2025年中考数学考前冲刺复习：反比例函数与一次函数难点突破 刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学考前冲刺复习：反比例函数与一次函数难点突破 刷题练习题（含答案解析），共30页。

(1)求线段的解析式．
(2)在直线上求一点，使的面积是8．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，且，．连结并延长交双曲线于点，连结．
(1)直接写出一次函数的解析式以及点的坐标；
(2)求的面积．
3．已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
(3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标．
4．如图1，在矩形中，，，对角线，交于点．动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿着D→C→B运动，同时点Q从点D出发，以相同的速度沿射线 运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止，设点P运动的时间为x，的面积为，的面积为4，的长度为
(1)直接写出，与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；根据函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值精确到，误差不超过）
5．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，将直线沿轴向上平移得到直线，与轴交于点．
(1)求与的解析式；
(2)观察图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，，当的面积为12，直接写出直线向上平移的距离．
6．如图，以矩形的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，各边与x轴、y轴交于点E，N，F，M，，反比例函数的图像与矩形的边分别交于点P，Q，且，直线经过P，Q两点．
(1)请分别求出直线l和反比例函数的表达式；
(2)连接．
①求证：；
②线段与反比例函数图像是否有公共点，如有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点．
(1)求a，k的值；
(2)y轴上有一点C，满足的面积为8，求点C坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线向上平移后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且点的横坐标为1，求平移后直线的函数表达式．
9．如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式解集．
(3)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)若将一次函数的图象向下平移6个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积．
11．已知反比例函数（）与正比例函数交于、两点，且点坐标为；
(1)求、的值；
(2)直线与一次函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，结合函数图象，直接写出的取值范围： ．
12．如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围：
(3)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
13．如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．
(1)求k，a，m，n的值；
(2)反比例函数图象上有两点，，试比较与的大小．
14．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．

(1)求点，的坐标及一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)连接，，直接写出的面积．
15．几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下：
(1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标；
(2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值；
(3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值．
参考答案
1．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，求一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先求出，再代入反比例函数求出，然后运用待定系数法进行求出，即可作答．
（2）作轴交于，且，得．即．则，所以，，得．再求出的坐标为．当时，也符合题意．显然，为原点，即可作答．
【详解】（1）解：将代入直线，
得．
则．
．
将代入双曲线，得．
．
则．
设线段的解析式为．
把代入，
则
解得，．
线段的解析式为．
（2）解：作轴交于，且
由，得．
．
则．
．
．
由，得．
点的纵坐标为．
由，得．
点的坐标为．
当时，也符合题意．
显然，为原点．
综上，点的坐标为或．
2．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的性质，根据对称性求得点的坐标是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可，根据、两点关于原点对称，可得；
（2）过点作轴交于点，把代入得，则，根据即可求得的面积．
【详解】（1）解：把代入得，
反比例函数的解析式为，
，
将和代入得，
解得，
一次函数的解析式为：，
根据题意得、两点关于原点对称，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：过点作轴交于点，
由（1）得，
把代入得，
，
，
．
3．(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可；
（2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：对于一次函数，
当时，可有，
∴点，
将点的坐标代入反比例函数表达式，
可得 ，
即反比例函数表达式为；
（2）设点的坐标为，则点，
若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，
则有 ，
解得（舍去）或，
∴，，
则；
（3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图，
对于一次函数，
令，可有，即的坐标为，
令，可有，解得，即的坐标为，
由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，轴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设，
∵ ，，
∴，，，，
∴可有，解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
联立直线的解析式与反比例函数解析式，
可得，可得，
整理可得，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．
4．(1)，
(2)图像见解析；函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）根据矩形性质求得，，，，然后分当点在或上时两种情况讨论，然后即可求解；
（2）根据（1）所得解析式进行描点作图，然后分析图像，即可得到函数的性质，在分别联立方程组，求出交点坐标，即可求解；
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，对角线，交于点，
∴，，，
作，，垂足分别为点和点，如图：
∴，，
∴，，
即，
解得：，，
当点在上时，，即，
，即，
当点在上时，作，垂足为，连接和，如图：
∴，
即，解得：，
，即，
综上所述：，；
（2）解：如图：
函数的性质：当时，随的增大而增大，
联立函数：，解得：，
∵，
∴，
当时，，即和在第一象限的交点坐标为，
联立函数：，解得：，，
∵，
∴，即和在第一象限的交点坐标为，
综上所述：当时，；
5．(1)，；
(2)；
(3)直线向上平移的距离为．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数的平移问题，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案；
（3）设直线沿轴向上平移个单位长度，可求出，如图所示，连接，由平移的性质可得，则，根据三角形面积计算公式得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
∴，
在的图象上，
，
，
将点代入，，
解得，
．
（2）解：由函数图象可知，当时，．
（3）解：在中，令，则，
．
设直线沿轴向上平移个单位长度，
直线的解析式为，
在中，当时，
点坐标为，
∴，
如图所示，连接，
由平移的性质可得，
∴，
∴，即，
∴，
故直线向上平移的距离为．
6．(1)直线l的解析式为；反比例函数解析式为
(2)①证明见解析；②线段与反比例函数图像有公共点，且公共点的坐标为
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一次函数与反比例函数综合，解直角三角形等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，再求出得到，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线l解析式即可；
（2）①只需要证明即可证明；②求出直线解析式，联立直线解析式和反比例函数解析式，求出交点坐标，看交点是否在线段是即可得到答案．
【详解】（1）解：∵原点O是矩形的对称中心，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把，代入到中得：，
∴，
∴直线l的解析式为；
（2）解：①如图所示，连接，
由（1）可得，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
②设直线解析式为，
由（1）可得
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得，
∵，
∴线段与反比例函数图像有公共点，且公共点的坐标为．
7．(1)，
(2)C的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点C的坐标为，根据的面积为8得出，再求出结果即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入得：，
解得：，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，
即，；
（2）解：设点C的坐标为，
由点A的坐标得点，
则的面积，
解得，
∴点C的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，数形结合的数学思想，解题的关键是熟练掌握正比例函数和反比例函数图象的特点．
8．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）设反比例解析式为，将坐标代入直线中求出的值，确定出坐标，将坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例解析式；
（2）设平移后直线的表达式为，则点的坐标为．将点的坐标代入反比例函数表达式，即可确定出坐标，进而得到平移后直线的解析式．
【详解】（1）解：将点的坐标代入直线中，得
，解得，则．
设反比例函数的表达式为，
将点代入反比例函数表达式，得，
则反比例函数的表达式为．
（2）解：设平移后直线的表达式为，
则点的坐标为．
将点的坐标代入反比例函数表达式，
得，解得，
则平移后直线的表达式为．
9．(1)，；
(2)或；
(3)，面积最大值为4
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式；
（2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答．
（3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴
∵在一次函数的图象上
∴，
解得
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得，
∴，
设，则，
，
∵，
∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4．
10．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键．
（1）把点代入，求得，进而求得的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可；
【详解】（1）解：将点坐标代入得，．
所以反比例函数的表达式为．
将点坐标代入得，．
所以点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，解得．
所以一次函数的表达式为．
（2）将一次函数的图象向下平移6个单位长度后，
所以直线的函数解析式为．
将代入得，．
所以点的坐标为．
令直线与轴的交点为．
将代入得，．
所以点的坐标为．
则．
所以，．
所以．
11．(1)，
(2)或
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）将点的横坐标代入一次函数中即可求出的值，再将点的坐标代入反比例函数中求出即可；
（2）联立反比例函数解析式与一次函数解析式求出点的坐标，再根据函数图象即可得出当时的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得：，
，，
将代入中，得，
解得：；
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为，
，
，
联立，
解得或，
，
如下图，根据图象可得，若，则或．
12．(1)；
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数和反比例函数解析式，三角形的面积，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键．
（）把代入可求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（）由不等式，结合函数图象即可求解；
（）求出，由的面积为8，可得，再解方程即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
即反比例函数的表达式为，
把代入得：，
即B的坐标为，
把A、B的坐标代入，得：
；
解得，
即一次函数的表达式为；
（2）解：观察函数图象知，时x的取值范围为或．
（3）解：∵一次函数与x轴交于点 C，
∴，
∵，，
∴的面积为，
∴，
解得
∴M或．
13．(1)
(2)当或时，，当时，
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、反比例函数的图象和性质等知识，正确求出函数解析式是关键．
（1）利用借助已知点的坐标利用待定系数法解答即可；
（2）根据的取值范围，利用反比例函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：把点代入得：，
把代入得：，
把代入得：
，
解得，
．
（2）由题意可知，，且反比例函数在每一象限上随增大而减小．
①当时，点在第一象限反比例函数图象上，故；
②当时，即，点在第三象限反比例函数图象上，故；
③当，且时，即，点分别在第三象限，第一象限反比例函数图象上，故．
综上所述，当或时，，当时，．
14．(1)，，
(2)
(3)3
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求解析式以及三角形面积问题：
（1）首先将，代入求出，，然后把A、B两点的坐标代入一次函数的关系式即可求出k、b的值，进而可得出其关系式；
（2）观察函数图象，再利用数形结合进行解答即可；
（3）如图所示，连接，，作点A作轴交于点C，求出所在直线表达式为，求出，，进而求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得，，
∴
∴，
把，代入，得：，
解得，，
∴一次函数解析式为；
（2）解：∵一次函数和反比例函数的图象相交于点，，
观察图象知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，
∴不等式的解集为；
（3）解：如图所示，连接，，作点A作轴交于点C

∵
∴设所在直线表达式为
将代入得
∴
∴所在直线表达式为
将代入
∴
∵
∴
∴的面积．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数综合，求一次函数表达式，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
15．(1)
(2)2或3
(3)7或3
【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可；
（2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解；
（3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解．
【详解】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位，
∴平移后的函数解析式为，
∵当时，，
∴平移后的图像与y轴的交点坐标；
（2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图，
则，设点坐标为，
则①，②,
解得，或，，
则或；
如图，在直线取一点，过T作轴于S，
则，，，
∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，
∴，即直线与x轴的夹角为；
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
即的值为2或3；
（3）解：解方程组，得或（舍去），
∴；
解方程组，得或（舍去），
∴，
∴，
∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4，
∴，
∴，
∵直线与两条曲线交于G、H，
∴当点H在点G右上方时，形成矩形为，
∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为，
根据轴对称性质，将代入得，
解得；
∴当点H在点G左下方时，形成矩形为，
∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为，
根据轴对称性质，将代入得，
解得；
综上，满足条件的b值为7或3．
【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键．