湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：彭思维 吴海波 审题人：龚日辉 申京京
时量：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式转化为锐角三角函数，即可求值.
【详解】 ，
故选：A
2. 已知 ，且 是第三象限角，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系即可求得结果.
【详解】因为 ，且 是第三象限角，所以 .
故选：D.
3. 已知扇形 周长为 ，扇形圆心角的弧度数是 ，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积.
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，因为扇形的周长为 ，所以 ，即 ，故扇形
的面积为 .
故选：C
4. 计算： （ ）
A. B. 2 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将 换成 ，再切化弦，利用差角公式及诱导公式化简即可.
【详解】原式
故选：A.
5. 设函数 ，则“ ”是“ 为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】判断“ ”和“ 为偶函数”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】由 ，得 ， ，则 为偶函数，
由 为偶函数，得 ， ，得 ，
所以“ ”是“ 为偶函数”的充要条件.
故选：C.
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6. 已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意 （0，3)都有
，若 ， ， ，则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件 ，可知函数 关于 对称，由对任意 （0，3)都有
，可知函数在 （0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到 的
大小．
【详解】因为 ，得函数 关于 对称，
又对任意 （0，3)都有 ，所以函数 在 （0，3)时单调递减，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的
关系是解决本题的关键.
7. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是 的
前提下，我们把 看作是经过 365 天的“进步值”，把 看作是经过 365 天的“退步值”.则
经过 200 天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据： ， ，
）
A. 22 倍 B. 55 倍 C. 217 倍 D. 407 倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出经过 200 天的“进步值”和“退步值”，再结合对数与指数运算求解作答
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【详解】依题意，经过 200 天的“进步值”为 ，“退步值”为 ，
则“进步值”与“退步值”的比 ，
两边取对数得 ，
因此 ，所以“进步值”大约是“退步值”的 55 倍.
故选：B
8. 已知 ，且 ，则（ ）．
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，得到 ，构造函数 ，利用函数的单调性即可得出选
项 A 和 B 的正误；对于选项 C，通过取特殊值，即可得出选项的正误，对于选项 D，利用 的单调性
即可得出结果.
【详解】依题意，因为 ，所以 ，
设函数 ，易知函数 在 上单调递增，故 ，所以选项 A 错误；
又因为 ，所以 ，所以 ，所以选项 B 错误；
又因为 ，取 ，则 ，所以选项 C 错误；
因为 ，所以 ，所以 ，所以选项 D 正确．
故选：D.
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B. 与 是同一个函数
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C. 不等式 的解集为
D. 若 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据存在命题得否定判断 A；根据定义域不同判断 B；求分式不等式的解集判断 C；根据不等式的
性质判断 D.
【详解】由存在量词命题的否定知，“ ， ”的否定是“ ， ”，故 A 正确；
由 ，知 的定义域为 ，由 或 ，知 的定义域为
，所以不是同一个函数，故 B 错误：
由 得 ，解得： ，故不等式的解集是 ，故 C 正确；
由不等式的性质， ，又 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A. 函数 的定义域为
B. 函数 的周期与函数 的周期相同
C. 函数 图象的对称中心为
D. 函数 的单调递增区间为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正切函数的性质逐一求解即可.
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【详解】对于 A，令 ,则 ,
函数 的定义域为 ，A 正确;
对于 B， 函数 的周期与 的周期相同,为 的周期 ，即函数
的周期与函数 的周期不相同， 错误；
对于 C，令 则 ,
函数 图象的对称中心为 ，C 错误;
对于 D，令 ,
则 ,
函数 的单调递增区间为 ，D 正确.
故选：AD.
11. 已知函数 的部分图象如图所示， ， 是 的两个零点，若
，则下列不为定值的量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求函数 的周期，估计 的范围，再求函数 的零点，由此确定 ， ，结合条件化简
可得结论.
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【详解】函数 的周期为 ，
由图象可得 ，令 ，可得： ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
， 为定值.
故选：B
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知 ，则 的值等于_________；
【答案】4
【解析】
【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以 ，将分式变形为只含 的代数式，代值计算即可.
【详解】 ．
故答案为：4.
13. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合间的基本关系得出 ，再代入验证.
【详解】由 ，知 是 的子集，所以 或 或 .
由集合中元素的互异性，知 ，所以 ，故 ， .
从而 ，而 ，故 .
经验证 满足条件.
故答案为： .
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14. 定义： ，已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时，
，若对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是
_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据定义,求出 时 的解析式,由奇函数求出另一边的解析式,进而可画出函数 的图
象,由 可得 且 ,解不等式即可.
【详解】因为函数 是定义域为 的奇函数,所以 ,
当 时,由 ,解得 ,
由 ,解得
所以 ,
因为 是定义域为 的奇函数，
所以当 时，
当 时,由 ,得 ,
当 时,由 ,得 ,
作出函数 的图象如图所示,
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因为对任意 ,都有 ,
所以将 的图象向右平移 2 个单位后,图象在 的非下方,
所以 且 ,
解得 ,且 ,
即实数 的取值范围是 .
故答案为: .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 的单调递增区间.
【答案】（1）
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式以及辅助角公式化简 ，即可利用周期的计算公式求解，
（2）利用整体法即可求解.
【小问 1 详解】
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，
所以函数 的最小正周期为 .
【小问 2 详解】
由 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， .
16. 已知函数 （ ）.
（1）若 对一切实数 x 都成立，求 k 的取值范围；
（2）若函数 在区间 上有两个不相等的零点，求 k 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先对二次项系数进行讨论，只有当 时与当 且 时才能
恒成立，进而求得结果.
（2）分析得出只有当开口向下且 ， 才能满足题意，求解即可
【小问 1 详解】
当 时， 显然成立；
当 时，要使一元二次不等式 对一切实数 x 都成立，
则二次函数 的图象在 x 轴下方，即 ，
得 ；
当 时，二次函数 的图象开口向上，
一元二次不等式 不可能对一切实数 x 都成立.
综上可知， .
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【小问 2 详解】
易知函数 的对称轴为直线 ，且 ，
函数 在区间 上有两个不相等的零点，须函数 开口向下，所以 ，
且函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
故 ，
又结合二次函数的图象与性质以及零点存在性定理，
需要满足在区间 的最大值大于 0，即 ，且 即可，
即 ，解得 ，
综上所述， .
17. 主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相
位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线 （ ， ），
其振幅为 ，且经过点 .
（1）求该噪声声波曲线 的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线 的解析式；
（2）若 ，判断 是否为常数？并说明理由.
【答案】（1） ， .
（2）是，常数为 ，理由见解析
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【解析】
【分析】（1）首先根据振幅求出 ，将点 代入解析式即可；
（2）化简 ，通过诱导公式、两角和差的余弦公式，化简即可证明.
【小问 1 详解】
由振幅为 ， ，可得 ， ，
由嗓声声波曲线经过点 ，得 ，
而 ， ，则 ，则 ，
又降嗓声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
则
.
18. 已知 ， .
（1）证明： ；
（2）判断并用定义证明 的单调性；
（3）若函数 的图象在区间 上与 x 轴有 2 个交点，求实数 m 的取值
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范围.
【答案】（1）证明见解析
（2） 在 上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证；
（2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可；
（3）将 在区间 上与 x 轴有 2 个交点转化成 在 时有 2 个实数根，
利用函数的单调性求出 的值域，即得参数 m 的取值范围.
【小问 1 详解】
.
小问 2 详解】
的定义域为 ，任取 ， ，则 ，即 ，
由 ，可得 ，
故 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
.因为 的图象在区间 上与 x 轴有 2 个交点，
所以 ，在 时有 2 个实数根，
即 在 时有 2 个实数根，
令 ，易知 在区间 上单调递增，故 ，
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由 可得 ，令 ， ，
由对勾函数性质可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又 ， ， ，作函数草图如图，
当 时，函数 与 有两个交点，
即函数 的图象在区间 上与 x 轴有 2 个交点，
所以 ，即实数 m 的取值范围为 .
19. 十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一
个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的 阶
泰勒展开式为：
，
，
，
其中 ，读作 的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算
， 得 到 的 值 约 为 ， 用 泰 勒 展 开 式 前 三 项 计 算 得 到
.
（1） ， ， ，比较 的大小;
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（2）当 时，证明： ；
（3）设 ，是否存在区间 ，使得 的定义域为 时，值域也为 ？若存在，
求出所有的区间 .
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在， .
【解析】
【分析】（1）根据题意中常见函数的 阶泰勒展开式，即可比较 的大小；
（2）构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证；
（3）由题知 ， ，当 时，显然成立，当 真包含于
时，结合函数单调性可得 ，即可判断此时不存在符合条件的区间，然后下结论即可.
【小问 1 详解】
由题知，用泰勒展开式前三项计算，
则 ，
又 ，
，
所以 .
【小问 2 详解】
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
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所以 ，所以 ；
设 ， ，
则 ，
令 ， ，则 在 上单调递增，
令 ， ，则 在 上单调递减，
又 ， ，
所以 ，即 ，
综上， .
【小问 3 详解】
易知 ， ，
当 时，显然成立；
当 真包含于 时，若 ，则函数最小值应大于 ，故 ，
则函数最大值小于 ，于是 ，因此 .
同理，若 ，也能得到 .
所以函数 在区间 上单调递减，
所以 ，于是 ，
变形有 ，
又函数 在区间 上为单调递增函数，且为奇函数，
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故 ，所以 可以化为 ，
由（2）可以知道 没有两个解，
此时不存在区间 满足条件.
综上所述，符合条件的区间只有 .
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