第十八章 平行四边形同步训练-2024-2025学年 人教版八年级数学下册

这是一份第十八章 平行四边形同步训练-2024-2025学年 人教版八年级数学下册，共17页。
第十八章 平行四边形 一、选择题： 1.如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(    ) A. AB//DC，AD//BCB. AB=DC，AD=BCC. AD//BC，AB=DCD. AB//DC，AB=DC 2.在四边形ABCD中，从①AB/​/CD；②AB=CD；③BC/​/AD；④BC=AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.如图，四边形ABCD是菱形，A(3,0)，B(0,4)，则点C的坐标为(    ) A. (−5,4) B. (−5,5) C. (−4,4) D. (−4,3) 4.▱ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出▱ABCD是矩形，那么这个条件可以是  (    ) A. AB=BC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 5.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P=(    ) A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 6.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为(    ) A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 7.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为(    ) A. 29 B. 34 C. 5 2 D. 41 8.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE/​/AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为(    ) A. 4 B. 5 C. 342 D. 34 9.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为(    ) A. 135 B. 125 C. 195 D. 165 二、填空题： 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=5，BD=6，则菱形ABCD的面积是_______． 11.在▱ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠B= ______度． 12.如图，四边形ABCD中，AB/​/CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为__________________(填一个即可)． 13.如图，DE/​/BC，DF/​/AC，EF/​/AB，图中共有____________个平行四边形． 14.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是_______________． 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为________cm． 16.如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=3，则菱形ABCD的边长是          ． 三、解答题： 17. 如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点(小正方形的顶点)上，试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形． (1)以A为顶点的的平行四边形 (2)以A为对角线交点的的平行四边形 18.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数． 19.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．  20.如图，在▱ABCD中，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB=2BC，∠F=36°.求∠B的度数． 21.如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形． 22.如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE.求证：AF/​/CE． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：平行四边形的判定条件：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法)；即选项A；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；即选项D；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；即选项B；C选项是一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形．故选：C．注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键 2.【答案】B  【解析】【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据平行四边形的判定进行逐一验证即可．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．【解答】解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有(1)(2)；(3)(4)；(1)(3)；(2)(4)共四种．故选B． 3.【答案】A  【解析】【分析】由勾股定理求出AB=5，由菱形的性质得出BC=5，即可得出点C的坐标．本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．【解答】解：∵A(3,0)，B(0,4)，∴OA=3，OB=4，∴AB= OA2+OB2=5，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AD=AB=5，∴点C的坐标为(−5,4)；故选：A． 4.【答案】B  【解析】【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质，关键是掌握矩形的判定定理．根据对角相等的平行四边形是矩形可得答案．【解答】解：在▱ABCD中，根据对角相等的平行四边形是矩形，可得添加的条件，A.AB=BC，不能判定这个平行四边形为矩形，故错误；B.AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C.AC⊥BD，不能判定这个平行四边形为矩形，故错误；D.AB⊥BD，不能判定这个平行四边形为矩形，故错误；故选B． 5.【答案】D  【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC=∠ACD=45°，由作图知，∠CAP=12∠DAC=22.5°，根据三角形的内角和即可得到结论．本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠ACD=45°，由作图知，∠CAP=12∠DAC=22.5°，∴∠P=180°−∠ACP−∠CAP=22.5°，故选D． 6.【答案】D  【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于BC、CD的两个方程并求出CD的值是解题的关键．根据平行四边形的周长求出BC+CD=20，再根据平行四边形的面积求出BC=32CD，然后求出CD的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解． 【解答】 解：∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40，∴BC+CD=20①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，∴S▱ABCD=4BC=6CD，整理得，BC=32CD②，联立①②解得，CD=8，∴▱ABCD的面积=AF·CD=6×8=48．故选：D． 7.【答案】D  【解析】【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．首先由S△PAB=13S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是ℎ．∵S△PAB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅ℎ=13AB⋅AD，∴ℎ=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= AB2+AE2= 52+42= 41，即PA+PB的最小值为 41．故选D． 8.【答案】B  【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，求CD的长度是本题的关键．由矩形的性质和三角形中位线定理可得CD=6，由勾股定理可得AC=10，由直角三角形斜边上的中线性质可得OB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB/​/CD，AD=BC=8，∵OE/​/AB，∴OE/​/CD，∵点O是AC的中点，∴OE是△ACD的中位线，∵OE=3，∴CD=6，在Rt△ADC中，AC= AD2+CD2=10，∵点O是斜边AC上的中点，∴BO=12AC=5，故选：B． 9.【答案】A  【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．先由正方形的性质及BC=4，得出∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC，再结合DE=AF=1，得出CE=DF=3，从而可判定△CDF≌△BCE(SAS)，然后证得∠BGC=90°，由面积法及勾股定理求得BE、CG的长，最后用CF的长的长减去CG的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC=4，∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=4，又∵DE=AF=1，∴CE=DF=3，在△BCE和△CDF中，BC=CD∠BCE=∠CDFCE=DF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∴∠CBE+∠BCF=90°，∴∠BGC=90°，∵在Rt△BCE中，BC=4，CE=3，∴BE=5，∴BE⋅CG=BC⋅CE，∴CG=BC⋅CEBE=4×35=125，∵△CDF≌△BCE(SAS)，∴CF=BE=5，∴GF=CF−CG=5−125=135，故选A． 10.【答案】24  【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理.根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OA，再根据菱形的对角线互相平分求出AC，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一般即可计算出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴OB=OD=3，OA=OC，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90 ∘，根据勾股定理，得，OA= AB2−OB2= 52−32=4，∴AC=2OA=8，∴S菱形ABCD=12×AC×BD=12×6×8=24．故答案为24． 11.【答案】110  【解析】解：∵平行四边形ABCD，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=140°，∴∠A=∠C=70°，∴∠B=110°．故答案为：110．根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 12.【答案】AD//BC  13.【答案】3  14.【答案】245cm  【解析】【分析】本题考查了菱形的性质以及其面积公式，利用其面积公式可以求解．【解答】解：∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OC=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，∴BC= OB2+OC2=5cm，∵SABCD=BC·AE=12AC·BD，∴AE=12AC·BDBC=12×6×85=245cm故答案为245cm． 15.【答案】2.4  【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．连接CD，根据勾股定理求出AB的长，然后证明四边形CFDE是矩形，得到EF=CD，得到当CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后利用面积法求出CD的长即可．【解答】解：如图，连接CD． ∵∠ACB=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，∴AB= 32+42=5cm，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD．由垂线段最短可得，当CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，此时，S▵ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD，即12×4×3=12×5⋅CD，解得CD=2.4 cm，∴EF最小=2.4 cm． 16.【答案】6  【解析】【分析】本题考查了三角形中位线及菱形的性质，等边三角形的判定与性质．先证△ABD是等边三角形，再根据中位线定理易求BD．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60∘，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD．∵E、F分别是AB、AD的中点，∴BD=2EF=2×3=6．∴菱形ABCD的边长为6．故答案为6． 17.【答案】解：(1)如图所示：平行四边形ABCD即为所求；(2)如图所示：平行四边形DEFM即为所求．  【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用网格分析是解题关键．(1)直接利用平行四边形的性质分析得出答案；(2)直接利用菱形的性质得出符合题意的答案． 18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，∴∠ABE=∠ECD=30°，在△ABE和△DCE中，AB=DC∠ABE=∠DCEBE=CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA=BE，∠ABE=30°，∴∠BAE=12(180°−30°)=75°，∵∠BAD=90°，∴∠EAD=90°−75°=15°，同理可得∠ADE=15°，∴∠AED=180°−15°−15°=150°．  【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．属于中考常考题型．(1)根据正方形、等边三角形的性质，可以得到BA=BC=CD=BE=CE，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明；(2)只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题； 19.【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE/​/AC，DF/​/AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形．  【解析】本题主要考查了菱形的判定，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质及判定，先由中位线的性质得出四边形AEDF是平行四边形，再得出AB=AC，进而得出AE=AF，故可得出四边形AEDF是菱形． 20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴∠D=∠ECF，在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC ，∴△ADE≌△FCE(ASA)；(2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AD=FC，∵AD=BC，AB=2BC，∴AB=FB，∴∠BAF=∠F=36°，∴∠B=180°−2×36°=108°．  【解析】(1)利用平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，证出∠D=∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE；(2)证出AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．． 21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE=12AB，CF=12CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵AD=BC∠A=∠CAE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS)．(2)∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF=12DC，BE=12AB，又∵在▱ABCD中，AB/​/CD，AB=CD，∴DF/​/BE，DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∵∠ADB是直角，∴△ABD为直角三角形，又∵E为边AB的中点，∴BE=DE，∴平行四边形DEBF是菱形．  【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线性质等知识，正确得出四边形DEBF为平行四边形是解题关键，属于中考常考题型．(1)由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS即可判定△ADE≌△CBF．(2)利用平行四边形的性质结合平行四边形的判定与性质得出四边形DEBF为平行四边形，利用直角三角形斜边中线性质得出BE=DE，由此即可得出答案． 22.【答案】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD=BC．∴∠1=∠2. 又∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD． ∴DF=BE． ∴△ADF≌△CBE． ∴∠AFD=∠CEB． ∴AF//CE．   【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.由平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．