湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
1. （ ）
2. 已知，且是第三象限角，则（ ）
3. 已知扇形的周长为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的面积为（ ）
4. 计算：（ ）
5. 设函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
6. 已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（ ）
7. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，）
8. 已知，且，则（ ）．
二、多选题(本大题共 2 小题，每小题 4 分，共 8 分)
9. 下列命题是真命题的是（ ）
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
三、单选题(本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 5 分)
11. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ）
四、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知，则的值等于_________；
13. 已知集合，，若，则实数的值为__________.
14. 定义：，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是_________.
五、解答题(本大题共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分)
15. 已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间.
16. 已知函数（）.
(1)若对一切实数x都成立，求k的取值范围；
(2)若函数在区间上有两个不相等的零点，求k的取值范围.
17. 主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线（，），其振幅为，且经过点.
(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
(2)若，判断是否为常数？并说明理由.
18. 已知，.
(1)证明：；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围.
19. 十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，
其中，读作的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到.
(1)，，，比较的大小;
(2)当时，证明：；
(3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间.
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：三角函数与解三角形、集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．1
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．22倍
B．55倍
C．217倍
D．407倍
A．
B．
C．
D．
A．命题“，”的否定是“，”
B．与是同一个函数
C．不等式的解集为
D．若，，则
A．函数的定义域为
B．函数的周期与函数的周期相同
C．函数图象的对称中心为
D．函数的单调递增区间为
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
9
多选题
2
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
6
适中
10
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
诱导公式二、三、四；特殊角的三角函数值
2
0.94
已知正（余）弦求余（正）弦
3
0.94
弧长的有关计算；扇形面积的有关计算
4
0.65
诱导公式二、三、四；用和、差角的正弦公式化简、求值
5
0.85
充要条件的证明；求余弦（型）函数的奇偶性；函数奇偶性的定义与判断
6
0.65
定义法判断或证明函数的单调性；用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数求函数的单调区间（不含参）
7
0.85
指数幂的运算；对数的运算性质的应用；指数式与对数式的互化
8
0.65
由已知条件判断所给不等式是否正确；比较函数值的大小关系；研究对数函数的单调性
11
0.65
余弦函数图象的应用；由图象确定正（余）弦型函数解析式
二、多选题
9
0.85
特称命题的否定及其真假判断；判断两个函数是否相等；利用不等式求值或取值范围；分式不等式
10
0.85
求正切型三角函数的单调性；求正切（型）函数的定义域；求正切（型）函数的周期；求正切（型）函数的对称中心
三、填空题
12
0.85
正、余弦齐次式的计算
13
0.65
利用集合元素的互异性求参数；根据集合的包含关系求参数
14
0.65
由奇偶性求函数解析式；根据函数的单调性解不等式
四、解答题
15
0.85
求正弦（型）函数的最小正周期；求sinx型三角函数的单调性；辅助角公式
16
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；一元二次不等式在实数集上恒成立问题
17
0.65
由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；用和、差角的余弦公式化简、求值
18
0.65
定义法判断或证明函数的单调性；根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用
19
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数证明不等式；利用函数单调性求最值或值域；函数新定义
序号
知识点
对应题号
1
三角函数与解三角形
1,2,3,4,5,10,11,12,15,17
2
集合与常用逻辑用语
5,9,13
3
函数与导数
5,6,7,8,9,14,16,18,19
4
等式与不等式
8,9,16