初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.2 平行四边形习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.2 平行四边形习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是( )
A．B．C．D．
3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为的中点，且，，则菱形的面积为（ ）
A．12B．C．D．16
5．根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（ ）．
A．B．
C．D．
6．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．如图，在□ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（ ）
A．112°B．118°C．120°D．122°
8．在中，如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（ ）
A．1B．C．2D．3
10．如图，在中，分别平分、，若，则的周长为（ ）
A．30B．35C．36D．40
11．如图，将▱的一边延长至点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
12．四边形是平行四边形，下列尺规作图不能使一定是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝
15．如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，若，则的长为 ．
16．如图，在中，是中位线，，那么 ；
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
三、解答题
18．如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：．
19．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．求线段的长．
20．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由
21．如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：．
22．如图，在中，，，，，是的中位线．求证：四边形是矩形．
23．综合与实践
【发现】如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可以得到：DEBC，且DE＝BC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是： （只添加一个条件），并说明理由．
24．如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求菱形的面积
《21.2平行四边形》参考答案
1．A
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、图形类规律探究，正确找出三角形的周长的变化规律是解题的关键．根据三角形中位线定理得到的周长，的周长，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：点、、分别为、、的中点，
，，，
的周长，
同理，的周长，
则的周长，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解；
【详解】解：由题意得：分别是的中位线，
∴，，，；
∴，，；
∴四边形是平行四边形，；
∵
∴，
∴，
故选：C
3．C
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：如图：
A、∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；故A选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形；故B选项不符合题意；
C、，无法判断四边形是平行四边形；故C选项符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形；故D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
4．B
【分析】利用菱形的性质，得到为的中位线，从而得到菱形的边长，再根据菱形的性质可以得到是含角的直角三角形，从而求出菱形的对角线的长度，利用菱形的面积公式对角线乘积的一半，即可得解．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，为的中点，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，以及含角的直角三角形．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，是解题的关键．
5．B
【分析】根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形判断A；根据题意可知平行线间距离是5，可知两组对边平行，可判断B；对于C，D可知一组对边平行，不能判断另一组对边的关系，可得答案．
【详解】由，可知一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，所以A不符合题意；
由，可知一组对边平行，平行线间距离是5，可知另一组对边平行，该四边形是平行四边形，所以B符合题意；
由，可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以C不符合题意；
由，可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键.
根据三角形的面积公式即可得到结论.
【详解】解：由题意可得：
是的中点，
故选： A．
7．A
【分析】运用翻折的性质，结合平行四边形的性质，推导，在结合三角形内角和定理，算得的度数．
【详解】解：∵△ABD沿对角线BD折叠，得到△EBD，
∴，，
∵平行四边形ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∵，，
∴．
在中，
∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形翻折的性质，平行四边形性质，通过以上性质，证得是解题关键．
8．D
【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等即可求出答案．
【详解】解：∵中，，
又∵，
∴，
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵的平分线交于E，交的延长线于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．B
【分析】根据平行四边形的性质得出，再根据平行线性质和角平分线性质得出，，最后根据等腰三角形的判定与性质得到，，进而计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质和等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练运用相关知识点是解题的关键．
11．B
【分析】根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
【详解】平行四边形的，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
12．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线，角平分线的意义，垂直平分线的性质，解题关键是根据各个图形，结合相关性质求解．根据平行四边形的性质，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线，角平分线的意义，垂直平分线的性质，对四个图形逐一分析，作出判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴一定是等腰三角形，故A不符合；
B、∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴一定是等腰三角形，故B不符合；
C、∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
，
，
∴一定是等腰三角形，故C不符合；
D、只能得出，不能得出中有两边相等，
∴不一定是等腰三角形，故D符合，
故选：D．
13．
【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，
∵是等边三角形，，
∴，
∴点在上，
∴，则，当在同一条直线上时，有最小值，
∵点关于的对称点，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
14．3
【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图
∵∠BAC＝90°，DF⊥AC，
∴∠BAC＝∠DFC，
∴AB∥DF，
∵D为BC边上中点，
∴AD=BD=CD，
∴点F是AC的中点，
∴，
∵AE＝2，
∴；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题
15．
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线定理，熟知三角形中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．由三线合一定理得到点E是的中点，进而证明是的中位线，则．
【详解】解：∵，，
∴点E是的中点，
∵F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：6．
16．10
【分析】本题考查了中位线的性质，根据三角形的中位线平行且等于第三边的一半，进行作答即可．
【详解】解：∵在中，是中位线，
∴，
故答案为：10．
17．或或
【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可.
【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．
当，时，；
当，时，；
当，时，．
故答案为：或或．
18．证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键．
由平行四边形可知，，进而证明，即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
19．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，从而得到，，再由平分，平分，可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，涉及了平行四边形的判定与性质，熟记相关结论即可；
（1）由题意得：，，根据即可求证；
（2）分类讨论两种情况，画出图形即可求解．
【详解】（1）证明：由题意得：，
∵，，
∴，
∵
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：时，如图所示：
则，
∴，
∴
由（1）得：，
∴，
解得：；
时，如图所示：
由（1）可得：，
∴，
∴，
∴
∴，
解得：；
综上所述：或，为直角三角形．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得，证明，则，，进而结论得证；
（2）由，可知，，则，证明，进而结论得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，，
∴，AC=DE，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．
22．见解析
【分析】根据中位线的性质得出、，进而得出四边形是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，则四边形是矩形．
【详解】证明：∵是的中位线，
∴，．
∵，∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，，，
∴．
∴是直角三角形，且．
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了三角形的中位线、勾股定理的逆定理，平行四边形的判定、矩形的判定等知识点，熟悉并运用以上性质定理是解题的关键．
23．【探究】平行四边形，理由见解析；【应用】添加，理由见解析
【分析】[探究]：连接AC，由四个中点可得EF∥AC且EF=AC、GH∥AC且GH=AC，据此可得EF∥GH，且EF=GH，从而得证；
[应用]：添加AC=BD，连接BD，由EF=AC、EH=BD，且AC=BD知EF=EH，根据四边形EFGH是平行四边形即可得证；
【详解】[探究]四边形EFGH的形状是：平行四边形，理由如下：
证明：连接AC，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，且EF=AC．
∵G、H分别是CD、AD的中点，
∴GH∥AC，且GH=AC．
∴EF∥GH，且EF=GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
[应用]添加的条件是:AC=BD,证明如下：
连接BD，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH=BD．
∵EF=AC、EH=BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：AC=BD．
【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握中位线定理，平行四边形、菱形的判定方法．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形；
（2）利用菱形的面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：连接，
在中，∵点是的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
，
同理．
又 ∵在矩形中，，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
∵四边形是矩形，
，
∵四边形是菱形，
，
，
∴菱形的对角线为，
∴菱形的面积为：．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质以及菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：（1）定义，（2）四边相等，（3）对角线互相垂直平分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
B
A
A
D
C
B
题号
11
12








答案
B
D