初中人教版18.1 平行四边形综合与测试同步测试题
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18.1平行四边形同步练习
人教版初中数学八年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 为培养学生思维创新能力，某学校开设多个社团下图是“手工线绣社团”同学设计的线绣图纸，其中图上的线条需要分别按颜色要求绣制：若，，，，，甲同学负责用红线绣制路线：；乙同学负责用绿线绣制路线：，那么绿色线路与红色线路
A. 一样长 B. 绿色线路长 C. 红色线路长 D. 不能确定
- 如图，是面积为的▱内任意一点，的面积为，的面积为，则
A. B.
C. D. 的大小与点位置有关
- 已知的周长为，点，，分别为三条边的中点，则的周长为
A. B. C. D.
- 平行四边形的周长为，相邻两边长的比为：，则这个平行四边形的较短的边长为
A. B. C. D.
- 如图所示，在中，已知若的周长为，则的周长为
A. B. C. D.
- 如图，在平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是
A. B. C. D.
- 如图，点，分别是，的中点，是的平分线，对于下列结论：；；；，其中正确的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 如图，▱中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为
A. B. C. D.
- 如图，四边形中，，，，点，分别是对角线，的中点，则的长为
A. B. C. D.
- 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和；作直线交于点，交于点若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为
A. B. C. D.
- 如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
- 如图，已知，，，，下列说法错误的是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 如图，在▱中，、是对角线上两点，，，，则的大小为______．
- 如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则______．
- 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是______．
- 如图，在中，，，，点，分别是，的中点，平分的一个外角，交的延长线于点，则的长为 ．
|
- 如图，由个点构成一个正方形点阵，横纵方向相邻的两点之间的距离都是，以，为顶点，再选择两个点构成一个面积为的平行四边形，这样的平行四边形共有 个．
|
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
- 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
在图中，以点，，为顶点画一个等腰三角形；
在图中，以点，，，为顶点画一个面积为的平行四边形．
- 如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点，．
若，求的度数；
求证：．
- 如图，点在▱内部，，．
求证：≌；
设▱的面积为，四边形的面积为，求的值．
- 如图，在▱中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，、为垂足．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，过点作，垂足为，求的长．
- 如图，已知平行四边形中，，，．
求平行四边形的面积；
求证：．
- 按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
如图，为上一点，请用直尺不带刻度和圆规作出的内接正方形；
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺不带刻度作图．
如图，在▱中，为的中点，作的中点．
如图，在由小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作的高．
- 已知：如图，在▱中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．
|
- 如图，在中，点，分别是边，的中点，连接，，点在的延长线上，且，连接，判断四边形的形状，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，，，
垂直平分，
，
，
绿色线路和红色线路一样长．
故选A．
本题主要考查了平行四边形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键首先证明四边形是平行四边形，得到，，再说明垂直平分，得到，表示出绿色线路和红色线路可得它们相等．
2.【答案】
【解析】解：过点作交于点，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，
故选：．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据平行四边形的面积、三角形的面积公式，即可得到和、之间的关系，本题得以解决．
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】
【解析】解：、、分别为三边的中点，
、、都是的中位线，
，，，
故的周长．
故选：．
根据中位线定理可得，，，继而结合的周长为，可得出的周长．
此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，难度较易．
4.【答案】
【解析】解：如图
平行四边形的周长为
：：
故选：．
根据平行四边形中对边相等和已知条件即可求得较短边的长．
本题利用了平行四边形的对边相等的性质，设适当的参数建立方程求解．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质和角平分线的定义，勾股定理等知识，正确把握平行四边形的性质是解题关键．
根据平行四边形的性质可证明是直角三角形，利用勾股定理可求出的长，利用角平分线的定义以及平行线的性质得出，，进而利用平行四边形对边相等进而得出答案．
【解答】
解：四边形是平行四边形，、的角平分线的交点落在边上，
，
，，
，
，，，，
，，
，，即，
由题意可得：，，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【解答】
解：、是、的中点，
是的中位线，
，；故正确，
，
，
是的平分线，
，
，
；故故正确，
是中点，是的平分线，
，故正确；
因此本题的四个结论都正确．
故选D．
【分析】
这是一道考查三角形中位线以及平行线的性质的题目，若、是、的中点，则是的中位线，可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，继而可求得．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
则，
，
同理可证：，
则．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：取中点，连结、，如图所示：
点，分别是对角线，的中点，
，，
，
，，
、、三点共线，
是的中位线，
，
，
，
是的中位线，
，
．
故选：．
延长交于点，由点，分别是对角线，的中点，从而得是的中位线，则有，再由，则有，是的中位线，则有，从而可求的长．
本题主要考查三角形的中位线定理，平行线的性质，解答的关键是对三角形的中位线定理的掌握与灵活运用．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的知识点；
延长交轴于点，连接，根据垂直平分线的性质以及平行四边形的性质可以得到轴，再根据点坐标以及勾股定理求出，从而得到的坐标，然后根据平行四边形对边相等的性质，即，求出点的坐标．
【解答】
解：延长交轴于点，连接
由图可得：为垂直平分线
四边形为平行四边形
轴
，
线段
四边形为平行四边形
点的坐标为
故选：．
11.【答案】
【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离是解答此题的关键．
根据平行四边形的性质、平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：，，
四边形为平行四边形，
，．
，，，
，
故选C．
13.【答案】
【解析】解：设，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
即；
故答案为：．
设，由等腰三角形的性质和直角三角形得出，，得出，证出，由平行四边形的性质得出，得出方程，解方程即可．
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，，
．
平分，
，
，
．
，
．
是的中点，
是的中位线，
，
，
．
故答案为．
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明是的中位线是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知是的平分线，
．
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
故答案为：
只要证明即可解决问题．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质，以及正方形与矩形的有关知识，找出特殊正方形，是解决问题的关键．根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案．
【解答】
解：如图所示：矩形，平行四边形，平行四边形，上下完全一样的各有个，
还有正方形，
还有两个以为对角线的平行四边形，平行四边形B.
一共有个面积为的点阵平行四边形．
故答案为：．
18.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一．
如图中，四边形即为所求．
【解析】根据等腰三角形的定义画出图形即可答案不唯一．
作应该底为，高为的平行四边形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，，，，
，分别平分和，
，，
，
≌，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
根据平行四边形的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
同理得，
在和中，
，
≌；
点在▱内部，
，
由知：≌，
，
，
▱的面积为，四边形的面积为，
．
【解析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．
根据证明：≌；
根据点在▱内部，可知：，可得结论．
21.【答案】证明：如图，连接交于点
四边形是平行四边形
，，且，
≌
，且
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形
，
，
，
，
，
【解析】由“”可证≌，可得，且，可证四边形是平行四边形；
由勾股定理可求，，由三角形面积公式可求的长．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求出的长是本题的关键．
22.【答案】解：作交的延长线于点，如图：
设，
在中：
在中：
联立解得：，
平行四边形的面积；
作，垂足为
平行四边形
，
又，
≌
，，
在中：
，
．
【解析】作交的延长线于点，设，由勾股定理列出关于的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；
利用全等三角形的判定与性质得出，，，从而求出的长，在中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．
本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强．
23.【答案】解：如图，连结并延长交圆于点，作的中垂线交圆于点，，四边形即为所求．
如图，连结，交于点，连结交于点，连结并延长交于点，即为所求
如图所示，即为所求．
【解析】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行四边形的性质及三角形垂心的性质．
连结并延长交圆于点，作的中垂线交圆于点，，四边形即为所求．
连结，交于点，连结交于点，连结并延长交于点，点即为所求；
结合网格特点和三角形高的概念作图可得．
24.【答案】证明：是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
≌，
．
【解析】只要证明≌即可解决问题；
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25.【答案】解：四边形是平行四边形．
证明：点，分别是边，的中点，
，．
，
，且．
四边形是平行四边形．
【解析】略
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