅180 ∘=120 ∘⋅n，
解得：n=6，
故答案为：6．

【解析】1.
本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论；
【详解】解：①正三角形的内角是60 ∘，60 ∘×6=360 ∘，可以密铺，不符合题意；
②正四边形的内角是90 ∘，60 ∘×3+90 ∘×2=360 ∘，可以密铺，不符合题意；
③正五边形的内角是108 ∘，60 ∘×2+108 ∘×2=336 ∘≠360 ∘，不能密铺，符合题意；
④正六边形的内角是120 ∘，60 ∘×2+120 ∘×2=360 ∘，可以密铺，不符合题意；
故答案为：③；
2.
根据正六边形各内角的度数即可得出结论．
30.【答案】【小题1】
如图1，过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，
则∠PFD=∠PGE=90 ∘，
∵∠ACB=90 ∘，
∴四边形FCGP是矩形，
∴∠FPG=90 ∘，
∵∠DPE=90 ∘，
∴∠DPF+∠DPG=∠EPG+∠DPG=90 ∘，
∴∠DPF=∠EPG，
∵P是AB中点，
∴AP=BP，
∵PF//BC，
∴AF=CF，
∴PF=12BC，
同理PG=12AC，
∵AC=BC，
∴PF=PG，
∴▵PDF≌▵PEGASA，
∴PD=PE；
【小题2】
如图1，∵F是AC中点，AC=4，
∴CF=2，
∵CD=x，
∴DF=2−x，
∵PF=PG，
∴矩形FCGP是正方形，
∴PF=CF=2，
∵PD2=DF2+PF2=2−x2+22=x2−4x+8，PE=PD，
∴y=PE2=PD2=x2−4x+80≤x≤4，
即y=x2−4x+80≤x≤4；
【小题3】
如图2，连接CP，
∵∠ACB=90 ∘，AC=BC=4，
∴AB= 2AC=4 2，
∵P是AB中点，
∴PC=PB=12AB=2 2，CP⊥AB，∠ACP=∠BCP=12∠ACB=45 ∘，
∴∠CPB=∠DPE=90 ∘，
∴∠CPD+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90 ∘，
∴∠CPD=∠BPE，
∵∠PCD=∠B=45 ∘，
∴▵PCD≌▵PBEASA，
∴当▵PBE是等腰三角形时，▵PCD也是等腰三角形，
当PC=PD=2 2时，∠PCD=∠PDC=45 ∘，
∴点D与点A重合，
∴CD=CA=4；
当CD=CP=2 2时，成立；
当DP=DC时，∠DPC=∠DCP=45 ∘，
∴∠CDP=90 ∘，点D与点F重合，
∴CD=CF=2．
综上，CD的长为：2或2 2或4．

【解析】1.
过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，可得四边形FCGP是矩形，得到∠FPG=90 ∘，结合∠DPE=90 ∘，可得∠DPF=∠EPG，根据三角形中位线性质可得PF=12BC，PG=12AC，得到PF=PG，可得▵PDF≌▵PEGASA，得到PD=PE；
2.
根据中点性质可得CF=2，结合CD=x，得到DF=2−x，可证矩形FCGP是正方形，得到PF=CF=2，根据勾股定理得到PD2=DF2+PF2=x2−4x+8，根据PE=PD，得到y=x2−4x+80≤x≤4；
3.
连接CP，根据等腰直角三角形性质可得PC=PB，CP⊥AB，得到∠CPD=∠BPE，结合∠PCD=∠B，证得▵PCD≌▵PBEASA，可知▵PCD是等腰三角形，当PC=PD时，点D与点A重合，可得CD=4；CD=CP=2 2，成立；当DP=DC时，∠DPC=∠DCP=45 ∘，可得∠CDP=90 ∘，点D与点F重合，得到CD=2．
31.【答案】(1)i.证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
在△AOE和△COE中，
OA=OCAE=CEOE=OE
∴△AOE≌△COE(SSS)，
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠COE=180°，
∴∠COE=90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD为菱形；
ii.解：∵OA=OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵P为BC的中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE=2OE，
设OE=x，则BE=2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2=AE2−OE2=32−x2=9−x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2=AB2−OB2=52−(3x)2=25−9x2，
∴9−x2=25−9x2，解得x= 2(负值舍去)，
∴OB=3x=3 2，
∴BD=2OB=6 2；
(2)解：如图，
∵AE=AF，BE=BF，
∴AB垂直平分EF，∠AGE=90∘，
由(1)ⅱ知点E是△ABC的重心，
设CE延长线交AB于点G，
∵F在直线CE上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG=BG=12AB，EG=12CE，
∵CE= 2AE，
∴GE= 22AE，CG=CE+EG=3 22AE，
∴AG2=AE2−EG2=AE2−( 22AE)2=12AE2，
∴AG= 22AE，
∵AB=2AG= 2AE，
∴BC2=BG2+CG2=12AE2+(3 22AE)2=5AE2，
∴BC= 5AE，
∴ABBC= 2AE 5AE= 105．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
(1)i.证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE(SSS)，由全等三角形的性质得出∠AOE=∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；
ii.由重心的性质得出BE=2OE，设OE=x，则BE=2x，由勾股定理得出9−x2=25−9x2，求出x的值，则可得出答案；
(2)得出AB⊥EF，由(1)ⅱ知点E是△ABC的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．