新疆克孜勒苏2025-2026学年度第一学期期末质量监测试卷+九年级+数学（原卷版+解析版）

这是一份新疆克孜勒苏2025-2026学年度第一学期期末质量监测试卷+九年级+数学（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
1. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若点关于坐标原点对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 如果关于的方程有实数解，则实数的范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
4. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 图象的开口向上
B. 函数的最大值为1
C. 图象的对称轴为直线
D. 当时y随x的增大而增大
5. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
6. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ）
A B. C. D.
9. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根 是，；④方程有一个实根大于；⑤当时随增大而增大． 其中结论正确的个数是（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10. 若 有意义，则x取值范围是___________．
11. 因式分解___________
12. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________．
13. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是：点P在 _____．
14. 如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm．
15. 如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16. 计算：（1）；
解方程：（2）．
17. 如图，矩形中，M为上一点，F是的中点，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
18. 新课标（年版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”，某市教育局对九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了名学生测试成绩，按照“优”“良”“中”“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题．
（1）的值是___________；并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“中”等级对应的圆心角是___________度；
（3）若该市有名九年级学生，请估计约有___________名学生成绩在“优”等级；
（4）现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习项目式学习”汇报，请用列表或树状图求甲同学被抽到的概率；
19. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元．
（1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？
（2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）根据图象直接写出当时，x的取值范围．
21. 综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？
22. 如图，在中，，．O是边上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆，经过点C．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若，求的长．
23. 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点．
【观察猜想】
（1）当时，请在图2中补全图形（无需尺规作图）；并直接判断四边形的准确形状为______；
【类比探究】
（2）当点矩形内部时，连接，求证：；
（3）如图3，当时，连接，求此时的面积．
【拓展应用】
（4）当点，，三点共线时，直接写出此时的长度．
克州2025-2026学年度第一学期期末质量监测试卷
九年级・数学
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
1. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：该立体图形的主视图为：
故选：D．
2. 若点关于坐标原点对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标关于原点对称，根据点关于坐标原点对称时，横坐标和纵坐标均取相反数，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键．
【详解】解：∵点关于坐标原点对称，
∴对称点的横坐标为，纵坐标为，
∴对称点的坐标为，
故选：．
3. 如果关于的方程有实数解，则实数的范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．需分情况讨论：当时，方程化为一次方程，有实数解；当时，方程为一元二次方程，利用判别式求解即可．
【详解】解：∵方程有实数解，
当时，方程为，
解得，有实数解；
当时，方程为一元二次方程，则：
，
∴，
解得：；
综上，实数的范围是．
故选：B．
4. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 图象的开口向上
B. 函数的最大值为1
C. 图象的对称轴为直线
D. 当时y随x的增大而增大
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确
【详解】解：A．∵二次函数，，
∴该函数图象开口向上，故选项A正确；
B．函数的最小值为1，故选项B错误；
C．函数图象的对称轴为直线，故选项C错误；
D．当时y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：A．
5. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长．
设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，
由题意得：，
解得，
因此，该圆锥的底面圆半径为，
故选：B．
6. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于x的一元二次方程；
【详解】设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．
【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴，
又∵，
∴，相似比为，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．
先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到．
【详解】解：连接．
∵是的直径，是弦，，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根 是，；④方程有一个实根大于；⑤当时随增大而增大． 其中结论正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、坐标轴的交点等对各选项进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴，c=3，
∴b=﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
∵当x=﹣1时，函数值y=a﹣b+c＜0，即a+2a+c=3a+c＜0，
故②错误；
根据抛物线的对称性，由x=0时，y=3可知，当x=2时，函数值y=3，
∴方程的两个根 是，，
故③正确；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点小于0，
则根据抛物线的对称性，与x轴的另一个交点大于2，
∴方程有一个实根大于，
故④正确；
∵当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
故⑤正确，
综上，正确的有4个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的基本知识，正确运用数形结合思想是解答的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10. 若 有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件．
根据算术平方根有意义的条件，被开方数必须大于或等于零作答即可．
【详解】解：∵有意义，
∴被开方数，
解得．
故答案为：．
11. 因式分解___________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求概率，概率的计算公式是，其中表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数．根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：袋子里一共有个球，红球有1个．
∴摸出红球概率．
故答案为：．
13. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是：点P在 _____．
【答案】外
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点P在外，
故答案为：外．
14. 如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；
根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12．
15. 如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
【答案】（2，2）或（，-2）
【解析】
【分析】设P点的坐标为（x，y），由“和谐点”P到x轴的距离为2得出|y|=2，将y=2或-2分别代入x+y=xy，求出x的值即可．
【详解】解：设P点的坐标为（x，y），
∵“和谐点”P到x轴的距离为2，
∴|y|=2，
∴y=±2．
将y=2代入x+y=xy，得x+2=2x，解得x=2，
∴P点坐标为（2，2）；
将y=-2代入x+y=xy，得x-2=-2x，解得x=，
∴P点的坐标为（，-2）．
综上所述，所求P点的坐标为（2，2）或（，-2）．
故答案为：（2，2）或（，-2）．
【点睛】本题考查了点的坐标—新定义，得出P点的纵坐标为2或-2是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16. 计算：（1）；
解方程：（2）．
【答案】（）；（），．
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和公式法是解题的关键．
（）利用二次根式的性质化简，零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值计算即可；
（）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（）
；
（）
，
∴，．
17. 如图，矩形中，M为上一点，F是的中点，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质，勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证；
（2）由勾股定理可得，则有，根据可得，然后问题可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
18. 新课标（年版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”，某市教育局对九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了名学生的测试成绩，按照“优”“良”“中”“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题．
（1）的值是___________；并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“中”等级对应的圆心角是___________度；
（3）若该市有名九年级学生，请估计约有___________名学生成绩在“优”等级；
（4）现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习项目式学习”汇报，请用列表或树状图求甲同学被抽到的概率；
【答案】（1），补全条形统计图见解析；
（2）；
（3）；
（4）甲同学被抽到的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了条形图和扇形图的综合应用，树状图求概率，样本估计总体，解题的关键是正确求出总人数和画出树状图．
（）用“优”的人数除以“优”所占的百分比即可求解；
（）依据总人数求出“中”人数，再利用所占总体百分比求对应角度即可；
（）利用样本估计总体计算即可；
（）画出树状图，列出所有可能的情况及符合条件的情况数，运用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由图表信息可得，（人），
∴“中”等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案：；
【小问2详解】
解：由（）得“中”等级的人数有人，
∴“中”等级对应的圆心角是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：成绩在“优”等级的人数：（人），
故答案为：；
【小问4详解】
解：根据题意，画树状图如下，
，
一共有种等可能情况，其中甲同学被抽到的有种，
∴甲同学被抽到的概率为：．
19. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元．
（1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？
（2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元
（2）当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
（1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可；
（2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设每顶头盔的售价为x元，
根据题意得，
解得，（舍），
∴降价为（元）
答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元；
【小问2详解】
解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，
根据题意得，
∵，且不能亏本且降价不低于5元，即,
∴当时，w取得最大值6250，
∴降价为（元）
答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用．
（1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式；
（2）先求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案．
【小问1详解】
解：把代入，
得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，
得：，
∴．
把，代入，可得，
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图：
令，则，
∴，
∵
；
【小问3详解】
当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴当时，或．
21. 综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用与仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
由题意可得，，，易得四边形为矩形，则、，设，则，在中解直角三角形可得，在中，，解得：，进而求得即可解答．
【详解】解：依题意，，，，
四边形为矩形，
，，
设，则，
∵在中，，
，
在中，，解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
．
22. 如图，在中，，．O是边上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆，经过点C．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了证明直线是圆的切线，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接．由等边对等角结合三角形内角和定理可得，从而得出，求出，即可得证；
（2）求出，，再由弧长公式计算即可得解．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
，，
∴．
，
，
．
是的半径，
直线是的切线．
【小问2详解】
解：，，
．
，
．
，
．
23. 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点．
【观察猜想】
（1）当时，请在图2中补全图形（无需尺规作图）；并直接判断四边形的准确形状为______；
【类比探究】
（2）当点在矩形内部时，连接，求证：；
（3）如图3，当时，连接，求此时的面积．
【拓展应用】
（4）当点，，三点共线时，直接写出此时的长度．
【答案】（1）图见解析；正方形；（2）见解析；（3）；（4）或8
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，从而可得四边形是正方形；
（2）先根据旋转的性质得出，再根据垂直的意义，矩形的性质得出，结合，用证明；
（3）先根据旋转的性质和矩形的性质得出，再证明，从而可得，列出比例式，再证明，然后利用勾股定理求得，从而可得，结合，求出的面积；
（4）分的延长线过点D，过点D两种情形讨论，分别求出的长度．
【详解】（1）解∶如图，四边形是正方形，
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵将边绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）连接，
∵将边绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
（3）如图，连接，延长交于点H，过点E分别作、的垂线，垂足分别为J，I，则，
∵将边绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴的面积为；
（4）当的延长线过点D时，连接，如图，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
与（2）同理可证：，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
此时旋转角为，且满足，符合题意；
当过点D时，交延长线于F，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵将边绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
此时旋转角为，满足，符合题意，
综上，的长度为2或8．
【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），全等的性质和综合（），用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，根据旋转的性质求解，利用平行判定相似，正方形的判断，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．